六函数逼近用简单的近似代替复杂是计算数学中最基本方法之一

第六章函数称称为的函数与近函数R(xf(xp(x称为近的误差或项理解为一种近形式。 展开f(n)(x

f(x)

f

)f

)(x

) 0(x

)n

(n

(x

的部和近fx也是一种近方法，其特点是：x越接近于x0，误差就越小如何在给定精度下求出计算量最小的近似式这就是函数近要解决的问题。近的度量标准有：一致近和平方近。1设(x)定义在有限或无限区间[a,b]上，若具有下列性质)ab

nx(x)dx存在，(n0,1,2,(3)对非负的连续函g(x)，若ag(x)(x)dx0，则在(a,b)g(x)1x20，称(x)为[a,b]上的权函数。常用权函数有：[1,1],(x)1x2[0,],(x)ex；[,],(x)ex2；[11],(x)1等定义2设f(x)，g(x)C[a,b]，(x)是[a,b]上的权函数，则称f,g (x)f(x)g(x)dxbg(x)在[a,b]上以(x)为权函数的内积a内积有如下性质：(1)(f,f)≥0，且(f,f)=0f=0；(2)(f,g)=(g,f(3)f1f2,gf1,gf2,g)；(4)对任意实数k，(kf,gk(f,g)3f(x)，g(x)C[a,b]，若f,g)b(xf(x)g(x)dx0a(x)g(x)在[ab]上带权(x)正交44设在[a,b]上给定函数系0(x1(xn(x，若满足条((x),(x)jkjjkjk01A是常数，则称{k(x)}是[a,k上带权(x)的正交函数系。当Ak1时称函数系为标准正交函数系验证多项式：1,

x21在[11上带权(x1两两正交。容易3证

1xdx0，

1x21dx0，

xx21dx1x31xdx013 13

3 3311112dx0，1x2dx0，

x21

22dx0结论成立 ,1cos

31 3

nx,cossin 在[-,nx,cossin且函数自乘之积在[-,]上的积分是1切多项切多项式具有很多重要性质，是函数近的有效工具定义：可以用递推关系给出切（Chebyshev）多项式Tn(x)的定义如下：T0(x)1,T1(x)x,Tn1(x)2xTn(x)Tn1(x)(n1,2。情况此式成立，则对n+1的情况是：2coscos(n)[cos(n)cossin(n)sin利用此关系（令xcos）可以证明切多项式的正交性切多项式具有以下性质1x2正交性：{Tn(x)}在[-1,1]上是带权1x2

的正交多项式序奇偶性：当n为奇数时Tn(x)为奇函数；n为偶数时为零点：Tn(x)在[-1,1]上有n个

cos(2k1) (k1,2,,n)极值点Tn(x)在[-1,1]上有n+1个极值点

n轮流取1和-1例在[-1,1]上找多项式近ex，使误差<0.01 先对ex在0处作展开，有x xx

，取前六项

p(x)1x1x21x31x

作为ex的近似，这时截断误1 1R5(x)

e

1e0.0038，能否降低p5(x)的次数？将p5(x)表示为p

T217T

x1 192 )

0.0058

x1上y(x)81

217

13

17

近似代替ex的总误差不超64

192

48

3840.0038+0.00580.01定理：在区间[-1,1]上所有首1的n次多项式中,0的偏差最小的多项式为Tn(x)。证明：假设有一个首1n次多项式P(x)0的偏差比Tn(x)还小则考虑Q(x)=P(xTn(x)Q(x)次数小于n，由于Tn(x)在[-1,1] n+1个极Q(x)在[-1,1]有n个不同零点，于是Q(x)所以P(xTn(x)要使日插值多项式L(x)尽量近函数f(x)，则余项R(x)就要尽量小。在R(x)中f(x)是固定的，而ξ又是未知数，所以要减小余项，有一条途径是恰当选择节点集，使得在插值区间内余项的最大为极小值。只在区间[-1,1]上讨论切插值法：当取定第一类点

cos2k1k0,1,2n为插值点2nn(x)(xx0)(x则R(x)

最佳平方介绍在[a,b]上较易计算的最佳平方近11设i(x在[ab]上连续a00(xa11(xann(x)0当且当a0a1an0，则称i(x在[ab]上是线性无关的，否则称线相关如果函数系{k(x)}中的任何有限个函数线性无关则称函数{k(x)}为线性无关函数系，例如{1,x,…,xn,…}就是在[a,b]上线无关i(x)在[a,ba0,a1,anS(x)a00(xa11(xann(x的全体是C[a,b]的一个子集，记为Span{01n，并称i(x是基底。例如Pn=Span{1,x,x2,xn}表示由基底1,x,…xn生成的多项式集合定理连定理连续函数0(x1(xn(x在[a,b]上线性无关的充分必要。 (n,n (0,n (1,n(0,0 (0,1(1,0 (1,1(n,0 (n,1是这个定理等价于0(x1(xn(x在[a,b]上线性相关的充分必要条件是Gn=0，证明这个结论更简单一些。2对于给定的函数f(xC[abS*(x)f(x)在集合中的最平平近函数，如果bf(x)S(x)dx (x)fxx*2baSpan{01n}n n

S*x)

a*j

的问题可归结为求系a*a*,a*，使I

2,a,,a) (x)f(x)a2

取得极I(aa,

j

jj(x) an)是关于a0,a1,…，an的二次函数，利用多元函数取得极值的必 I

(0,0 (0,1 (0,n)a0 (f,0) (01,0 (1,1

(1n)a1f1法方程其系

,

,1

n,

)an

(f,n行列式就是Gn，由于01,…n线性无关，故Gn0，上述方程组例 f

x[1,1，求不超过二次的多f(xP(x)]2最小0设P(x)abxcx20

(x)1，1(x)x

(x)x2，(x)12a2c

,

)a

,1)b

,

)c(0,f

2由法方

(,

)a)b)c,f)

b

解此

322

,

)a

,1)b

,

)c(2,f

2a2c 性方程组得b0a

3,c

，所P(x)36x

，偏1(x4P(x2dx0.012最小二乘

f f x0x1xmax0,bxm。选取C[a,b中函数集SSpan{0(x),1(x),,n(xX{x0,xm且mn。最小二nn近问题就是：在函数集合S中求函数，P(xajj(x)，使ijimim

p(x)2达到最小，其中

i0为系S中这样i最佳近是否存在且唯一定义1定义1：设已fxgx在点Xx0x1,xm上的函数值i(i0m(fg)if(xi)g(xim线性无关的定义，还可以给出函数关于离散点集的线性无关的条件。 I(aa

)yp(x)2ya(x

取得极

j j 小值，由于I(a0,a1,…，an)是关于a0,a1,…，an的二次函数，利多元函数取得极值的必要条件

I

，可得 m n iyik(xiajij(xi)k(xiajij(xi)k(xiaj(j,k)，即

i0j

j0

nn

mm（f,k）iyik(xi

(0,0 (0,1 (0,n)a0 (f,0) (01,0 (1,1

(1n)a1f1法方程其系

,

,1

n,

)an

(f,n行列式就是Gn，由于01,…n线性无关，故Gn0，上述方程组1实际测定纤维强度与其拉伸倍数的关系见下表，根据测量点连线图形的极值特性，构造适当的次数多项式，达到最小二乘近。拉伸倍拉伸倍152253645667388879444982已知实验数据如下01234567813456789542112342试用最小二乘法求它的二次拟合多项式2解：设拟合曲线方程为y

a1xa2

381a0

32 3017a147 1 解得y13.45973.6053yi,i 多项式构成的函数集P(x)axiIP(xy2最小，im

种近称为多项式近。Iaxjy