勾股定理复习资料

《勾股定理》期末复习资料一．知识点：1.勾股定理及逆定理①勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边为，那么__。A直角三角形a2+b2=c2(数)（形）BC公式的变形：（1）c2=,c=;（2）a2=,a=;（3）b2=,b=;②勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足___，那么这个三角形是__．Aa2+b2=c2(数)直角三角形（形）CBCB注：（1）勾股定理主要反映了直角三角形三边之间的数量关系，它是解决直角三角形中有关计算与证明的主要依据；（2）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据．利用勾股定理逆定理证明三角形是否是直角三角形的步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数法计算a2+b2和c2的值；③判断a2+b2和c2是否相等。若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。2、勾股数满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数如下：3,4,56,8,109,12,1512,16,2015,20,255,12,137,24,259,40,4110,24,268,15,173、互逆命题和互逆定理互逆命题:两个命题中，如果第一个命题的恰为第二个命题的，而第一个命题的恰为第二个命题的，像这样的两个命题叫做．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的．互逆定理:一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是，那么它也是一个，称这两个定理互为，其中一个叫做另一个的逆定理.4、勾股定理的应用（最短路线、梯子下滑、船在水中航行等）5、常见平方数：；；；；；；；；；；；；；；二．考点剖析考点1：在直角三角形中，已知两边求第三边 1、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm，问吸管要做cm.2、已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高，AD＝8，则边BC的长为（

）A．21

B．15

C．9

D．以上答案都不对3、已知直角三角形的两边长为6、8，则另一条边长是。4、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．考点2：勾股定理与面积1、在Rt▲ABC中，C=,a=5,c=3.，则Rt▲ABC的面积S=。2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为：。lablabc4、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于。5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是。7、如下图，在∆ABC中，，AB=8cm，BC=15cm，P是到∆ABC三边距离相等的点，求点P到∆ABC三边的距离。DCBADCBA9、如右图：在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD的面积。10、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。ADCB图1-3-511.如图1-3-5所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，ADCB图1-3-512如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，求：重合部分△EBD的面积13、如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.考点3：勾股定理与折叠图4EG图4EGCDBA2、如图，有一片直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，试求CD的长。AABCDEABCDED/／／／3、如图，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD／,△ACD／与BC交于E,ABCDED/／／／图6PHFEQDC图6PHFEQDCBA求BE、QF的长求四边形QEFH的面积。考点4：利用股沟定理列方程求线段的长度EDCBA1、如图，铁路上A、B两站相距25千米，C、D为两村庄，DAEDCBA2.一架长为5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B距离底C为3米，如果梯子的顶端A沿墙下滑1米到D处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米到E处吗？请给出证明。EEBCDA△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长．考点5：勾股数的应用1、下列是勾股数的一组是（）A4,5,6,B5,7,12C12,13,15D14,48,502、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是。3、下列是勾股数的一组是（）A2,3,4,B5,6,7,C9,40,41D1024254、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c，其中a,b,c为正整数，且a<b<c（1）：试找给他们的共同点，并证明你的结论（2）：当a=21时，求b,c的值,3,4,53+4=55,12,135+12=137,24,257+24=259,40,419+40=41……..……21,b,c21+b=c考点6：勾股定理及逆定理有关的几何证明1.若一个三角形的周长12cm，一边长为3cm，其他两边之差为cm，则这个三角形是____________.2.若△ABC的三边为a、b、c满足a：b：c=1：1：，则△ABC的形状为。3.若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判定△ABC的形状． 4．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝，求证：AF⊥FE．在四边形ABCD中，C是直角，AB=13,BC=3,CD=4,AD=12DCBADCBA6．CD是▲ABC中AB边上的高，且CD=ADDB，试说明ACB=DDFCEBA7.在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点且CF=CD试说明▲AEF是直角三角形。8．▲ABC三边的长为a,b,c，根据下列条件判断▲ABC的形状（1）：a+b+c+200=12a+16b+20c；（2）：a-ab+ab-ac+bc-b=09．如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．求证：AD2=AC2+BD2．ABPC10．如图中，为BC上任意一点，求证：．ABPC图(1)BBBAAACCC图(2)图(3)11．BC中，BC=a,AC=b,AB=c,若C=，如下图(1)根据勾股定理可以得出：a+b=c,若▲ABC不是直角三角形，如图(2)与图(3)，请你类比勾股定理猜想a图(1)BBBAAACCC图(2)图(3)考点7：最短路线问题有一正方体盒子，棱长是10cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是___________cm.(第1题)(第2题)(第3题)(第4题)2、有一个长方体盒子。它的长是70cm，宽和高都是50cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是___________cm.3、如图所示，一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是___________cm.4、如下图、王力的家在高楼15层，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别为1.2m,1.2m,1.3m，则他所买的竹竿最大长度是___________m.ACBS5、如图,已知圆锥的母线AS=10㎝，侧面展开图的夹角是90°，点C为AS的中点,A处有一只蜗牛想吃到C处的食物,但它不能直接爬到C处,只能沿圆锥曲面爬行ACBS6、有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为___________m？BCBAA考点8：勾股定理的实际应用1、如图，一辆小汽车在一条东西走向的城市公路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路边的检测仪的正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪的距离为50m，问这辆小