高中数学6示范教案(241等比数列的概念通项公式)新人教版必修5

2.4等比数列等比数列的观点及通项公式冷静讲课本节内容先由师生共同解析平时生活中的实质问题来引出等比数列的观点，再由教师引导学生与等差数列类比研究等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行联系，领会等比数列与指数函数的关系，既让学生感觉到等比数列是现实生活中大批存在的数列模型，也让学生经历了从实质问题抽象出数列模型的过程.教课中应充分利用信息和多媒体技术，给学生以许多的感觉，激发学生学习的踊跃性和思想的主动性.准备丰富的阅读资料，为学生供给自主学习的可能，从而达到更好的理解和稳固讲堂所学知识的目的.教课要点1.等比数列的观点;2.等比数列的通项公式.教课难点1.在详细问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系

;2.等比数列与指数函数的关系.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技术1.认识现实生活中存在着一类特别的数列

;2.理解等比数列的观点，研究并掌握等比数列的通项公式;3.能在详细的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用相关的知识解决相应的实质问题;4.领会等比数列与指数函数的关系.二、过程与方法1.采纳察看、思虑、类比、归纳、研究、得出结论的方法进行教课;2.发挥学生的主体作用，作好研究性活动;3.亲密联系实质，激发学生学习的踊跃性.三、感情态度与价值观1.经过生活中的大批实例，鼓舞学生踊跃思虑，激发学生对知识的研究精神和严肃仔细的科学态度，培育学生的类比、归纳的能力;2.经过对相关实质问题的解决，表现数学与实质生活的亲密联系，激发学生学习的兴趣.教课过程导入新课师现实生活中，有很多成倍增加的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出近似的例子吗？生一粒种子生殖出第二代120粒种子，用第二代的120粒种子能够生殖出第三代120×120粒种子，用第三代的120×120粒种子能够生殖出第四代120×120×120粒种子，师特别好的一个例子！现实生活中，我们会碰到很多这种的案例.教师出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型.师细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题近似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？生经过察看和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所获得的细胞数，从而获得每次细胞分裂所获得的细胞数构成下边的数列：1，2，4，8，①教师出示投影胶片1：“一尺之棰，日取其半，万世不停.”师这是《庄子·天下篇》中的一个阐述，能解说这个阐述的含义吗？生思虑、议论，用现代语言表达.师(用现代语言表达后)假如把“一尺之棰”当作单位“1，”那么获得的数列是什么样的呢？生发现等比关系，写出一个无量等比数列：1，1，1，1，1，②教师出示投影胶片2：计算机病毒流传问题.24816一种计算机病毒，能够查找计算机中的地点簿，经过邮件进行流传.假如把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假定每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的状况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢?师(读题后)这种病毒每一轮流传的计算机数构成的数列是如何的呢？指引学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染20台计算机”中蕴涵的等比关系.生发现等比关系，写出一个无量等比数列：1，20，202，203，204，③教师出示多媒体课件二：银行存款利息问题.师介绍“复利”的背景：“复利”是我国现行按期积蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一同算作本金，再计算下一期的利息，也就是往常说的“利滚利”我.国现行按期积蓄中的自动转存业求实质上就是按复利支付利息的.给出计算本利和的公式：本利和=本金×(1+本金)n，这里n为存期.生列出5年内各年终的本利和，并说明计算过程.师生合作议论得出“时间”“年初本金”“年终本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年终本利和(单位：元)构成了下边数列：10000×1.0198，10000×1.01982，10000×1.01983，10000×1.01984，10000×1.01985.④师回想数列的等差关系和等差数列的定义，察看上边的数列①②③④，谈谈它们有什么共同特色？师指引学生类比等差关系和等差数列的观点，发现等比关系.引入课题：板书课题2.4等比数列的观点及通项公式推动新课［合作研究］师从上边的数列①②③④中我们发现了它们的共同特色是：拥有等比关系.假如我们将拥有这样特色的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？生回想等差数列的定义，并进行类比，说出：一般地，假如把一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.［教师精讲］师同学们归纳得很好，这就是等比数列(geometricsequence)的定义.有些书本把等比数列的英文缩写记作G.P.(GeometricProgression).我们此后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等比数列的公比(commonratio)，公比往常用字母q表示(q≠0).请同学们想想，为何q≠0呢？生独立思虑、合作沟通、自主研究.师假定q=0，数列的第二项就应当是0，那么作第一项后边的任一项与它的前一项的比时就出现什么了呢？生疏母为0了.师对了，问题就出在这里了，所以，一定q≠0.师那么，等比数列的首项能不可以为0呢？生等比数列的首项不可以为0.师是的，等比数列的首项和公比都不可以为0，等比数列中的任一项都不会是0.［合作研究］师类比等差中项的观点，请同学们自己给出等比中项的观点.生假如在a与b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项.师想想，这时a、b的符号有什么特色呢？你能用a、b表示G吗？生一同研究,a、b是同号的Gb，G=±ab，G2=ab.G师察看学生所获得的a、b、G的关系式，并赐予必定.增补练习：与等差数列同样，等比数列也拥有必定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即an-k+an+k=2an.对于等比数列来说，有什么近似的性质呢？生独立研究，得出：等比数列有近似的性质：an-k·an+k=an2.［合作研究］研究：一个数列a1,a2,a3,,an,(a1≠0)是等差数列，同时还可以不可以是等比数列呢？(2)写出两个首项为1的等比数列的前5项，比较这两个数列能否同样？写出两个公比为2的等比数列的前5项，比较这两个数列能否同样？任一项an及公比q同样，则这两个数列同样吗？随意两项am、an同样，这两个数列同样吗？若两个等比数列同样，需要什么条件？师指引学生研究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学生回答.生研究并分组议论上述问题的解答方法，并沟通(1)的解答.［教师精讲］归纳总结对上述问题的研究，得出：(1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为为1的既是等差数列又是等比数列的数列.归纳学生对(2)(3)(4)的解答.

0，公比(2)中，首项为

1，而公比不一样的等比数列是不会同样的；公比为

2，而首项不一样的等比数列也是不会同样的.中，是指两个数列中的任一对应项与公比都同样，可得出这两个数列同样；中，是指两个数列中的随意两个对应项都同样，能够得出这两个数列同样；(5)中，结论是：若两个数列同样，需要“首项和公比都同样”.(研究的目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必需条件；为等比数列的通项公式的推导做准备)［合作研究］师回首等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？生推导等比数列的通项公式.［方法指引］师让学生与等差数列的推导过程类比，并指引学生采纳不完整归纳法得出等比数列的通项公式.详细的，设等比数列{an}首项为a1，公比为q，依据等比数列的定义，我们有：a2=a1q,a3=a2q=a1q2,,an=an-1q=a1qn-1，即an=a1qn-1.师依据等比数列的定义，我们还可以够写出a2a3a4...anq,a1a2a3an1从而有ann-1n-22n-331n-1.=aq=aq=aq==aq亦得an=a1qn-1.师察看一下上式，每一道式子里，项的下标与q的指数，你能发现有什么共同的特色吗？生把an当作anq0，那么，每一道式子里，项的下标与q的指数的和都是n.师特别正确，这里不单给出了一个由an倒推到an与a1，q的关系，从而得出通项公式的过程，并且此中还包含了等比数列的基天性质，在后边我们研究等比数列的基天性质时将会再提到这组关系式.师请同学们环绕依据等比数列的定义写出的式子a2a3a4...anq,再思虑.a1a2a3an1假如我们把上边的式子改写成a2a3a4q,...,anq.a1q,q,an1a2a3那么我们就有了n-1个等式，将这n-1个等式两边分别乘到一同(叠乘)，获得的结果是ann1n1n-1qq.a1,于是，得a=a师这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？师在上述方法中，前两种方法采纳的是不完整归纳法，严格的，还需给出证明.第三种方法没有波及不完整归纳法，是一个完满的推导过程，不再需要证明.师让学生说出公式中首项a1和公比q的限制条件.生a1，q都不可以为0.［知识拓展］师前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒流传”“复利计算”的练习和习题，那边是用什么方法解决问题的呢？教师出示多媒体课件三：前面实例中对于“细胞分裂”“计算机病毒流传”“复利计算”的练习或习题.某种积蓄按复利计算成本利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x,本利和为y元.（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；（2）假如存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.师前面实例中对于“细胞分裂”“计算机病毒流传”“复利计算”的问题是用函数的知识和方法解决问题的.生比较两种方法，思虑它们的异同.［教师精讲］经过用不一样的数学知识解决近似的数学识题，从中发现等比数列和指数函数能够联系起来.(1)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为nn-1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，a=2你发现了什么？(2)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为an(1)n1的数列的图象和函数y=(1)x-1的22图象，你又发现了什么？生借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，而后沟通、议论、归纳出两者之间的关系.师出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.察看它们之间的关系，得出结论：等比数列是特别的指数函数，等比数列的图象是一些孤立的点.师请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等比数列，并填补以下表格：等差数列等比数列定义从第二项起，每一项与它前一项的从第二项起，每一项与它前一差都是同一个常数项的比都是同一个常数首项、公差(公比)取值有没有任何限制首项、公比都不可以为0无穷制通项公式an=a1+(n-1)dan=a1qn-1相应图象的特色直线y=a11x-1图象上孤立的点+(x-1)d上孤立的点函数y=aq［例题解析］【例1】某种放射性物质不停变化为其余物质，每经过一年，剩留的这种物质是本来的84％，这种物质的半衰期为多长(精准到1年)？师从中能抽象出一个数列的模型，并且该数列拥有等比关系.【例2】依据右图中的框图，写出所打印数列的前5项，并成立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？师将打印出来的数挨次记为a1(即A)，a2，a3，.11可知a1=1;a2=a1×;a3=a2×.22于是，可得递推公式a11,an1a1(n＞.2n1)因为an1，所以，这个数列是等比数列