2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第9讲 数列求和分组求和法（解析版）

第9讲数列求和:分组求和法

参考答案与试题解析

一.解答题(共14小题)

1.(2021秋•宝山区校级月考)已知数列｛〃,｝满足a”=3a,i+2,(〃..2),4=1.

(1)求｛/｝的通项公式;

(2)若〃,=34+2”-1,求低｝的前〃项和7；.

【解答】解：(I)an=3a„_t+2>(n..2)»

可得+1=3(4I+1),(〃..2).

即有｛q,+l｝是首项为2,公比为3的等比数列，

则a,,+1=2.3"-',

则a“=2»3""|-1,neN*；

(2)々=3%+2〃-1=2.3"+2〃-4,

Tn=(6+18+…+2・3")+(—2+0+…+2〃—4)

=6(1"3'+2+2"-4)=3"*1-3+*-3〃.

2.(2021秋•广陵区校级月考)已知数列｛4｝的前"项和为S.,且S“=2S,i+2(”..2,〃eN*),

数列｛2｝中，4=2々=2.

(1)求｛a,,｝的通项公式；

⑵若+1，%=h2n+an,求数歹U也,｝的前10项和.

【解答】解：(I)由

S„=2sl+2("..2,〃eN*),可得:

Si=2s“-2+2("..3,”eN*),

两式相减得：

a„=2a“_\(n..3,nwN*),

又山4=2及邑=2d+2可得：

a?=4,a[=2q,

数列他“｝是首项、公比均为2

的等比数列，

.■-«„=2"：

(2)由(1)和题设可得：

仿“-仇,1=1，%%=2"，

两式相加得：打向-%-=2"+1,

又瓦=1,d=4+1=2,

•0•”2“_|=("2〃一1一4“一3)+32〃-3—4“-5)+…+(4-4)+4

=(21+1)+(2”<+D+...+QI+1)+1

=(2+22+...+2"7)+〃

=2(l-2"+n=2"+n-2,n..2,

1-2

又4=1也适合上式，

邑_]=2"+〃-2，

处=%+1=2"+〃-1，

n+]

Ei+b2n=2+2/?—3,

：.数列｛2｝的前10项和为

/•

b、+b»+...+a。=(2-+2，+...+2“)+(—1+1+...+7)=—

3.(2021秋•罗湖区月考)已知5,为数列他“｝的前〃项和，且5—.

(1)求｛《,｝的通项公式；

(2)求数列伍：+log,可｝的前n项和7；.

【解答】17、解：(1)当〃=1时，a,=5,=22—,解得：勾=2,

+,w

当.2时,an=S„-S吁、=(2"-2)-(2-2)=2",

4=2满足上式，.•.数列｛%｝的通项公式为:a“=2"；

(2)由(I)可知iog2an=4"+n,

...7；=(4'+1)+@+2)+…+(1+2+…+”)=与^^+及罗

〃(〃+1)4,,+1-4

=-------1-------.

23

4.(2021秋•湖北月考)已知数列｛a,,｝前八项和为S“，若2s3=("+1)4，且4>1,出一1,

%-2,4成等比数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

44

(2)设2=-----+2一""，数列｛2｝的前”项和为7；,求证：T<~.

n3

【解答】解：（1）由2s“=（〃+1）勺，得’=如普

〃+1n

当”..2时，«„=5„-5„_,~^，a"一],%，

又。2-1，%-2，4成等比数列，得(。2-1>。6=(。4一2)2,

(2q—1).6q=(4q—2)2,/.％=2或q=；,

又%>1,「.q=2,?.an=2n(neN")；

(2)证明：由(1)可得么=—―+2f=——-——+2%=---—+(1)”，

an•a“+i2n-2(〃4-1)nn+l4

T〃="+b2H-----\-bn=[(1-;)+；]+[(；-；)+(：)2]4-----卜*-.：i，+(；，，，

即工,=a_g+;_g+…+：―+)+耳+4)2+…+(;)」，

5.（2021秋•河北月考）已知等比数列｛〃,,｝中，4=1,且2%是4和4q的等差中项.数列

｛d｝满足仇=1,4=13，且我+?+〃,=2仇*一

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）求数列｛a“+b“｝的前"项和7；.

【解答】解：（1）等比数列｛〃"｝中，4=1,设公比为q，

由于2a2是。3和4q的等差中项，可得4%=生+的，

整理得4q=q?+4,解得4=2,

所以4=2"，

（2）数列｛4｝满足伪=1,d=13,S.bn+2+bn=2bn+l.

所以数列｛2｝为等差数列，

13—1

所以公差”=年丁=2,故“=2〃一1,

所以数列｛q,+4｝的前〃项和7；=（4+々）+（出+4）+…+（%+勿）

,、“,,、2”-1〃（1+2〃-1）2.

=（6/|+%+…+%）+（4+/+•••+%）=-------1-----------------=2+n—1.

2—12

6.（2021秋•五华区月考）已知等差数列｛《｝的前〃项和为S〃，%=3，%+为=12.

（1）求氏及廉；

（2）令b“=L,求数列应+2"｝的前"项和7；.

25”

【解答】解：（1）山题意，设等差数列｛q｝的公差为〃，

"[为+%=4+4"卬+6d=12'得|2q+10d=12

解得人:,

[J=1

11/1、O1鹿(〃-1)1〃(〃+1)

=1+1•(九一1)="，S,=〃•1-I------------1=----------

22

(2)/?„=—=一!—=-—

'2S〃n{n4-1)nn+1

・・・毒=(4+2|)+(。+22)+・・・+应+2”)=(4+。+―+4)+(21+22+—+2”)

111112-2向।1MXCc“+]11

=1-----1---------1-----1--------------1-----------=1----------F2—2=2----------1.

223n〃+11—2〃+1n+1

7.（2021秋•南京月考）已知正项等比数列伍,｝的前”项和为5"，$3=74,且4，g+2,

4成等差数列.

（1）求｛q｝的通项公式；

:嚷翼求数列也｝的前2〃项和人

(2)若b“=

【解答】解：（1）,.1S3=7at,

a,+%q+qq2=7q,

：.q2+q-6-0,

<?=—3(舍)或q=2,

又4，%+2,4成等差数列,

2

/.2(%+2)=q+4，即2%q+6=4+a]q,

%=4,

:.｛an｝的通项公式为4=4•2"-'=2用；

%,"为奇数

(2)♦.•£=

〃,〃为偶数

・・岂〃=Sl+匕3+.............+82”.1)+(b2+。4+.............+?”)

=(4+4+......+。2〃_|)+(2+4+........+2〃)

=(22+24+……+22")+(2+4+……+2〃)

4(1—4”)(2+2〃)〃24"+|-4

=-------------—=n+n+-------.

1-423

8.(2021•河南开学)已知等差数列｛%｝的公差为d(d>0),前〃项和为S“，等差数列｛2｝的

公差为2d,且4=3,53=6,%=4.

(1)求数列｛%｝,｛"｝的通项公式;

（2）设q,=2%+」一，求数列｛q｝的前〃项和C,,.

她+i

【解答】解:⑴根据题意，由忆1将像m屋解得忙;

所以a〃=1+〃-1=〃；bn=bx+(n-1)x2J=3+2(n-1)=2n+1,

1

(2)由(1)可得cn=2〃+2〃+3)

(2〃+1)(2〃+3)

所以

11

7c=22+2"a+...+12/+—1(---1---+1-------+..1.+----,----止Ay，

235572〃+12M+31-2232〃+34〃+6

9.（2021春•安康期末）已知等差数列｛q｝与等比数列｛〃,｝满足%=6,%=14,4=2,

Z?4=16.

（1）求数列｛2｝，｛2｝的通项公式；

（2）设%求数列｛%｝的前〃项和S“.

【解答】解：（1）设等差数列｛%｝的公差为d,

等比数列｛"｝的公比为夕，

由%=6，%=14,可得4+2d=6,4+64=14,

解得q=4=2,

由々=2,b4=16»可得2/=]6,解得4=2,

所以=2+2（力-1）=2〃；bn-T：

（2）%=4+2=2〃+2”，

则S,,=（2+4+...+2〃）+（2+4+...+2"）=1〃（2+2"）+^^

21—2

=〃2+〃+2'田一2・

10.（2021秋•湖南月考）在正项等比数列｛4｝中，已知火=16,4,3%的等差中项为;为•

（1）求数列｛4｝的通项公式；

(2)设"=®^+log2%,求数列出,｝的前〃项和.

【解答】解：(1)设正项等比数列的公比为式夕>0),

由题息知，q+//=]%，

所以q(q2-4-2)=0,%>0,

则d—q—2=0,夕〉0,则q=2,

又4=16,则％=2,

所以。“=2".

(2)由题意得bn=(2”-1)(1)"+n,

令%=(2”-1)(；)",其前”项和为匕，则P„=lx(l)+3x(l)2+...+(2n-l).(i)n,

；2=1x(1)2+3x(I)3+...+(2"-3).(1)"+(2〃-1)©严,

两式相减得：

J_[i_(_!尸]

++(g)'+…+(g)"]-(2〃一1)・(；)"”=g+2<4----2-----(2n-l)<i),,+l=|-(^)/,_|-(2/i-l)<^)n+,

1—

2

f

所以£=3-(2〃+3)(；)",

所以数到他,｝的前"项和r=3-（2〃+3）（夕+攻詈.

11.（2021•沙坪坝区校级模拟）已知数列｛凡｝为等比数列，且%=4,2（4+4）=2+4・

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设a=log,a“，c“=a“d+—,求数列｛%｝的前"项和7；.

A

【解答】解：（l）设公比为q,则有2仁+4q）=4+4d，解得q=2,

q

所以为=//-2=2，，；

(2)由(1)可得，b=n>c=n-2"-i-----------

""rt(/t+l)

设{〃-2"}的前”项和为4“，---------的前〃项和为纥，4=1x2+2x22+3x2,+…+〃・2",

1心+1)J

24=lx22+2x23+3x24+---+H-2n+l,

...-4=2+2?+23+…+2"-•2"+l=W/2'-小2"+'=(1一〃)2时一2,

4=(«-l)x2,,+1+2,nwN*，

1II

---------=------------，

n{n+1)nH+1

„lAL1l、iln

..B=(1--)x+(---)+•••+(Z----------)=l--------;=----;，

n223nn+\n+ln+\

：.7；=（??-1）x2"+,+2+—.

n+l

12.（2021•河南开学）己知等比数列的公比大于I,a2=6,4+%=20.

（l）求｛a“｝的通项公式；

（2）若2=%+-----------1-----------,求电｝的前〃项和7；.

【解答】解：（1）设等比数列｛a,,｝的公比为q（q>1）,

由4=6，4+q=20，得一+6q=20,即34。-10q+3=0,

q

解得q=3或q=1（舍去），所以4=与=9=2,

3q3

所以aa=2x3"一；

,1+—!—=2•3"T+(1_—L)

(2)由(1)可知仇=2-3"'+-------------------r=2-3-

"logiy-log}3-'n(n+1)nn+\

所以

l__L20zr)__L__L

7>2X3、2X3I+2X32+...+2.3“T+V+；T++=+1=y

nn+l1-3n+ln+l

2^3

13.（2021秋•山东月考）己知数列｛6｝满足4=1,a„

+l22

(1)设2=%,I,求数列｛2｝的通项公式;

(2)求数列｛an｝的前2n项和S2n.

【解答】解：(1)数列｛4｝满足4=1，。e=三辿q+匕产，

得到“含(〃为奇数)

，〃为偶数，

所以%=%=%+1=*+i+1=2%i+1=2〃,+