数学理卷·2023届四川省成都市高三第三次诊断检测(答案详解)(2023.05)

数学理卷·2023届四川省成都市高三第三次诊断检测(答案详解)(2023.05)成都市2023级高中毕业班第三次诊断性检测数学〔理科〕第一卷〔选择题，共60分〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．设集合，，那么〔〕A．B．C．D．2．复数．假设在复平面内对应的点分别为，线段的中点对应的复数为，那么〔〕A．B．5C．D．3．在等比数列中，，公比．假设，那么〔〕A．11B．10C．9D．84．是表示空气质量的指数，指数值越小，说明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良〞．如图是某地4月1日到12日指数值的统计数据，图中点表示4月1日的指数值为201．那么以下表达不正确的选项是〔〕A．这12天中有6天空气质量为“优良〞B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好5．双曲线，直线．假设直线平行于双曲线的一条渐近线且经过的一个顶点，那么双曲线的焦点到渐近线的距离为〔〕A．1B．2C．D．46．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1．执行图2所示的程序框图，假设输入的分别为这15名学生的考试成绩，那么输出的结果为〔〕A．6B．7C．8D．97．，是曲线与轴围成的封闭区域．假设向区域内随机投入一点，那么点落入区域的概率为〔〕A．B．C．D．8．在我国古代数学名著?九章算术?中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，且，那么异面直线与所成角的余弦值为〔〕A．B．C．D．9．抛物线的焦点为，点．假设射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，且，那么点的纵坐标为〔〕A．B．C．D．10．函数．给出以下命题：①为奇函数；②，对恒成立；③，假设，那么的最小值为；④，假设，那么．其中的真命题有〔〕A．①②B．③④C．②③D．①④11．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形．假设该三棱锥的顶点都在同一个球面上，那么该球的外表积为〔〕A．B．C．D．12．设等差数列的前项和为，其中且．那么数列的前项和的最大值为〔〕A．B．C．D．第二卷〔非选择题，共90分〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．13．的展开式中，常数项为．〔用数字作答〕14．假设变量满足约束条件，那么的最小值为．15．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区效劳，每天安排一人，每人只参加一天．假设要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区效劳的日期不相邻，那么不同的安排种数为．〔用数字作答〕16．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底是半圆的直径，上底的端点在半圆上，那么所得梯形的最大面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．的内角的对边分别为，．〔Ⅰ〕求角的大小；〔Ⅱ〕假设，求的最大值．18．如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，，四边形是矩形，平面平面，．为线段上一点，且平面．〔Ⅰ〕求的长；〔Ⅱ〕求二面角的余弦值的大小．19．几个月前，成都街头开始兴起“mobike〞、“ofo〞等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人为难的问题，比方乱停乱放，或将共享单车占为“私有〞等．为此，某机构就是否支持开展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持开展共享单车的人数统计如下表：年龄受访人数56159105支持开展共享单车人数4512973〔Ⅰ〕由以上统计数据填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持开展共享单车有关系；年龄低于35岁年龄不低于35岁合计支持不支持合计〔Ⅱ〕假设对年龄在，的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持开展共享单车的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．参考数据：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中．20．圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．〔Ⅰ〕求曲线的方程；〔Ⅱ〕假设直线与曲线相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值．21．函数．〔Ⅰ〕假设关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；〔Ⅱ〕设函数，假设在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．22．曲线的极坐标方程为，在以极点为直角坐标原点，极轴为轴的正半轴建立的平面直角坐标系中，直线的参数方程为〔为参数〕．〔Ⅰ〕写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；〔Ⅱ〕在平面直角坐标系中，设曲线经过伸缩变换得到曲线，假设为曲线上任意一点，求点到直线的最小距离．23．．〔Ⅰ〕当时，求不等式的解集；〔Ⅱ〕假设函数的值域为，且，求的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:BABCB6-10:DDADC11、12：CD二、填空题13．-16014．-315．504016．三、解答题17．解：〔Ⅰ〕由及正弦定理，得．∵，∴．化简，得．∵，∴．∵，∴．〔Ⅱ〕由及余弦定理，得．即．∵，∴，即．∴，当且仅当时，取等号．∴的最大值为．18．解：〔Ⅰ〕∵底面是边长为2的菱形，，∴，且，．∵四边形是矩形，∴．∵平面平面，平面平面，∴平面，平面．记．取中点，那么．∴平面．如图，以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．由题意，得，，，，，．∴，．∵为线段上一点，设．∴．∵平面，∴．∵．解得．∴．∴．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，可知平面．∴平面．，．设平面的法向量为．由，得．取，那么．∵，，∴二面角的余弦值为．19．解：〔Ⅰ〕根据所给数据得到如以下联表：年龄低于35岁年龄不低于35岁合计支持301040不支持5510合计351550根据列联表中的数据，得到的观测值为．∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持开展共享单车有关系．〔Ⅱ〕由题意，年龄在的5个受访人中，有4人支持开展共享单车；年龄在的6个受访人中，有5人支持开展共享单车．∴随机变量的所有可能取值为2，3，4．∵，，，∴随机变量的分布列为234∴随机变量的数学期望．20．解：〔Ⅰ〕∵点在线段的垂直平分线上，∴．又，∴．∴曲线是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为的椭圆．设曲线的方程为．∵，∴．∴曲线的方程为．〔Ⅱ〕设．联立消去，得．此时有．由一元二次方程根与系数的关系，得，．∴．∵原点到直线的距离，∴．由，得．又，∴据根本不等式，得．当且仅当时，不等式取等号．∴面积的最大值为．21．解：〔Ⅰ〕由，得．即在上恒成立．设函数，．那么．设．那么．易知当时，．∴在上单调递增，且．即对恒成立．∴在上单调递增．∴当时，．∴，即的取值范围是．〔Ⅱ〕，．∴．设，那么．由，得．当时，；当时，．∴在上单调递增，在上单调递减．且，，．显然．结合函数图象可知，假设在上存在极值，那么或．〔ⅰ〕当，即时，那么必定，使得，且．当变化时，，，的变化情况如下表：-0+0--0+0-↘极小值↗极大值↘∴当时，在上的极值为，且．∵．设，其中，．∵，∴在上单调递增，，当且仅当时取等号．∵，∴．∴当时，在上的极值．〔ⅱ〕当，即时，那么必定，使得．易知在上单调递增，在上单调递减．此时，在上的极大值是，且．∴当时，在上的极值为正数．综上所述：当时，在上存在极值，且极值都为正数．注：也可由，得．令后再研究在上的极值问题．22．解：〔Ⅰ〕由消去参数，得．