matlab与线性代数实验矩阵的特征值特征向量

主要内

矩阵的定行列式计矩阵运向量与线性方程矩阵的特征值与特征

©谢中华 应用培训第一节矩阵的定义

©谢中华 应用培训一、定义逐个输入向量元x=[x1,x2,x=[x1;x2;

定义行定义列

【例1.1-1】定义行向量x x[1,0,2,- 定义行向x 注行向量各元间用号或格分；列量各元素之间用分号分隔

©谢中华 应用培训【例1.1-2】定义列向方式>>y=[-1;10;3;-2;

y 定义列

7T方式y1103-2 %通过行向量转置定义列

©谢中华 应用培训规模化定义向【例1.1-3】通过冒号运算符构造等间隔x初值：步长：终>>x=x >>y=y 注：步长为1时可以省

©谢中华 应用培训【lisaxlinspace(初值终值向量长度>>x=linspace(1,10,10)x=

©谢中华 应用培训二、定义按行方式输入矩阵元

【例1.1-5】定义矩

A

6 >>A=[1,2,3;45 6;78,9]A=

©谢中华 应用培训矩阵与向量的互相矩阵转为向x %矩阵转为列6 6

【例1.1-6】将矩阵A

转为向>>A=[1,2,3;4 6;78,>>x=

©谢中华 应用培训向量转为矩

Areshape(x,m %将向量x转为m行n列的【例1.1-7】定义长度为18的向量，将其转为3行6列的矩阵>>x=1:18>>A=reshape(x,[3,

©谢中华 应用培训矩阵双下xA(i 矩阵A的第i行第j列的单下x 矩阵A的第k个元注：单下 时相当 A所转成的向量的元素

©谢中华 应用培训【例1.1-8】利用行标、列标和冒号运算符提取矩阵元>>A=[1 3;4 6; >>y1=A(1,2)y1= >>y2=A(2:3,y2 >>y3=A(3:6)y3=

©谢中华 应用培训>>y4=A(:,y4

124578>>y5=A(1,y5

©谢中华 应用培训矩阵拼

Brepmat(A %将矩阵A拼接为大矩【例1.1-9】通过矩阵拼接定义新>>A=[123;45>>B=repmat(A,[2,2])B=123123123456456123123456456©谢中华应用培训定义字符矩【例1.1-10】定义字符型矩>>C=['abc';'def';'ghi']C=size(C)%查看矩阵行数和列ans=3

©谢中华 应用培训定义复数矩【例1.1-11】定义复数矩>>x=x5.0000+

>>A1=[12 3;4A1=

7.0000+7.0000+7.0000+7.0000+7.0000+7.0000+>>a=[12;3>>b=[56; >>A2=A2

1.0000+3.0000+

2.0000+4.0000+

©谢中华 应用培训定义符号矩【例1.1-12】定义符号矩symsabc 定义符号

>>A1=[ab;cA1 [a,[c,

%用符号变量定义符号矩>>A2=[1 3; >>A2=sym(A2)A2=[1,2,3][4,5,

%把数值矩阵转为符号

©谢中华 应用培训【例1.1-12续】定义符号矩阵>>A3=sym('a%d%d',[34])A3=[a11,a12,a13,a14][a21,a22,a23,a24][a31,a32,a33,a34]

定义符号矩

©谢中华 应用培训特殊零矩阵一矩阵单位阵对角随机魔方阵

©谢中华 应用培训【例1.1-13】生成特殊矩>>A=>>B=>>C=>>D=diag([12>>E=>>F=>>G=

©谢中华 应用培训第二节行列式计算

©谢中华 应用培训一、计算行列式的函1.调用det函数计算方阵的行d %计算方阵A的行列

【例1.2-1】计算数值

A

的行列式 >>A=[12;3>>d1=det(A)d1=

©谢中华 应用培训6 6

的行列 >>A=[123;456;78>>d2=det(A)d1=

思考：题中矩阵A的行列式为什么不等于

©谢中华 应用培训【例1.3（3则）。>>A=sym('a%d%d',>>det(A)ans=a11*a22*a33-a11*a23*a32-a12*a21*a33+a12*a23*a31a13*a21*a32-

©谢中华 应用培训二、利用法则解线性方程3x12x2x3x4 x1x2x32x4【例1.2-4】求解方程

2x3x x3x x12x23x34x4>>A=[32-11;1-1-12;23-1-3;123>>b=>>D=>>x1=>>x2=>>x3=>>x4=

©谢中华 应用培训第三节矩阵运算

©谢中华 应用培训一、矩阵的算术矩阵的加【例1.3-1】矩阵的加减运>>A=[12;3>>B=[56;7>>C=A+BC= >>D=A-D- -

©谢中华 应用培训矩阵的

*B）.*B和

©谢中华 应用培训【例1.3-2】矩阵的乘法>>A=[123;45>>B=[1 11; 2 2;3 >>C=

C>>D=[1 1; >>E=A.*DE=

©谢中华 应用培训矩阵的

矩阵的除法包括左除（A\B）、右除（A/B）和（A./B）三种。一般情况下，xA\b是方程组A*xb的解，而x=b/A是方程组x*Ab的解，x=A./B表示同型矩阵A和

©谢中华 应用培训【例1.3-3】矩阵的除>>A=[2 8; -4;- 3>>b=[-5;3;>>x=A\bx=13>>B=>>C=

C111111111

©谢中华 应用培训矩阵的乘方（^）与点乘方(.^

矩阵的乘方要求矩阵必须是方阵，有以下3种情矩阵A为方阵，x为正整数，A^x表示矩阵A自乘x次矩阵A为方阵，x为负整数，A^x表示矩阵A-1自乘x（3）矩阵A为方阵，x为分数，例如x=m/n，A^x表示矩阵先自乘m次，然后对结果矩阵里的每一个元素开n矩阵的点乘方不要求矩阵为方阵，有以下2种情

©谢中华 应用培训【例1.3-4】矩阵乘方与点乘>>A=[12;3>>B=A^2B >>C=A.^2C= >>D=A.^D

©谢中华 应用培训二、矩阵的转置与共轭

矩阵的转置包括转置（）和）【例1.3-5】矩阵的转>>=23; 6;8A123456789B 或BB

©谢中华 应用培训【例1.3-5续】复矩阵的共轭转>>A=[12;3A 1.0000+ 1.0000+1.0000+ 1.0000+>>B=B= 1.0000-1.0000i 1.0000-3.0000i1.0000- 1.0000-

©谢中华 应用培训三、逆矩【例1.3-6】求矩阵的逆矩阵>>A=[12;3Ai 数值矩阵求

Ai >>symsabc>>B=[ab;cBi %符号矩阵求Bi=[d/(a*d-b*c),-b/(a*d-[-c/(a*d-b*c),a/(a*d-

©谢中华 应用培训四、矩阵的初等

【例1.3-7】利用初等变换把矩阵化为行最简形 0A 1 1 >>A=[13-10;0-121;240>>B=rref(sym(A))B=[1,0,0,1/2][0,1, [0,0,1,

©谢中华 应用培训【例1.3-8】利用初等变换求逆矩 3A 1 33 33>>A=[123;221;34>>ans=[1,0, 1,3,-[0,1,0,-3/2,-3,[0,0, 1,1,-

©谢中华 应用培训五、矩阵rrank(A)：rank函数用来求矩阵的秩【例1.3-9】求矩阵的秩1313543120 5 1A>>A=[13-25-4;312-10;-246105;-46216>>r=rank(A)r=

©谢中华 应用培训第四节向量与线性方程组

©谢中华 应用培训一、齐次线性方程组的

=【例1.4-1】求齐次线性方程组的基础解 x1x22x33x42x2xx x1x28x37x4>>A=[1-12-3;-2211;-118->>z=null(sym(A))z=[1,1]

1 1p1 0p[1,[0,[0,

所求基础解系：p 0

11

©谢中华 应用培训二、求解非齐次线性方

调用linsolve函数求非齐次方程组的Xlinsolve(A %A为系数矩阵，b为常数向【例1.4-2】求齐次线性方程组的基础解 x1x22x33x42x2xx x1x28x37x4

©谢中华 应用培训%求非齐次方程组的>>A=sym([1-12-3;-2211;-118->>b=>>X=linsolve(A,b)X= 010

©谢中华 应用培训%求齐次方程组的基础>>A=[1-12-3;-2211;-118->>z=null(sym(A))z=[1,1][1,[0,[0, 1 1 1 0 0原方程组的通解为：xk k k,k10 21 1

©谢中华 应用培训调用solve函数[y1,...,yN]=solve(eqns,注：eqns用来指定方程表达式，vars用来指定要求解的【例1.4-2续】求解非齐次线性方 x1x22x33x42x2xx x1x28x37x4

©谢中华 应用培训>>A=sym([1-12-3;-2211;-118->>X=>>b=>>[x1,x2,x3,x4]=solve(A*X-b,>>X=X=z+z11-zz11+原方程组的通解

1 1 x k,kx k,k 10 21 1

©谢中华 应用培训三、向量组的秩、极大无关组与线性表.【例1.4-3】求如下向量组的秩和一个极大无关组，并用该大无关组表示其余向1 2 3 12 3 5 4 5 21

25

04

1 3

55

©谢中华 应用培训>>a1=[1-22

由行最简形矩阵可知原向量组的>>a2=[-132>>a3=[2-50-

3，1,2并

是一个极大无关>>a4=[-341->>a5=[1-55->>A=>>rref(A)ans=

312531

41010301-0-01010301-0-0001100000四、向量组的内借助矩阵乘法求向量的

【例1.4-4】求两向量

3T 2

5T内积>>a1=[12>>a2=[10-1>>d=a1*a2d=

©谢中华 应用培训调用norm函数求向量的

【例1.4-5】求向

0.14T的长>>norm([42.2ans=

©谢中华 应用培训五、线性无关向量组的

1.调用orth函数把线性无关向量组化为正交B %把矩阵A的列向量组正交【例1.4-6】把如下线性无关向量组化为正交向1

42 3 1 0

©谢中华 应用培训>>a1=[12->>a2=[-13>>a3=[4-1>>A=>>B=orth(A)B=[6^(1/2)/6,-3^(1/2)/3,[6^(1/2)/3, [-6^(1/2)/6,3^(1/2)/3,

©谢中华 应用培训第五节矩阵的特征值与特征向量

©谢中华 应用培训一、方阵的特征多. %A为方阵，var为特征多项式 2【例1.5-1】求矩阵A 4的特征多项式 5 5>>A=[22-2;25-4;-2-4>>f=charpoly(A,f=x^3-12*x^2+21*x->>f=f=(x-10)*(x-

©谢中华 应用培训二、方阵的特征值与特.>>lambda=>>[V,D]=素为矩阵A的特征值，输出V的各列是A的特征向量，其第iD的对角线i个特征值对应。

©谢中华 应用培训 2【例1.5-2】求矩

A 4的特征值与特征向量 5 5>>A=sym([22-2;25-4;-2-4V=