高考数学中的内切球和外接球问题

高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为，则该球的体积为______________.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则此球的表面积为.例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.A.B.C.D.3.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为，高为，则有∴正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离.∴外接球的半径.体积：.小结本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_______________.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.故其外接球的表面积.小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长即练习：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为 ，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表 面积。球的表面积为例6一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此 球的表面积为（）A.B.C.D.例7已知球的面上四点A、B、C、D，，， ，则球的体积等于.图5解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于，，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为，则此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.（如图4）图5图4图4例8已知点A、B、C、D在同一个球面上，，， 若，则球的体积是解析：首先可联想到例7，构造下面的长方体，于是为球的直径，O为球心，为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出即可，在中，求出，所以，故B、C两点间的球面距离是.（如图5）本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。三.多面体几何性质法例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16， 则这个球的表面积是A.B.C.D..小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法例正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点 都在同一球面上，则此球的体积为解:设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得.又，∴球心必在所在的直线上.∴的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在中，由，∴.∴是外接圆的半径，也是外接球的半径.故.五.确定球心位置法例5在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为A.B.C.D.解:设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知.∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径.故.出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且求球的体积。解：且因为所以知:所以所以可得图形为：在中斜边为在中斜边为取斜边的中点，在中在中所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心所以该外接球的体积为【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。1.（陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．B．C．D．答案B2.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于。解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.3．正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为．答案84.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A．B．C．D．答案A【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，，则此球的直径为，故选A。5.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（）B.C.D.答案D6.（山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶9答案C7.（海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上， 且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为 ．答案8.（天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个 顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．答案9.（全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球 面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.答案ABCPDEF10.（辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥ABCPDEF答案11.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.答案1