高中数学第5章函数概念与性质53第1课时函数的单调性第一册数学教学案

5.3函数的单一性第1课时函数的单一性学习目标

核心修养1．理解并掌握单一增(减)函数的定义及其几何意义．(要点)

经过学习本节内容，提高学2．会用单一性的定义证明函数的单一性．

(重

生的直观想象和逻辑推理点、难点

)

修养．3．会求函数的单一区间．

(要点、难点

)我们知道，“记忆”在我们的学习过程中饰演着特别重要的角色，所以有关记忆的规律向来都是人们研究的课题．德国心理学家艾宾浩斯以前对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了近似以下图所示的记忆规律．假如我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量(单位：%)，则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为y＝f(x)．这个函数反应出记忆拥有什么规律？你能从中获得什么启迪？1．单一增(减)函数的观点设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I?A．假如关于区间I内的任意两个值x1，x2．当x1<x2时，都有(1)f(x1)<f(x2)①称y＝f(x)在区间I上是增函数．②I称为y＝f(x)的增区间．(2)f(x1)>f(x2)①称y＝f(x)在区间I上为减函数．②I称为y＝f(x)的减区间．2．函数的单一性与单一区间假如函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y＝f(x)在区间I上拥有单一性，增区间和减区间统称为单一区间．思虑：在增、减函数定义中，可否把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，x2”？[提示]不可以．如下图，虽是f(－1)<f(2)，但f(x)在[－1,2]上其实不是单一的．1．思虑辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)全部函数在定义域上都拥有单一性．()(2)增、减函数定义中的“任意x1，x2∈D”能够改为“存在x1，x2∈D”．()(3)若函数f(x)在实数集R上是减函数，则f(0)＞f(1)．()[提示](1)比方二次函数y＝x2在R上不拥有单一性．一定对全部的都建立才能说明单一．减函数中自变量越小函数值越大．[答案]

(1)×

(2)×

(3)√2．函数

f(x)的图象如下图，则函数的单一递加区间是

．[－1,2]

[在区间

[－1,2]

上，函数

f(x)的图象由左至右“上涨”，即在区间

[－1,2]上，f(x)跟着

x的增大而增大，∴在

[－1,2]

上，f(x)为增函数．

]3．若函数

f(x)在R上是减函数，且

f(a)＞f(b)，则

a与

b的大小关系是

．a＜b

[由减函数的定义知

a＜b．]利用函数图象求单一区间【例1】作出以下函数的图象，并写出单一区间．(1)y＝x2－4；(2)y＝－2；(3)x－22，x≥0，f(x)＝xx＋4，x<0.[思路点拨]在图象上看从左向右上涨的部分即递加，从左向右降落的部分即递减．[解]三个函数图象如图(1)(2)(3)．(1)(2)(3)y＝x2－4的单一递减区间为(－∞，0]，递加区间为[0，＋∞)．2y＝－x的单一增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无递减区间．f(x)的单一增区间为(－∞，0]，[2，＋∞)，递减区间为[0,2]．1．应用图象确立单一性时，应掌握各样基本函数的图象的形状，并能经过图象的“上升”或“降落”趋向来找到函数的递加或递减区间，但应注意端点能否在定义域以内．2．当函数的单一区间不独一时，中间用“，”分开，或用“和”连结，但不可以用“或”和“∪”连结．[跟进训练]1．函数f(x)＝－x2＋|x|(x∈R)的单一递加区间为．112－x2＋x，x>0，－∞，－2，0，2[f(x)＝－x＋|x|＝－x2－x，x≤0，图象如下图：1f(x)的单一增区间为－∞，－2，0，2．]函数单一性的判断与证明x＋2【例2】用定义证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上是减函数．x＋1[思路点拨]解答此题可直接利用函数单一性的定义来判断．x1＋2[证明]设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x2＋2x2－x1．－＝212＋1x＋1x＋1x∵－1＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，x－x1∴2＞0，即f(x1)＞f(x2)，1＋1x2＋x1x＋2∴y＝x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．用定义证明(判断)函数单一性的步骤[跟进训练]x2＋12．证明函数f(x)＝x在(1，＋∞)上单一递加．[证明]12，＋∞)，且12任取x，x∈(1x<x，22＋111x＋1x＝x1＋x1－x2＋x2f(x1)－f(x2)＝x1－x221x1x2－1＝(x1－x2)＋x1x2＝(x1－x2)x1x2．x1，x2>1，∴x1x2>1，∴x1x2－1>0．又x1<x2，∴x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上单一递加．单一性的应用[研究问题]1．怎样利用函数的单一性比较两个函数值的大小？[提示]先判断函数f(x)在区间D上的单一性，假如函数f(x)在D上是增函数，当x1<x2时，则f(x1)<f(x2)，假如f(x)在D上是减函数，结论则相反．2．假如已知函数的单一性和函数值的大小，可否判断对应自变量的大小？[提示]能．利用函数单一性，将函数值的大小关系转变为自变量的大小关系，即脱去f符号，转变为自变量的大小关系．【例3】已知函数f(x)是定义在[－2,2]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，则x的取值范围为．[思路点拨]依据单一性能够去掉f，还应试虑定义域．0，3上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，[∵f(x)是定义在[－2,2]23x－2<1－x，∴x<．2又f(x)的定义域为[－2,2]，－2≤x－2≤2，∴－2≤1－x≤2，0≤x≤4，3∴－1≤x≤3，∴0≤x≤3，综上，0≤x<2．]1．利用函数单一性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y＝f(x)在给定区间上是增函数，则当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，当x1>x2时，f(x1)>f(x2)；另一方面是逆向应用，即若y＝()在给定区间上是增函数，则当f(x)<(x)时，x<，当f(x)>(x)时，x>x．当12121212y＝f(x)在给定区间上是减函数时，同理可得相应结论．2．依据函数的单一性研究参数的取值范围，常常会依据函数在某一区间上的增减性确定不等式，此经常需要将含参数的变量独自移到一侧，用变量的范围推出参数的范围．[跟进训练]3．已知f(x)在R上为减函数且f(2)≥(9－)，则的取值范围是．mfmm≤3[由题意可得2≤9－，∴≤3．]mmmm1．对函数单一性的理解(1)单一性是与“区间”密切有关的观点，一个函数在定义域的不一样的区间上能够有不同的单一性．单一性是函数在某一区间上的“整体”性质，所以定义中的x1、x2有以下几个特点：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不可以扔掉，证明单一性时更不行任意以两个特别值替代；二是有大小，往惯例定x1<x2；三是属于同一个单一区间．单一性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2)?x1<x2(x1>x2)．其实不是全部函数都拥有单一性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不拥有单一性．2．单一性的判断方法定义法：利用定义严格判断．图象法：作出函数的图象，用数形联合的方法确立函数的单一区间．用两个函数和(差)的单一性的规律判断：“增＋增＝增”，“减＋减＝减”，“增－减＝增”，“减－增＝减”．1．以下四个函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是()12A．f(x)＝－x＋1B．f(x)＝x－3xC．f(x)＝3－xD．f(x)＝－|x|1A[函数f(x)＝－x＋1的单一递加区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞)，明显在(0，＋233∞)上是增函数；函数f(x)＝x－3x在0，上单一递减，在，＋∞上单一递加；函数22f(x)＝3－x在(0，＋∞)上是减函数；函数f(x)＝－|x|在(0，＋∞)上是减函数，故B、C、D错误．]2．已知函数f(x)的图象如下图，则f(x)的单一减区间为．1，2[由题图知，f(x)在11，2．]2，2上图象呈降落趋向，∴单一减区间为223．若函数f(x)＝(k－2)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围为．(－∞，2)[∵f(x)＝(k－2)x＋b在R上是减函数，∴k－2＜0，∴k＜2．]14．已知函数f(x)＝x＋2x＋2，x∈[1，＋∞)．判断函数f(x)在区间[1，＋∞)上的单一性；(2)解不等式：f2x－1＜f(x＋1010)．2[解](1)设1≤x1＜x2，11f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－2x12x2x1(x1－x2)＋2x1x2x21＝(x1－x2)1－2x1x22x1x2