九年级下-第4讲-二次函数的最值和增减性-王晓波

第四讲二次函数的最值及增减性【知识点拨】、由顶点式y=a(%-h)2+k(a丰0)看二次函数的最值及增减性a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(h,k)x=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k.a<0向下(h,k)x=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k.二、由一般式y=ax2+bx+c(a丰0)看二次函数的最值及增减性24ac—b24ac—b2+--一，可以看出抛物线的4a先用配方法将一般式化成顶点式y=ax+—I 2aJ一/b4ac—b2 b顶点坐标为(-，- )，对称轴为%=——2a 4a 2a函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a丰0)图像a>0a<0JU.0*X性质(1)抛物线有最低点，当x=—b时，2a一 4ac—b2y有最小值，y目…= / ；最小值 4a(2)在对称轴的左侧，即当x<-b时，2ay随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>—二时，y随x的增大而增大，2a简记左减右增b(1)抛物线有最高点，当x=——时，2a4a4ac—b2y有最大值，y目上拈= . ；最大值 4ab(2)在对称轴的左侧，即当x<——2a时，y随x的增大而增大；在对称轴的b右侧，即当x>——时，y随x的增大2a而减小，简记左增右减三、不同的自变量取值范围时二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，b即当b即当x=—时，

2a4ac-b2y二 最值4a如果自变量的取值范围是x如果自变量的取值范围是x<x，那么，首先要看一二是否在自变量取2 2ab 4ac一b2值范围X<x<x内，若在此范围内，则当X=--时，y^^=—--；若不1 2 2a 最值 4a在此范围内，则需要考虑函数在5<x<x2范围内的增减性,如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当X=X2时,

y=ax2+bx+c，当x-x时，最大2 2 1yy最小-ax2+bx+c如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x-x1时，y最大-ax2+bx+c，当x-x时，y-ax2+bx+c。最小2 2【例题讲解】第一部分：二次函数的最值【例1】二次函数y=(x-1)2+2的最小值是 .【例2】函数y=(x-1)2+1的最小值y等于.【例3】二次函数y=2x2-4x+5的最小值是.【例4】二次函数y=x2-2x-3的最小值是.【例5】函数y=x2-2x-1的最小值是.【例6】若抛物线y=-x2+4x+k的最大值为3,则卜=.【例7】已知二次函数y--x2+6x+m的最大值为1,那么m=。【例8】已知二次函数y-x2-4x+m-3的最小值为3,则m=。【例9】已知二次函数y--x2+2x+3,函数的最大值为；当-4<x<0时，函数的最大值是，最小值是；当2<x<7时，函数的最大值是 ，最小值是 ；当-4<x<7时，函数的最大值是 ，最小值是 ；【例10】 当x>0时，求函数y--x(2-x)的取值范围.【例11】 求二次函数y-2x2-3x+5在-2<x<2上的最大值和最小值，并求对应的x的值.【例12】 已知二次函数y=2x2—4x+1,求：⑴函数的最小值；⑵当-4<x<0时，函数的最大值与最小值；⑶当2<x<11时，函数的最大值与最小值；⑷当-4<x<11时，函数的最大值与最小值。【例13】 已知关于x的函数y=x2+2ax+2在-5<x<5上.⑴当a=-1时，求函数的最大值和最小值；⑵当a为实数时，求函数的最大值.【例14】 已知二次函数y=x2-2ax+a2—1,当x>1时，函数的最小值为-1,求a的取值范围。【例15】 函数y=x2+2x+3在m<x<0上的最大值为3,最小值为2,求m的取值范围.【例16】 已知函数y=x2+2ax+1在-1<x<2上的最大值为4,求a的值.【例17】 已知二次函数y=x2-2ax+2a+3，当a时，该函数y的最小值为o?【例18】 （2011株洲）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏组成的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为）（）（50m100m160m200m50m100m160m200m【例20】（2011•济南）竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（【例20】的函数表达式为h=at2+bt,其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒A.第3秒BA.第3秒B.M3.5秒C.M4.2秒D.第6.5秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）【例21】（2011•河北）一小球被抛出后，距离地面的高度【例21】t（秒）满足下面函数关系式：h=-5（t-1）2+6,则小球距离地面的最大高度是1米5米1米5米6米7米【例22】（2010•定西）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为【例22】与高度的关系为y=ax2+bx+c（a，0）、若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A.第8A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒【例23】（2009•台湾）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为【例23】与高度关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（）A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒【例【例24】（2007•雅安）为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m,则池底的最大面积是（ ）600m2625m2650m2675m2【例25】 （2007•孝感）小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ）A.4cm2 B.8cm2 C.16cm2 D.32cm2【例26】 （2007•日照）某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（）A.140元 B.150元 C.160元 D.180元【例27】 （2007•临沂）如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（ ）A.x=10,y=14B.x=14,y=10 C.x=12,y=15D.x=15,y=12【例28】 （2007•济宁）一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（）A.5元 B.10元 C.0元 D.3600元第二部分：二次函数的增减性【例29】 （2012•泰安）设A（-2,y1）,B（1,y2）,C（2,yj是抛物线y=-TOC\o"1-5"\h\z（x+1）2+a上的三点，则yjy2，y3的大小关系为（ ）人工注注民工＞丫3＞丫2 C-y3＞y2＞yi ＞丫3＞工＞丫2【例30】 （2012•衢州）已知二次函数y=-Jx2-7x肯，若自变量x分别取x「x2,x3,且0Vxi＜x2＜x3,则对应的函数值yjy2，y3的大小关系正确的是（ ）A，＞丫2＞丫3 1匕六^ 仁丫2＞丫3＞， ＞丫2^^【例31】 （2012•广元）若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a、b为常数）的图象如图，2,0）、O（0,0）、B（-3,y）、C（3,y2）四点，则丫］与丫"勺大小关系正确的是（）A.y1＜y2 B.y1＞y2 C.y1=y2 D.不能确定【例33】 （2012•常州）已知二次函数y=a（x-2）2+c（@＞0）,当自变量x分别取血、3、0时，对应的函数值分别：y/y2,y3,则y/y2,y3的大小关系正确的是（）A.y3<y2<y1 B.y1<y2<y3 C.y2<y1<y3 D.y3<y1<y2【例34】 （2011•台湾）如图，坐标平面上二次函数y=x2+1的图形通过A、B两点,且坐标分别为⑶苧、（b，詈则AB的长度为何？（）【例35】(2011•济宁)已知二次函数y=ax2+bx+c中,其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示:TOC\o"1-5"\h\zx … 0 1 2 3 4 …y … 4 1 0 1 4 …点A(x「yj、B(x2，y2)在函数的图象上，则当1<x]<2,3<x2<4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A.y1>y2 氏丫下2 。一122 ^工瓶【例36】 (2010•咸宁)已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过A(-2,0)、O(0,0)、B(-3,y〉、C(3,y2)四点，则上与力的大小关系是( )A.y1>y2 B.y1=y2 C.y1<y2 D.不能确定【例37】 (2008•威海)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(1,2),B(3,2),C(5,7).若点M(-2,yJ,N(-1,yJ,K(8,yJ也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是( )A―"” A―"” —丫3C.y3<y1<y2 D.y1<y3<y2【例38】 (2008•绍兴)已知点(x/y1),(x2,yj均在抛物线y=x2-1上，下列说法中正确的是( )A.若A.若yjy2,则Ux1=x2B.若x1=-x2,则y1=-y2C.若C.若0<x]<x2,则y1>y2D.若一”0,则工可【例39】（2008•莱芜）若A（-¥,【例39】TOC\o"1-5"\h\z1 2 3数y=x2+4x-5的图象上的三点，则yjy2,y3的大小关系是（ ）A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y1<y3<y2【例40】 （2006•临沂）若A（-竽y1）,B（-1,y2）,C（|,yj为二次函数y=-x2-4x+5的图象上的三点，则y「八，工的大小关系是（ ）A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y2<y1<y3【例41】 （2003•潍坊）已知二次函数y=3（x-1）2+k的图象上有三点A（:巧,y）,B（2,y）,C（-O,y）,则y、y、y的大小关系为（ ）2 3 1 2 3A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1123 213 312 321【例42】 2003•苏州）已知a<-1,点（a-1,yj,（a,y2）,（a+1,yj都在函数y=x2的图象上，则（ ）A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3【例43】 （2004•湖州）已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x'-l.rixjyJ、P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且-1<x1<x2,%<-1,则y1、八、工的大小关A.yi<y2<y3 8—3<工<丫2 —<丫2<工 D,y2<yi<y3【例44】 二次函数丫=@乂2+匕乂+。的图象如图所示，若点A（1,yJ、B（2,y2）是A.yi<y2 B.yi=y2 C.yi>y2 D.不能确定【课后练习】.二次函数y=2（x+3）2-5的最小值是..二次函数y=-x2-4x+5的最大值是.TOC\