2.1.1曲线与方程学习

曲线与方程Oxyx-y=012-1-22-2答：（1）直线l上的点的坐标都是方程x-y=0的解；M（x,y)问题1:坐标平面中第一、三象限的平分线L的方程是什么？如何理解两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线l的方程是x-y=0？思考：（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在直线上。问题2：函数y=ax2(a>0)的图象是关于y轴对称且经过原点的抛物线，这条抛物线是所有以方程y=ax2的解为坐标的点组成。这句话的意义是什么？答：如果M（x0,y0)是抛物线上的点，那么（x0,y0)一定是这个方程的解；反过来，如果（x0,y0)是方程y=ax2的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上。这样，我们就说y=ax2是这条抛物线的方程。3-3-13Oxyy=ax2(a>0)M(x0,y0)如何理解以（a，b)为心半径为r的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2?（a，b)圆上点的坐标都是方程的解以方程的解为坐标的点都在圆上一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)与二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程f(x,y)=0叫做这条曲线C的方程;这条曲线C叫做这个方程f(x,y)=0的曲线.1、定义说明:1）曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系;f(x,y)=00xy2）方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形.定义的特征“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，说明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外（纯粹性）。“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”说明符合条件的点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。简记：曲线上的点都符合方程即：“形由数成”简记：符合条件的都在曲线上即：“数由形定”例1:如果曲线C上所有点的坐标都是方程F(x,y)=0的解,那么以下说法正确的是()A.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上B.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点有些不在曲线C上C.不在曲线C上的点的坐标都不是方程F(x,y)=0的解D.坐标不满足方程F(x,y)=0的点都不在曲线C上分析:本题是曲线与方程的定义的应用问题.解:按曲线与方程的定义可知,已知条件交代的曲线C和方程并不一定是相互的,因此A､B､C都无正确的依据,另外,已知条件逆否命题恰好是D,故D是正确的选项.D练习1.命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是正确的,下面命题中正确的是()A.方程f(x,y)=0的曲线是CB.方程f(x,y)=0的曲线不一定是CC.f(x,y)=0是曲线的方程D.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线上解析:由题设知曲线C与方程f(x,y)=0不是对应关系,所以答案B正确.B已知f(x,y)=0是曲线c的方程，（1）若点M(x,y)的坐标是方程f(x,y)=0的解，则点M在曲线C上.（错误）（正确）（错误）（正确）（4）若点M(x,y)在曲线C上，则点M的坐标不一定满足方程f(x,y)=0.（3）若点M(x,y)在曲线C上，则点M的坐标满足方程f(x,y)=0.（2）若点M(x,y)的坐标是方程f(x,y)=0的解，则点M不在曲线C上.2.判断正误：3判断下列说法是否正确.O(1)方程：|x|-y=0的曲线如下图.

x

y(曲线上有的点的坐标(x,y)不满足方程)(1).曲线C上点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)=0的解.(2).以方程f(x,y)=0的解为坐标的点(x,y)都在曲线C上.满足（2)

但不满足(1)O

x

y(2).和两条坐标轴距离相等的点的轨迹方程是:

y=x(除了直线y=x上的点满足条件外,还有其他的点满足条件.)(1).曲线C上点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)=0的解.(2).以方程f(x,y)=0的解为坐标的点(x,y)都在曲线C上.满足（1)

但不满足(2)或y=-x4:下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？

(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0;

(2)曲线C是Ⅰ,Ⅱ象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集，其方程为y=。10xy-11xy-11-2210xy-11-221轨迹方程的证明：证明与两条坐标轴的距离的积是常数k（K>0）的点的轨迹方程是xy=±k分析：（2）以方程的解为坐标的点在轨迹上（1）轨迹上的点的坐标适合方程第一步，设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；归纳:

证明已知曲线的方程的方法和步骤

第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.例2

证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2+y2=25,并判断点M1(3，-4)，M2(-3，2)是否在这个圆上.证明：(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点.因为点M到坐标原点的距离等于5，所以也就是xo2+yo2=25.

即(x0,y0)是方程x2+y2=25的解.(2)设(x0,y0)是方程x2+y2=25的解，那么

x02+y02=25

两边开方取算术根，得即点M(x0,y0)到坐标原点的距离等于5，点M(x0,y0)是这个圆上的一点.由1、2可知，x2+y2=25,是以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程.0