高一培优（十一）平面向量基本定理的应用问题

平面向量基本定理的应用问题平面向量问题一直在高中数学中以数学工具的形式出现,它很好的体现了数学知识间的联系与迁移,具体到平面向量基本定理,又在向量这部分知识中占有重要地位,是向量坐标法的基础,是联系几何和代数的桥梁,本文从不同角度介绍定理的应用．一、利用平面向量基本定理表示未知向量平面向量基本定理的内容：如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2,平面内选定两个不共线向量为基底,可以表示平面内的任何一个向量．【例1】如图,平面内有三个向量,其中与的夹角为,与的夹角为,且,若,则（）A. B. C. D.【小试牛刀】【2022届重庆市巴蜀中学高三上学期期中】在中,若点满足,则（）A．B．C．D．二、利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题．【例2】【2022届浙江省绍兴市一中高三9月回头考】已知向量满足,若为的中点,并且,则的最大值是（）A．B．C．D．【小试牛刀】如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心,AB为半径的圆弧上的任意一点,设向量___________．三、三点共线向量式设是共线三点,是平面内任意一点,则,其特征是“起点一致,终点共线,系数和为1”,利用向量式,可以求交点位置向量或者两条线段长度的比值．【例3】如图所示,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,且,则的值为_______.【小试牛刀】若点M是ABC所在平面内一点,且满足：.（1）求ABM与ABC的面积之比.（2）若N为AB中点,AM与CN交于点O,设,求的值.【迁移运用】1.如图,在平行四边形中,,,,则（）(用,表示)A．B．C．D．2．设向量,若(tR),则的最小值为（）A．C.D.3.【2022届广西武鸣县高中高三8月月考】直线过抛物线的焦点,且交抛物线于两点,交其准线于点,已知,则（）B.C.4．已知是两个单位向量,且=0．若点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,则（）A．B．CD．5．在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点,＝λ＋μ,则λ＋μ的值为()A.B.C.6.已知,若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则的面积是（）A．B．2C．D．47.过坐标原点O作单位圆的两条互相垂直的半径,若在该圆上存在一点,使得（）,则以下说法正确的是（）A．点一定在单位圆内B．点一定在单位圆上C．点一定在单位圆外D．当且仅当时,点在单位圆上8.在平面上,⊥,||=||=1,=+．若||<,则||的取值范围是()A．(0,]B．(,]C．(,]D．(,]9.在平面直角坐标系中,为坐标原点,直线与圆相交于两点,．若点在圆上,则实数（）A．B．C．D．10.如图,在扇形OAB中,,C为弧AB上的一个动点．若,则的取值范围是__________________．11.如图,四边形