正弦定理和余弦定理的应用

正弦定理和余弦定理的应用学问点：1、正弦定理：a

b c 2R．sin sin sinC2a2Rsinb2Rsinc2RsinC；②sin a ，

b ，sinC c ；③a:b:csin:sin:sinC；2R④ abc

sin2Ra

2R b c ．sinsinsinC sin sin sinC3S

1bcsin1absinC1acsin．2 2 24222bco222aco222aco．5、余弦定理的推论：cosb2c2a2cosa2c2b2

，cosCa2

c2．2bc 2ac 2ab6a、b、c是C的角、、Ca2b2

c2C90；②假设a2b2

c2，则C90；③假设a2b2

c2，则C90．典型例题：1、如图，设A,B两点在河的两岸，一测量者在A点的同侧，在A所在的河岸边选定一CAC50mACB450CAB1050A、B间的距离为多少？

解： ABC1800ABA

1050

300

，由正弦定理得AB AC

,AB

50sin450

50 2.〔略〕sinACB sinABC

sin300C2、如图，A、B两点间有小山和小河，为了求A、B两点间的距离，选择一点D，使AD可以直接测量，且B、D两点可以通视，再在AD上选一点C，使B、C两点也可通视，测量以下数据：AC=12，CD=15，9001200AB．B BCD中，DBC300BC

15sin300

30,在ABC中，由余弦定理得A2123213co1201404D C

AB6 39.3、炮兵阵地位于地面A处，两观看所分别位于地面点C和D处，CD6000m,ACD450,ADC750目标消灭于地面点B处，测得BCD300BDC150,求炮兵阵地到目标的距离AB．A解：在ACDCAD1800A

ACDADC600,AD

CDsin450sin600

2CD,中3C D 在BCD中，CBD1800 BCDBDC1350,BBD

CDsin300sin1350

CD.22242在ABDADBADCBDC900,42AD2AD2BD2

21CD CD10004.,答〔略3 2 64、地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB=20m，在A处测得P点的仰角OAP300，在B处测得P点的仰角OBP450又测得AOB600求旗杆的高度h.AOP 解：在tAPAO

OAP 300,OP h,OA

OP 在BP

OBP450,OB

OPtan450

h,

在AOB 中，AB=20，AOB600AB2OA2OB22OPOBcos600,B即202(3h)2h223h1,h2

32 435、在一建筑物底部B处和顶部A处分别测得山顶C的仰角为600和450,〔AB连线垂直于水平线，建筑物AB的高为20，求山的高度DC.C解在AB中,得BCC

AB , BC 20sinBAC sinACB ,sin1350 sin(600450)BC

20sin1350

10

31m，sin(600450) 6 2D 4在RBCD中，CDBCsin60010(3 3). 答〔略〕6、在某点B处测得建筑物AE的仰角为，沿BE30m至C处，测得A的仰3角为2，再连续前进10 m至D点，测得A的仰角为4，求和建筑物AE高.3BAB3解：在ACD中，AC=BC=30m，AD=DC=10 m，3ADC18004,10 3 30 .D E

32sin2cos2,cos23RtADEAEADsin600

,2300,150.215. 〔略〕7、某渔船在航行中不幸遇险,发出求救信号,我海军舰艇在A处得悉后,马上测出该渔船在方位角为450A10海里的C1050的方向,9海里/B靠拢,21海里/小时的速度前去营救，试问舰艇应依据怎样的航向前进？并求出靠近渔船所用的时间(cos21047/

CAxh,AB=21x海CB 里，BC=9x海里，AC=10海里，易知ACB1200,AB2AC2BC22ACBCcos1200,A 即(21x2102(9x22109xcos1200即36x29x100,x2,AB21x14BC9x6,3再由余弦定理得cosBAC

AB2AC2BC2

14210262

0.9286.2ABAC 21410BAC21047/,4502047/66047/. 〔略〕8、在海岸A处觉察北偏东450方向，距A处31B处有一艘走私船，在A3处北偏西750A2C处我方缉私船奉命以103

海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东300方向逃跑，问：缉私船沿怎样的方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.DCDt小时，才能最快截获3E3走私船，则CD=10

t海里，BD=10t海里，BC A B

AC2

2ABACcosA6,BC 6.2BC AC ACsinA 2sin1200262又 ,sinABC ,ABC450.sinA sinABC BC62所以B点在C点的正东方向上，CBD900

300

1200,BD CD又

,sinBCD

BDsinCBD

10tsin1200

1.10 3tsinBCD sinCBD CD 210 3tBCD300,DCE900300600,CBD1200,BCD300,D300,BDBC,10t 6,t

. 〔略〕6106正弦定理和余弦定理的应用练习一、选择题：61、海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成600的视角，从B岛望C岛和A岛成750的视角，则B、C间的距离是〔 〕6A.10

3海里 3

10 海里 C.562362

海里 D.5 海里2A、B、C三个小岛，A、B8海里，A、C5A岛测得B岛和C岛的视角为600，则B岛与C岛相距的海里数是〔 〕129A. 5 B. 6 C. 7 D.1293、一船向正北航行，观察正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，连续航行半小时后，观察一灯塔在船的南偏西600，另一灯塔在船的南偏西750，则这只船的速度是〔 〕5海里/小时B.5

3海里/小时 C.10海里/小时 D.103

3海里/小时34、在地面A处测得树梢的仰角为600，A与树底部B相距5m，则树高为〔 〕35 33A.5 m B. 5m C. 1035 335两灯塔A和B与海洋观看站C的距离相等灯塔A在观看站C的北偏东400,灯塔B在观看站C的南偏东600，则灯塔A在灯塔B的〔 〕北偏东100

北偏西100

南偏东100

南偏西100二、填空题：C3610C3

m，从乙楼底望楼顶的仰角为600，A 从甲楼顶望乙楼顶的俯角为450则甲楼的高度是ED B7100m2的山顶上,测量山下一塔顶与塔底的俯角分别为300、600,则此塔高为8、有一长为10m的斜坡，它的坡角为750，在不转变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的坡角改为300，则坡底要延长 .9A南偏西50012B处,觉察敌舰正由岛沿北偏西100方向以10海里/小时的速度航行,2小时追上敌舰,则需要速度的大小为10A处测得遇险渔船在北偏东4505海里的C偏东750方向，以4.5海里/小时的速度向一小岛靠近，舰艇时速10.5海里/小时，则舰艇到达渔船的最短时间是 小时.三、解答题：11、如图，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标记物C，测得CAB450CBA750,AB120m试求河宽。CA D BABDC12、在地面C处观看同一铅垂面内迎面飞来的一架飞机，当飞机在A处时，测得其仰角为3001minB750480km/hABDC13、海中小岛A38海里内有暗礁,船正向南航行,B处测得小岛A在船的南偏东30030海里到C处，在C处测得小岛A在船的南偏东450，假设此船不转变航向，连续向南航行，有无触礁危急？BABA14A北偏东300C处有一观看站，港口正东方向B处有一轮船，BC31海里，该轮船从B20DCD21海里，问：此时轮船距离港口A还有多远？CBCA D正弦定理和余弦定理的应用练习答案一、选择题：DCCAB二、填空题：6、30m 7、200 3

8、10 2m 9、14海里/h 10、23三、解答题：11、C 解：ACB1800450750600由正弦定理得ABsin750

3)A2612、26

B ACD解：

sin600

203 1A B D CAB 300,ACB 450,AB 48060由正弦定理有BC ABsinCAB 4 2.sinACB3C3

8km.13、

在BCDCDBCsin7502

2(km). 〔略〕BA6解：在ABCBC30B300,ACB1350,