样条插值的算例三次样条的概念用一阶导数表示的样条三次样条的极性

样条插值的算例三次样条的概念用一阶导数表示的样条三次样条的极性《数值分析》16例1.飞机机翼剖面图

1.数据采集2/172.数据插值处理X0-0.4552-0.6913-0.8640-0.9689-0.9996Y00.32850.34670.27160.1408-0.0160T=1:6;t=1:.2:6;x=spline(T,X,t);y=spline(T,Y,t);例2:龙格函数的插值靠近3/177结点等距插值7结点切比雪夫插值7结点样条插值7结点埃尔米特插值利用龙格函数的数据表做样条插值第一步4/17x

-5.0 -3.33 -1.66 0 1.66 3.335.0y 0.038 0.082 0.264 1.0 0.2640.0820.038m

0.014

-0.00540.41420.-0.41420.0054 -0.014y’0.014 0.045 0.2330 -0.233-0.045-0.014估算结点处导数值mk,由三对角方程组求解得出

(k=1，2，3，4，5，6)，

h=10/6

定义5.4给定区间[a,b]上的一个分划:a=x0<x1<…<xn=b已知f(xj)=yj(j=0,1,···,n),假如满足:(1)S(x)在[xj，xj+1]上为三次多项式;(2)S”(x)在区间[a，b]上连续;(3)S(xj)=yj(j=0,1,···,n).则称S(x)为三次样条插值函数.5/17当x∈[xj,xj+1](j=0,1,…n-1)时

Sj(x)=aj+bjx+cjx2+djx3插值条件:S(xj)=yj

(j=0,1,···,n)连续性条件:S(xj+0)=S(xj-0)

(j=1,···,n-1)S’(xj+0)=S’(xj-0)

(j=1,···,n-1)S”(xj+0)=S”(xj-0)

(j=1,···,n-1)由样条定义,可建立方程(4n-2)个！！n个三次多项式,待定系数共4n个！！方程数少于未知数个数？？6/17(1)自然边界条件:S”(x0)=0,S”(xn)=0例5.7已知f(–1)=1,f(0)=0,f(1)=1.求[–1，1]上的三次自然样条(满足自然边界条件).解设

则有:–a1+b1–c1+d1=1,d1=0,a2+b2+c2+d2=1d1=d2,c1=c2,b1=b2

(2)周期边界条件:S’(x0)=S’(xn),S”(x0)=S”(xn)(3)固定边界条件:S’(x0)=f’(x0),S’(xn)=f’(xn)7/17由自然边界条件:–6a1+2b1=0,6a2+2b2=0解方程组,得

a1=-a2=1/2,b1=b2=3/2,c1=c2=d1=d2=0问题的解

y=x28/17y=S(x)分段Hermite插值公式导出的样条方法已知函数表xx0

x1······xnf(x)y0

y1······yn设

f(x)在各插值节点

xj处的一阶导数为

mj取

xj+1–xj=h，(j=0,1,2,···,n).当

x∈[xj,xj+1]时,

分段Hermite插值9/17由S”(x)连续,有等式:S”(xj+0)=S”(xj–0)考虑

S”(x)在区间[xj,xj+1]和[xj-1,xj]上表达式.当

x∈[xj,xj+1]时,

S(x)由基函数组合而成10/1711/17同理,有联立,得(j=1,2,······,n-1)12/17自然样条的导数值满足:设自然边界条件成立,即(j=1,2,······,n-1)13/17曲率计算公式15/17MATLAB样条叮嘱:yi=spline(x,y,xi)x=-5:5;y=1./(1+x.^2);xi=-5:0.1:5;f=1./(1+xi.^2);yi=spline(x,y,xi);error=max(abs(yi-f))plot(x,y,'o',xi,f,xi,yi,'r')error=0.0220样条插值函数的极性设f(x)∈C2[a,b],对于a=x0<x1<…<xn