奥数加乘原理之综合运用.学生版

7-3-1.乘之合教学目1.习乘法原理和加法原理；2.养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力．3.学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题．在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合．知识要一、加乘原理概念生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成且这几类方法是互不影响的那么考虑完成这件事所有可能做法，就要用到加法原理来解决．还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：⑴法原理是把完成一件事的方法分成几类一中的任何一种方法都能完成任务以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．⑵法原理是把一件事分几步完成几缺一不可以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．⑶很多题目中法原理和乘原理都不是单独出现的就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为加法分类，类类独立．乘法原理运用的范围件要几个彼此互不影响的独立步骤来完成几是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为乘法分步，步步相”．例题精

【1】店有2种克糖牛味榛味；种果：果、味橙．明想一糖给的朋．⑴果明买种，有种法⑵果明买果、克糖1，有种法【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】解【解析⑴小明只买一种糖，完成这件事一步即可完成，有两类办法：第一类是种克力糖中选一种有种法；第二类是种水果糖中选一种，3种法．因此，小明种选糖的方法．⑵小明完成这件事要分两步，每步分别种种法，因此有3种法．【答案】⑴5

⑵6【2】从，，5，7，这个中任两个同数别作个数分与母这样分有_个其的分有_______________。【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第7题【解析第一问要用乘法原理，当分子有种能时，分母有可能，即5×4=20种所以这样的分数有20个第二问中，分母为的分数有个，分母为真分数有，分母为7真分数有3个分母为的分数有4个所以真分数共有1+2+3+4=10个【答案10个【3】北到州以择达飞机火，可选中在海者汉停，知京上、汉上、汉广除有机火两交通式还汽车问从京广一有少交方供择【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】解【解析从北京转道上海到广州一共种法京道武汉到广州一共也种方法供选择，从北京直接去广州有2种法，所一共有种方法．【答案】20【4】学思校王家条路可，王家张师有2条路可，学思校张师有3条可，么学思校张师家有少走？而思校老师

明家【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】解【解析根据乘法原理，经过王明家到张老师家的走法一共3方法，从学而思学校直接去张老师家一共有条可走，根据加法原理，一共有种法．【答案9【固如下，从地乙有2条路从地丙有4条路从地丁有条可，从地丙也条路，问甲到地有少不走法

【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】解【解析从甲地到丙地有两种方法：第一类甲地经过乙地到丙地据乘法原理，走法一共有种法二，从甲地经过丁地到地，一共3种法．根据加法原理，一共种走法．【答案17【固王老从庆南，可乘机汽直接达也以到汉再武到京他重到汉乘，可火；从汉南可乘船火或飞，如．么老从庆南有少不走呢重庆

南京武汉【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】解【解析从重庆到南京的走法有两类类重庆经过武去南京乘原理2种走法；第二类不经过武汉，有2走法．根据加法原理，从重庆到南京一共有2不同走法．【答案8【5】条路上包起和点在原共7个站现新了个站铁上两之往的票一，么这需增多种同车票【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】解【解析1新为起点旧为终点有张2、旧站为起点站终点有7×3=21张、起点、终点均为新站有3×2=6张以上共有2121＋张．【答案】【6】右所，个正角边长，虫步过，A出发走4步好到A的有）条途中再A)A【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】填空【关键词】走美杯，四年级，初赛，第8题五年级，初赛，第12题【解析因为第一、三步到的点一定是以A为心的六边形的六个顶点，根据一定的规则进行计数：

（1第步与第三步是同一个的情况有6×5=30（种）（2第步与第三步不是同一点的情况有（种）所以共有30+24=54（种）【答案54种【7】下，面有条棱，个顶点一蚂从点A出发沿爬，求好过一顶一．共多种同走？D

F

【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】解【解析走完个顶点，有5个骤，可分为两大类：①第二次C：就是意味着从A点发，我们要先走F，D，EB中的一点，再经C，但之后只能走D，B点，最后选择后面两点．有4(到C的话，是不能到的；②第二次不C有4种同理，F不到)；共计：840种【答案】【8】所校订300中少报每学订至98份，多102份问一有少不的法【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】解【解析可以分三种情况来考虑：⑴3所学校订的报纸数量互不相同有，，10299100101两组合，每种组各有P

种同的排列，此时6种法．⑵3所学校订的报纸数量有2所相同，有，，10199，102两组合，每种组各有3不同的排列，此时订法．⑶3所学校订的报纸数量都相同，有100，，100种订法．由加法原理，不同的订法一共有2种．【答案19【9】玩具生一玩棒共节，用、、三颜给节色。家具共生种颜不的具。【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】填空【关键词】走美杯，五年级，初赛，第题【解析总共有种，分三类：只有一种颜色的有：；

有两种颜色的有；有3种色的有：6所以共有：（种）【答案】45种【】如果本同语书4本同的学、本同外书选本同科的阅，么有少不的择【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】解【解析因为强调本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学3×4=12来自语文、外语3×5=15；来自数学、外语：；所以共有＋＋20=47．【答案】【】过了妈买件同礼，送亲朋友5个子人件其姐姐儿小想智拼和控车选个朋的儿玉想学机遥汽车选件那妈送这件物有____________方．【考点】加乘原理之综合运用【难度星【型】填【关键词】迎春杯，中年级，决赛题【解析假如给小强的是智力拼图，则（种）方法．假如给小强的是遥控汽车，则有60（）方法．总共12060（）法【答案种【】某件作要工人和工2人共完．现钳人电人另1人钳、电都．人中挑人成项作共多种法【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】解【解析分两类情况讨论：⑴都会的这被挑选中，则有：①如果这人做钳工的话，则再按乘法原理，先选一名钳工有3种法，再选2电工也有3方法；所以方法；②同样，这人做电工，也有9种法⑵都会的这一人没有被挑选，则从3名工中选人，有3种方法；从电工中选2人，也有3种法，一共有3种法．所以，根据加法原理，一共有种法．【答案】27【】某信兵红蓝四面旗的面上下在杆的个置示号每次挂面二或面并不的序不的置示同的号一可表示多种同信？【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】解【解析由于每次可挂一面、二面或三面旗子，我们可以根据旗杆上旗子的面数分三类考虑：

第一类

第二类

第三类第一类，可以从四种颜色中任选一种，有种表示法；第二类，要分两步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，3种选法．根据乘法原理，共种表示法；第三类，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，3种选法；第三步，第三面旗子可从剩下的两种颜色中选一种，有选法．根据乘法原理，共424种示法．根据加法原理，一共可以表示4不同的信号．【答案】【固五面种色小，意出面两或三排一表各信，：可表多种同信？【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】解【解析分情况：⑴取出一面，有信号；⑵取出两面：可以表520种号；⑶取出三面：可以表示5信号；由加法原理，一共可以表示：520种号．【答案【】五种色同信旗各面任取三排成行表一信，：可以示少不的号【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】解【解析方法一：取出的3面子，可以是一种颜色两种颜色、三种颜色，应按此进行分类⑴一颜色：5种能；⑵两种色⑶三种色所以，一共可以表60125种同的信方法二：每一个位置都有颜色可选，所以共有125种【答案【固红黄、、四颜色同小各2，，，面，意出面顺排一，表一信，：可表多种同信？果旗能打又多种【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】解【解析】一)取出的3旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类第一类，一种颜色：都是蓝色的或者都是白色的2种能；第二类，两种颜色(436第三类，三种颜色：4

所以，根据加法原理，一共可以表种同的信号．(二)白棋打头的信号，后两面有4种况．所白棋不打头的信号有种．【答案】46【】小红小举象比，比规，谁胜两谁，果有头局谁胜局赢共可的况【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】解【关键词】清华附中【解析小红和小明如果有谁胜了头两局，则胜者赢时共2种况；如果没有人胜头两局头两局中两人各胜一局则少进行两局最多再进行三局，必有一人胜三局果只需再进行两局则这两局的胜者同一人此共有2种情况如果还需行三局，则后三局中有一人胜两局另一人只胜一局且这一局不能为最后一局能为第三局或第四局，此时共种况，所以共有情况．【答案【】玩具生一玩棒共4节，用、、三颜色每涂．家共生种颜色不的具．【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】解【解析每节有涂法，共有涂3(种)但上述1种涂法中，有些涂法属于重复计算，这是因为有些游戏棒倒过来放时的颜色与顺着放时的颜色一样，却被我们当做两种颜色计算了两次．可以发现只有游戏棒的颜色关于中点对称时才没有被重复计算中对称的游戏棒有(种．故玩具棒最多有(819)45种同的颜色．【答案】【】奥苏大上居使的字常特们字每个词由5个字、c、、组成并所的词都着下规⑴字母不打头⑵词每字a后必紧着母⑶c和d不会现同个母中那由个母成单一有少？【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】解【解析分为三种：第一种：有两个的况只有1种第二种，有一个的况，又分类第一类，在第一个位置，则b在二个位置，后边的排列种减、d同时出现的两种，总共有14，第二类，在第二个位置，b在三个位置，总共3种第三类，在第三个位置，b在四个位置，总共3种第三种，没a的况:分别计算没情况:54种没有的况：2种没有cd情况种.

由容斥原理得到一共种所以，根据加法原理，一共有100种【答案【】从名动中出4人加4接赛求满下条的赛案有少：⑴不跑一和四；⑵不跑一，不跑二【考点】加乘原理之综合运用【度星【型】解【解析⑴