培优学堂 七年级上册数学知识点汇总

培优学堂七年级上册数学知识点汇总亲爱们，期末考试即将到来，特将七年级知识点进行整理，帮助你梳理所有知识，全力迎接期末考试，加油！第一章有理数1.1正数与负数在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数.与负数具有相反意义，即以前学过的0以外的数叫做正数（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）.【说明】1有.理数由“符号”和“数值”两部分组成.（符号问题是我们在今后的学习中经常忘记的问题.）正数前面2的.符号可以省略，负数前面的符号不能省略.正数大于3.0，负数小于0，正数大于负数.表示的意义⑴表示“没有”，如教室里有个人，就是说教室里没有人；⑵是正数和负数的分界线，既不是正数，也不是负数。（3）0表示一个确切的量。如：0℃以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0米就表示海平面。5.正、负数通常表示相反意义的量，这些量包括：向东与向西；收入与支出；盈利与亏损；（温度）零上与零下；（水位）上升与下降；高于与低于（水平面）；（出口）增长与减少„„例如：向东走2米，记作：+2米；那么向西走3米，记作—3米.用正负数表示加工允许误差例如:①图纸上注明一个零件的直径是①30+0.2，表示零件的直径标准是，但是，在生产的过程中，由于生产工艺存-0.3在的误差，因此直径可以比大2也可以比小即零件的直径在之间都合格但在这个范围以外的就不合格了字母可以表示任意数，当表示正数时，是负数；当表示负数时，是正数；当表示时，仍是0（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如就不能做出简单判断）1.2有理数

2.有1理数有理数的概念：整数和分数统称有理数分类：（1）分类：（1）按定义分类：（2）按性质符号分类：II正整数有理数II正整数有理数H负整数正有理数;正整数I正分数分数正分数负分数负有理数分数正分数负分数负有理数（负整数I负分数（掌握分类方法应注意两点：①不重复：即同一事物不能归纳到两个类别中；②不疏漏：即某一事物不能在所有类别中找不到）【说明】1.整数分为正整数、0、负整数.分数分2为正.分数、负分数.1无限循环小数是有理数，它可以化成分数如…33阅读材料：教材95页《无限循环小数化分数》无无限不循环小数是无理数，如：n5无没有最大的有理数，也没有最小的有理数无6最无大的负整数是-1，最小的正整数是1。7几无个常见的概念：①正整数、统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、统称为非正整数③正有理数、统称为非负有理数④负有理数、统称为非正有理数⑤非负数：指正数和零；非正数：负数和零；引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像…也是偶数，…也是奇数。无数2轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；【说明】1数.轴有三要素：原点、正方向、单位长度。2.数轴的画法：①先画一条水平的直线；②在直线的右边画箭头，表示正方向；③在直线上任取一点，作为原点，表示数0④以适当的长度作为单位长度，在原点的左右两边分别标出刻度3.数轴的性质：①所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点n不是有理数）②正数都大于。负数都小于。正数大于负数；③数轴上的点表示的数从左往右依次增大，从右往左依次减小。④数轴上到原点的距离相等的点有个，一个在原点左边，一个在原点右边，他们互为相反数.利用数轴比较数的大小：⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于，负数都小于，正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。5数利轴上点的移动用数形结合的思维方法，通过画图分析，解决问题利6利数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法，同时也为下学期学习平面直角坐标系打下了坚实的基础利1利2利相3反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。或者说：如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数；【说明】1正.数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.2相.反数的代数意义：互为相反数的两个数相加，和为0.3.相反数的几何意义：互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等.4.相反数的读法：-（-读2作）负2的相反数.从数轴上看-2的相反数是2，因此-（-2）=2.5.求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得；求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“”然后化简（如；的相反数是（+化简得）-6.有关相反数的化简，遵循符号法则：同号得正，异号得负.1.2.绝4对值在数轴上表示数的点到原点的距离叫做数的绝对值【说明】1几.何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离.2代.数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母表示如下：a（a〉0）a=<0（a—0）一a（a<0）即：如果>o那么网；如果<,那么网-如果,那么a绝对值等于（力）的数有两个，一个在原点左边，一个在原点右边，它们互为相反数例如：，则a-2或a—-2（a—±2）是重要的非负数，即三0理解：a=1oa〉0;a=-1oa<0;aa6绝两个负数比较大小，绝对值大的反而小绝7理绝解几个特殊的绝对值所表示的意义：若lai+Ibl-la+bl，则三（表示、同号或至少其中一个为）若lal-lbl-la+bl，则b；（表示、异号或至少其中一个为）若Ia+bl=la-bl，则；（表示、至少其中一个为）等的两数相等或互为相反数。即：，则或；若几个数的绝对值的和等于，则这几个数就同时为。即，则且=（非负数的常用性质：若几个非负数的和为，则有且只有这几个非负数同时为0）绝对值1的0化.简①当三时，；②当W时，1.3有理数的加减法1.3.有1理数的加法加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得；③一个数同相加，仍得这个数。【说明】1进.行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则．进行计算时，通常应该先确定“和”的符号，再计算“和”的绝对值.加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变.用字母表示：|a+b=b+a加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.用字母表示：:一在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：①互为相反数的两个数先相加—-“相反数结合法”②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；③分母相同的数先相加——“同分母结合法；”④几个数相加得到整数，先相加—-“凑整法”⑤整数与整数、小数与小数相加一—“同形结合法”。2.加法性质一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即：⑴当0寸，⑵当0寸，⑶当时，

1.3有.理2数的减法减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数①II①一变（减号变加号）a-b=a+（-b）।।②二变〔减数变成它的相反数）②【说明】1.“两变”：一是减法变为加法；二是减数变为其相反数．有理数减法常见的错误：①没有注意结果的符号；尤其是当结果为负时，往往会忘记“一”；②仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；③只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成它的相反数.几个正数或负数的和称为代数和．加减混合运算可以统一为加法运算，写成代数和的形式例如：a+b-c=a+b+（-c）a+b-c可以读作：力口减，也可以读作：，，的代数和有理数加减混合运算：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算有有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：I把符号相同的法)I把符号相同的法)(-33)-(-18)+(原式二-33+(+1幻+(-15)+(-1)+(+23)=-3^-18-15-1+23=(-33-15-1)+(18+23)二-4科乳=-8加数相结合（同号结合（将阈去转换时唯）（省略加号和括号）（把符号相同的加数相结合）（运用加法法则一进行运算）【运用加法法则二进行运算）II.姗口为整数的加数相结合(凑整法)II.姗口为整数的加数相结合(凑整法)(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式二(+16)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8=4-10+3.8=7.8-10=-2.2（将感去转换两唠）（省略加号和括号）（把和为整数的加数相结合）（运用加法法则进行运算）（把符号相同的加数相结合，并进行运算）（得出结论）in.把分母相同或便于通分的加数相结合(同分崩吉合法)313217TOC\o"1-5"\h\z--M-+—+-524528百〜32,.11—37、原式二(—-—一)+(-+-)+(+--—)551148=-1+0--^.把带分数拆分后那吉合（先拆分后结合）-3-+10--12—+4—5112215原式二(-3+10-12+4)+(-4+1)+(—)5151122t411=一1+—+—1522t815=-1+—+—303030.分组结合2-3T+5+6-7-济9,,+66-67-68+69原式二(2-3-4+5)+(6T-吕+9)+,,+(66-67-68+69)=01.4有理数的乘除法1.4.有1理数的乘法乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0.倒数的定义：乘积是的两个有理数互为倒数若，则和互为倒数几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数.乘法运算律：乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等用字母表示为：乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等用字母表示为：乘法交换律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加用字母表示为：【说明】1.常见错误仍是符号问题，做题时，先定符号，再定值.求一个数的倒数的方法：①求一个分数的倒数，就是把这个分数的分子、分母颠倒位置②求一个整数的倒数：可以把整数看成是分母为的分数，再把分子、分母颠倒位置③带分数要先画成假分数，再将分子、分母颠倒位置1.4.有2理数的除法除法法则：除以一个数不等于0的数，等于乘这个数的倒数.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.【说明】1除.法法则可以把除法转化为乘法.有理数除法2.的一般步骤：①确定商的符号；②把除数化为它的倒数；③利用乘法计算结果．有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。有理数的乘方乘方求几个相同因数的运算叫做乘方，记做““〃”其中叫做底数，表示相同的因数，叫做指数，表示相同因数的个数，"〃表示的意义是个相乘的积，不是乘以，乘方的结果叫做幂【说明】1负.数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数.用字母表示：若<,则>0<（是正整数）2.正数的任何次方都是正数，0的任何正整数次幂都是0.用字母表示：若>,则>0（是正整数）3互.为相反数的两个数，偶次幂相等，奇次幂仍互为相反数.用字母表示为：是正整数）是正整数有理数的混合运算的运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2同.级运算，从左到右进行；3如.有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行.【说明】1初.学时，可以先画出运算顺序框图，理清运算顺序.2进.行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序.比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算..进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力..科2学记数法把一个大于10的数表示成aX10次方的形式（其中a是整数数位只有一位的数，是正整数），使用的就是科学记数法【说明】1由勺取值范围是：Wa<10比整数位数小1采用移动小数点儿的方法来确定a和的值比较好具体方法是:将小数点儿向左移动，小数点的位置移到它的前面只有1位整数为止，小数点儿移动了几位，就等于几将小数点儿后面的0去掉，剩下的部分就等于a1小5小近动似数近似数：与实际数据接近的数小从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字小【说明】1小测量工具（如千分尺、螺旋测微器等）测量出来的数值都是近似数小北京时2间小是确数小合格率动、小市场占有率等是近似数小考查近似数与4有小效数字同时考是一个难点小例如：1596200保00留三位有效数字M10精确到千位三位有效数字本章知识结构图零一-有理数正数相反意义的量零一-有理数正数相反意义的量【补充知识】幻方：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一行、一列以及对角线的几个数的和相等，具有这种性质的图表叫做幻方.我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”.将这九个数填入3x3的方格中，使每一行，每一列以及两条对角线上的数的和都是15.填写技巧（如图所示）：①将要填写的九个数字从小到大依次排列，将中间数5填在方格正中间.②将中间数两边的两个数和填在其中一条对角线上，并求出这三个数的和③观察3x3的方格的四个角，如果填的四个角上的数是偶数，则将剩下的两个偶数填在另外两个角上，如果填的是奇数，则将剩下的奇数填在另外两个角上.④最后在根据每一行三个数的和，填上其余几个方格485264348526438951276补充找规律基础知识：数列：将数字按照某种规律排列在一起组成的数的队列叫做数列.数列中的每一个数叫做项，排在第几个数位上的数就叫做第几项.例如：数列1，4，7，10，13，16，2„中，2„中，4排在第2个数位上，是第2项；3排在第5个数位上，是第5项常见的数列有：①0，1，2，3，4，5，6，7，8„（自然数列）②1，3，5，7，9，11，13，15„（奇数列）③2，4，6，8，10，12，14，16„（偶数列）（后一项是它前面两项的和）（相邻两个数的乘积）④1，2，3，5，8，（后一项是它前面两项的和）（相邻两个数的乘积）⑤1-1,3-2⑥2，6，12，20，⑦248624…（后一项是前一项的倍）等差数列像上面的①自然数列、②奇数列、③偶数列等，后一个数与前一个数之差相等，按照这样的规律排列的数列叫做等差数列.后一个数与前一个数的差叫做公差，用字母表示排在第一个的数叫做首项，用〃表示；排在第个数的数叫做第项，用a表示n逋项公式：a*逋项公式：a*=%+（网-X）d前项的和:n(a+a)二1n-1前项的和:n(a+a)二1n-1-n2E=an+1-n12等比数列：后一个数与前一个数的比值相等，按照这样的规律排列的数列叫做等比数列.第二章整式2.整1式单项式：由数字或字母的乘积表示的式子叫做单项式.单独的数字或字母也是单项式。单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.单项式的次数：单项式中所以字母的指数之和叫做单项式的次数.例如：单项式次数是的指数的指数的和，次数为多项式：几个单项式的和叫做多项式.其中的每一个单项式叫做项，不含字母的项叫做常数项.多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数.【补充知识】1代.数式的书写：①代数式中出现的乘号，通常写作“”或省略不写②数字与字母相乘时，数字写在字母前面③除法运算写成分数形式.④带分数要化成假分数.把一个多项2式.的各项的位置按照其中某一字母的指数大小顺序由高到低进行排列，就叫做这个多项式按这个字母的降幂排列例如：按的降幂排列，可以写成：按照其中某一字母的指数大小顺序由低到高进行排列，就叫做这个多项式按这个字母的升降幂排列若按的升降幂排列，则可以写成：2.2整式的加减同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.去括号：如果括号外的因数是正数，去括号时，括号里的每一项都不变符号；如果括号外的因数是负数，去括号时，括号里的每一项都要变符号.添括号：如果括号外是“+”，所添括号里的每一项都不变符号；如果括号外是“—”，所添括号里的每一项都要改变符号.顺口溜：去括号，看符号：是“+”号，不变号；是“-”号，全变号.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.【说明】1去.括号是错误比较多的，常见的有：括号前面是“-”，括号内有两项或多项时，去括号时，第一项知道变号，但后面的一项往往就忘记变号了.而最后的一项常出现的是常数项.括号前2面.的数字不为1，去括号时，要将括号外的数字先乘到括号里面去，然后再去括号.括号外的数字要同括号里的每一个数字都相乘.第三章一元一次方程3.1从算式到方程3.1.一1元一次方程含有未知数的等式叫做方程.方程都只含有一个未知数（元），未知数的指数都是（次），这样的方程叫做一元一次方程.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.解方程是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程.3.1.等2式的性质等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.等式的性质2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.【说明】1一.般情况，将含有未知数的项移到等号的左边，常数项移到等号的右边.2从.左边移到右边，或从右边移到左边，移动的那一项的符号要改变.合并同类项同整式合并同类项一样，将未知数的系数相加，作为合并后的项的系数，照写不变常数项的合并，按照有理数的基本运算进行合并合3合3解一元一次方程（二）——去括号与去分母去括号：（同整式中的去括号）去分母：分子分母同时乘以分母的最小公倍数，通过约分，将含有分母的方程转化成为不含分母的方程合【说明】1所合选的乘数是所有的分母的最小公倍数合（用短除法找最小公分母）2用合最小公倍数去乘方程两边时，不要漏掉等号两边不含字母的“项”合3去合掉分母时，分数线也同时去掉，分子上的多项式要用括号括起来．解方程的类型：①简易方程；②有括号的方程；③有分母的括号；④含参方程；⑤含绝对值的方程；⑥比例式方程3合4实际问题与一元一次方程分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法合列方程解应用题的一般步骤：①认真审题，弄清题意（注意单位是否统一）②根据问题设出未知数一般是问什么，设什么，也可以间接设未知数③找出题中的等量关系，列方程④解方程合⑤检验：一是检验是否是方程的解；二是检验是否符合实际问题⑥写答语合常见问题的等量关系：行程问题：距离速度•时间速度=距离时间=距离;时间速度工程问题：工作量工作效率•工作时间工效=工作量工时=工作量;工时工效

工程问题常用等量关系:先做的后做的完成总量工程问题常用等量关系:先做的后做的完成总量顺水逆水问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；水流速度（顺水速度逆水速度）+顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程逆水路程商品利润问题：售价定价又几折,利润率=售价二成本X100%；10成本利润问题常用等量关系：售价-进价=利润配套问题：两个量之间满足某种倍数关系分配问题：分配总量保持不变第四章图形认识初步4.多1姿多彩的图形长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及三角形、四边形等都是从实物中抽象出来的图形，统称几何图形.各部分不都在同一平面内的几何图形（如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球体等）叫做立体图形.各部分都在同一平面内的几何图形叫做平面图形.常见的立体图形有：常见的立体图形有：长方体正方体球体圆柱三棱键常见的平面图形有：圆线段梯形三角形正方形圆线段梯形三角形正方形多面体：围成立体图形的每一个面都是平面的立体图形（如长方体、正方体、棱柱、棱锥等），叫做多面体.视图：从正面、上面和侧面三个不同的方向看一个物体，然后描绘出所看到的

图形，即视图.从正面看到的图形叫做主视图.从上面看到的图形叫做俯视图.从侧面看到的图形叫做左视图或右视图.常见的立体图形的三视图有：展开图：沿着立体图形的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.正方体的平面展开图有以下11种：几何体也简称体.包围着体的是面.面有平面和曲面两种.点动成线，线动成面，面动成体.常见的立体图形是有什么平面图形如何旋转得到的呢？截面：用一个平面去截立体图形，得到的平面图形叫做截面正方体的截面：正方体三角形四边形五边形六边形4.2直线、射线、线段表示方法：一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线或者直线一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面），如射线射线一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段线段性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.两点确定一条直线.当两条不同的直线有一个公共点时，叫做这两条直线相交，这个公共点叫做这两条直线的交点.点和线的位置关系有两种：①点在直线上；②点在直线外（如图所示）点。在直线上点0在直线外线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM,点M叫做线段AE的中点。।M是线段AB的中点AMB,AM=BM=；AB（或者AB=2AM=2EM）线段公理：两点的所有连线中，线段做短（两点之间，线段最短）。连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。4.3角4.3角.1角的定义：①有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；②由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形叫做