2023高考数学课下练兵：导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

你的首选资源互助社区诚信经营超值效劳——天利会员：诚信精品——与您共建淘题精品世界第6页共6页第二章第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课下练兵场命题报告难度及题号知识点容易题(题号)中等题(题号)稍难题(题号)函数的单调性与导数1、34、6、10函数的极值与导数2、7函数的最值与导数5、8、911生活中的优化问题12一、选择题1.(2023·广东高考)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A.(－∞，2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2，＋∞)解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.答案：D2.函数f(x)的导数为f′(x)＝4x3－4x，且f(x)的图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为()A.－1B.0C.1解析：可以求出f(x)＝x4－2x2＋c，其中c为常数由于f(x)过(0，－5)，所以c＝－5，又由f′(x)＝0，得极值点为x＝0和x＝±1.又x＝0时，f(x)＝－5，故x的值为0.答案：B3.假设函数f(x)＝ax3－3x在(－1,1)上单调递减，那么实数a的取值范围是()A.a＜1B.a≤1C.0＜a＜1D.0＜a解析：∵f′(x)＝3ax2－3，由题意f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立.假设a≤0，显然有f′(x)＜0；假设a＞0，由f′(x)≤0得－≤x≤，于是≥1，∴0＜a≤1，综上知a≤1.答案：B4.假设函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是先增后减的函数，那么函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()解析：依题意，f′(x)在[a，b]上是先增后减的函数，那么在f(x)的图象上，各点的切线的斜率先随x的增大而增大，然后随x的增大而减小，观察四个选项中的图象，只有选项C满足要求.答案：C5.函数f(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)在区间[0，eq\f(π,2)]上的值域为()A[]B()C[]D()解析：f′(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)＋eq\f(1,2)ex(cosx－sinx)＝excosx，0≤x≤eq\f(π,2)时，f′(x)≥0，∴f(x)是[0，eq\f(π,2)]上的增函数，∴f(x)的最大值为f(eq\f(π,2))＝f(x)的最小值为f(0)＝eq\f(1,2)，∴f(x)在[0，eq\f(π,2)]上的值域为[]答案：A6.函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))时，f(x)＝x＋sinx，那么()A.f(1)<f(2)<f(3)B.f(2)<f(3)<f(1)C.f(3)<f(2)<f(1)D.f(3)<f(1)<f(2)解析：由f(x)＝f(π－x)，得函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称，又当x∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))时，f′(x)＝1＋cosx>0恒成立，所以f(x)在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上为增函数，f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，且0<π－3<1<π－2<eq\f(π,2)，所以f(π－3)<f(1)<f(π－2)，即f(3)<f(1)<f(2).答案：D二、填空题7.f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，那么常数c的值为.解析：f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，f′(2)＝0⇒c＝2或c＝6.假设c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4，令f′(x)＞0⇒x＜eq\f(2,3)或x＞2，f′(x)＜0⇒eq\f(2,3)＜x＜2，故函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))及(2，＋∞)上单调递增，在上单调递减，∴x＝2是极小值点.故c＝2不合题意，c＝6.答案：68.假设函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为eq\f(\r(3),3)，那么a的值为.解析：f′(x)＝当x>eq\r(a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－eq\r(a)<x<eq\r(a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x＝eq\r(a)时，f(x)＝eq\f(\r(a),2a)＝eq\f(\r(3),3)，eq\r(a)＝eq\f(\r(3),2)<1，不合题意.∴f(x)max＝f(1)＝＝eq\f(\r(3),3)，a＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－19.给出定义：假设函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，那么称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.假设f″(x)<0在D上恒成立，那么称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0，eq\f(π,2))上不是凸函数的是.(把你认为正确的序号都填上)①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.解析：对于①，f″(x)＝－(sinx＋cosx)，x∈(0，eq\f(π,2))时，f″(x)<0恒成立；对于②，f″(x)＝－，在x∈(0，eq\f(π,2))时，f″(x)<0恒成立；对于③，f″(x)＝－6x，在x∈(0，eq\f(π,2))时，f″(x)<0恒成立；对于④，f″(x)＝(2＋x)·ex在x∈(0，eq\f(π,2))时f″(x)>0恒成立，所以f(x)＝xex不是凸函数.答案：④三、解答题10.(2023·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a>1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)假设当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围.解：(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a由a>1，∴2a∴令f′(x)>0，解得x>2a或x∴当x∈(－∞，2)∪(2a，＋∞)时，f(x当x∈(2,2a)时，f(x综上，当a>1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)是增函数，在区间(2,2(2)由(1)知，当x≥0时，f(x)在x＝2a或xf(2a)＝eq\f(1,3)(2a)3－(1＋a)(2a)2＋4a·2a＝－eq\f(4,3)a3＋4a2＋24a＝－eq\f(4,3)a(a－6)(a＋3)，f(0)＝24a.解得1<a<6.故a的取范围是(1,6).11.函数f(x)＝lnx－.(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)假设f(x)在[1，e]上的最小值为eq\f(3,2)，求a的值.解：(1)由题得f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(a,x2)＝eq\f(x＋a,x2).∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.(2)由(1)可知：f′(x)＝，①假设a≥－1，那么x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝eq\f(3,2)，∴a＝－eq\f(3,2)(舍去). ②假设a≤－e，那么x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝eq\f(3,2)，∴a＝－eq\f(e,2)(舍去).③假设－e<a<－1，令f′(x)＝0，得x＝－a.当1<x<－a时，f′(x)<0，∴f(x)在(1，－a)上为减函数；当－a<x<e时，f′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝eq\f(3,2)⇒a＝－eq\r(e).综上可知：a＝－eq\r(e).12.某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的本钱为3元，并且每件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费，预计当每件产品的售价为x(9≤x≤11)元时，一年的销售量为(12－x)2万件.(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).解：(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：L＝(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11].(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)＝(12－x)(18＋2a－3x令L′(x)＝0得x＝6＋eq\f(2,3)a或x＝12(不合题意，舍去).∵3≤a≤5，∴8≤6＋eq\f(2,3)a≤eq\f(28,3).在x＝6＋eq\f(2,3)a两侧L′的值由正值变负值所以，当8≤6＋eq\f(2,3)a≤9，即3≤a≤eq\f(9,2)时，Lmax＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)；当9＜6＋eq\f(2,3)a≤eq\f(28,3)，即eq\f(9,2)＜a≤5时