圆的标准方程与一般方程

圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确立直线的基本因素是什么圆作为平面几何中的基本图形，确立它的因素又是什么呢什么叫圆在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原能否也可用一个方程来表示呢假如能，这个方程又有什么特色呢研究研究：2、研究研究：确立圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（此中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上随意一点，那么点M知足的条件是（指引学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M合适的条件(xa)2(yb)2r①化简可得：(xa)2(yb)2r2②64A2M-55-2-4指引学生自己证明(xa)2(yb)2r2为圆的方程，得出结论。方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为A(2,3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5,7),M2(5,1)能否在这个圆上。剖析研究：能够从计算点到圆心的距离下手。研究：点M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的关系的判断方法：（1）(x0a)2(y0b)2>r2，点在圆外（2）(x0a)2(y0b)2=r2，点在圆上（3）(x0a)2(y0b)2<r2，点在圆内例（2）：ABC的三个极点的坐标是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求它的外接圆的方程师生共同剖析：从圆的标准方程(xa)2(yb)2r2可知，要确立圆的标准方程，可用待定系数法确立a、b、r三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C的圆l:xy10经过点A(1,1)和B(2,2),且圆心在l:xy10上,求圆心为C的圆的标准方程.师生共同剖析：如图确立一个圆只需确立圆心地点与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),因为圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在险段AB的垂直均分线m上，又圆心

C在直线

l上，所以圆心

C是直线

l与直线

m的交点，半径长等于

CA

或CB

。（教师板书解题过程）4l2A-55m-2BC-4-6总结概括：（教师启迪，学生自己比较、概括）比较例（2）、例(3)可得出VABC外接圆的标准方程的两种求法：①、依据题设条件，列出对于a、b、r的方程组，解方程组获得a、b、r得值，写出圆的标准方程.依据确立圆的因素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，而后再写出圆的标准方程.讲堂练习：课本p127第1、3、4题4.提炼小结：1、圆的标准方程。2、点与圆的地点关系的判断方法。3、依据已知条件求圆的标准方程的方法。圆的一般方程教课环节

教课内容师生互动设计企图课题引入观点形成与深化

问题：求过三点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题明显有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的限制性，那么这个问题有没有其余的解决方法呢带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程.请同学们写出圆的标准方程：(x–a)2+(y–b)2=r2，圆心(a，b)，半径r.把圆的标准方程睁开，并整理：x2+y2–2ax–2by+a2+b2–r2=0.取D=–2a，E=–2b，F=a2+b2–r2得x2+y2+Dx+Ey+F=0①这个方程是圆的方程.反过来给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲线必定是圆吗把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得(xD)2(yE)2D2E24F②(配224方过程由学生去达成)这个方程能否是表示圆（1）当D2+E2–4F＞0时，方程②表示以(DE)为圆心，,221D2E24F为半径的圆；22）当D2+E2–4F=0时，方程只有实数解xD,yE，即只表示一22个点(D,E)；23）当D2+E2–4F＜0时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形.综上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不必定是圆.只有当D2+E2–4F＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2+y2+Dx+

设疑激趣让学生带着问题进行思虑导入课题.整个研究过程由学生完经过成，教师只做指引，得出圆的学生对圆一般方程后再启迪学生概括.的一般方圆的一般方程的特色：程的研究，（1）①x2和y2的系数相使学生亲同，不等于0.身领会圆②没有xy这样的二次的一般方项.程的特色，（2）圆的一般方程中有及二元二三个特定的系数D、E、F，因次方程表此只需求出这三个系数，圆的示圆所满方程就确立了.足的条件.3）与圆的标准方程对比较，它是一种特别的二元二次方程，代数特色明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特色较明显.+y2+Ey+F=0的表示圆的方程称为圆的一般方程.例1判断以下二元二次方程能否表示圆的方程假如是，恳求出圆的圆心及半径.1）4x2+4y2–4x+12y+9=02）4x2+4y2–4x+12y+11=0分析：（1）将原方程变成x2+y29–x+3y+=049D=–1，E=3，F=4.∵D2+E2–4F=1＞0∴此方程表示圆，圆心（1，），半2径r=1.2（2）将原方程化为22x+y–x+3y+=0=–1，E=3，F=.D2+E2–4F=–1＜0∴此方程不表示圆.应用例2求过三点A(0，0)，B(1，1)，举例C(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.剖析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确立三个系数，而条件恰给出三点坐标，不如试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2Dx+Ey+F=0A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上边的方程，能够获得对于D、E、F的三元一次方程组：

学生自己剖析研究解决经过门路：①用配方法将其变形化例题解说成圆的标准形式.②运用圆的使学生理一般方程的判断方法求解.但解圆的一是，要注意对于（1）4x2+4y2般方程的–4x+12y+9=0来说，这里的代数特色D=–1，E=3，而不是D=–4，及与标准E=12，F=9.方程的相互转变更进一步培养学生探索发现及剖析解决问题的能力.例2讲完后学生议论沟通，概括得出使用待定系数法的一般步骤：1．依据题设，选择标准方程或一般方程.2．依据条件列出对于a、b、r或D、E、F的方程组；3．解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程.F0即DEF204D2EF200解此方程组，可得：D=–8，E=6，F=0∴所求圆的方程为：x2+y2–8x+6y=0r1D2E24F5；2D4,F3.22得圆心坐标为(4，–3).或将x2+y2–8x+6y=0左侧配方化为圆的标准方程，(x–4)2+(y+3)2=25，进而求出圆的半径r=5，圆心坐标为(4，–3).例3已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆上(x+1)2+y2=4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)因为点B的坐标是(4，3)且M是线段AB中要点，所以x04y03x,y，①22于是有x0=2x–4，y0=2y–3因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所以点A的坐标知足方程(x+1)2+y20202=4②=4，即(x+1)+y把①代入②，得(2x–4+1)2+(2y–3)2=4，整理得3)2(y321(x)22所以，点M的轨迹是认为圆心，半径长为1的圆.yMBA

教师和学生一同剖析解题思路，再由教师板书.剖析：如图点A运动惹起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标知足方程(x+1)2+y2=4.成立点M与点坐标之间的关系，就能够成立点M的坐标知足的条件，求出点M的轨迹方程.Ox讲堂练习：讲堂练习P130第1、2、3题.1．圆的一般方程的特色2．与标准方程的互化概括3．用待定系数法求圆的方程4．求与圆相关的点的轨迹教师和学生共同总结总结

让学生更进一步（回首）领会知识的形成、发展、完美的过程.圆的标准方程一、基础过关1．(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为()A．(－1,2)，2B．(1，－2)，2C．(－1,2)，4D．(1，－2)，42．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的地点关系是()A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．不确立3．圆的一条直径的两个端点是(2,0)，(2，－2)，则此圆的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝14．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝33x的距离为()C．15．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．6．圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1对于直线x＋2y－3＝0对称的圆的方程是________________．7．求知足以下条件的圆的方程：(1)经过点P(5,1)，圆心为点C(8，－3)；(2)经过点P(4,2)，Q(－6，－2)，且圆心在y轴上．8．求经过A(6,5)，B(0,1)两点，而且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．二、能力提高9．方程y＝9－x2表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆10．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．假如直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5均分且不经过第四象限，那么l的斜率的取值范围是________．12．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点可否在同一个圆上为什么三、研究与拓展13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．答案1．A4．A5．5＋232＋y－52＝17．解(1)圆的半径r＝|CP|＝5－82＋1＋32＝5，圆心为点C(8，－3)，∴圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.(2)设所求圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.∵点P、Q在所求圆上，依题意有16＋2－b22，r2＝145，＝r436＋2＋b2＝r2，?5b＝－2.∴所求圆的方程是145x2＋y＋22＝4.8．解由题意知线段AB的垂直均分线方程为3x＋2y－15＝0，3x＋2y－15＝0，∴由，3x＋10y＋9＝0x＝7，解得y＝－3.∴圆心C(7，－3)，半径r＝|AC|＝65.∴所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.9．D11．[0,2]12．解能．设过A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.将A，B，C三点的坐标分别代入有a2＋1－b2＝r2，2－a2＋1－b2＝r2，3－a2＋4－b2＝r2，a＝1，解得b＝3，r＝5.∴圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.将D(－1,2)代入上式圆的方程，得(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，即D点坐标合适此圆的方程．故A，B，C，D四点在同一圆上．13．解设P(x，y)，则x2＋y2＝4.|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)4y＋68＝80－4y.∵－2≤y≤2，∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.圆的一般方程一、基础过关1．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是()11A．m≤2B．m＜C．m＜2D．m≤222．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|等于()A．1D．23．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是()A．x＋y－3＝0B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0D．2x＋y－6＝04．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0<a<1)，则原点O在()A．圆内B．圆外C．圆上D．圆上或圆外5．假如圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上随意一点对于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.7．已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．8．求经过两点A(4,2)、B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．二、能力提高9．若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是()A．x－y＝0B．x＋y＝0C．x2＋y2＝0D．x2－y2＝010．过点P(1,1)的直线，将圆形地区{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A．x＋y－2＝0

B．y－1＝0C．x－y＝0

D．x＋3y－4＝011．已知圆的方程为

x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点

(3,5)的最长弦和最短弦分别为

AC和BD，则四边形

ABCD的面积为

________．12．求一个动点

P在圆

x2＋y2＝1上挪动时，它与定点

A(3,0)连线的中点

M的轨迹方程．三、研究与拓展13．已知一圆过

P(4，－2)、

Q(－1,3)两点，且在

y轴上截得的线段长为

43，求圆的方程．答案1．B3．B4．B5．(0，－1)6．－27．解设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)24.圆心C(3,3)．CM⊥AM，∴kCM·kAM＝－1，y－3y＋5即·＝－1，x－3x＋3即x2＋(y＋1)2＝25.∴所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．8．解设圆的