高考数学 3.1 变化率与导数、导数的计算总复习

§3.1变化率与导数、导数的计算第三编导数及其应用要点梳理1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为

，若Δx=x2-x1,Δy=f（x2）-f（x1），则平均变化率可表示为

.基础知识自主学习精选ppt2.函数y=f（x）在x=x0处的导数（1）定义称函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率

=

为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x=x0，

即f′(x0)==

.

（2）几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f（x）上点

处的

.相应地，切线方程为

.(x0,f(x0))切线的斜率y-y0=f′(x0)(x-x0)精选ppt3.函数f(x)的导函数称函数f′(x)=

为f（x）的导函数，导函数有时也记作y′.4.基本初等函数的导数公式原函数导函数f（x）=c

f′(x)=f(x)=xn(n∈Q*)f′(x)=f(x)=sinx

f′(x)=f(x)=cosx

f′(x)=f(x)=ax

f′(x)=cosx0-sinxaxlna(a＞0)nxn-1精选pptex5.导数运算法则（1）［f（x）±g(x)］′=

;(2)［f(x)·g(x)］′=

;(3)′=(g(x)≠0).6.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′

=

，即y对x的导数等于

的导数与

的导数的乘积.f(x)=ex

f′(x)=f(x)=logax

f′(x)=f(x)=lnx

f′(x)=(a＞0,且a≠1)f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)y′·u′y对uu对xxux精选ppt基础自测1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则为 （ ）A.Δx++2 B.Δx--2C.Δx+2 D.2+Δx-

解析∵Δy=（1+Δx）2+1-12-1=(Δx)2+2Δx,∴=Δx+2.C精选ppt2.设正弦函数y=sinx在x=0和x=附近的平均变化率为k1,k2,则k1,k2的大小关系为 （ ）A.k1＞k2 B.k1＜k2C.k1=k2 D.不确定

解析∵y=sinx,∴y′=(sinx)′=cosx,

k1=cos0=1，k2=cos=0，∴k1＞k2.A精选ppt3.曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为 （ ）A.y=3x-4 B.y=-3x+2C.y=-4x+3 D.y=4x-5

解析由y′=3x2-6x在点（1，-1）的值为-3，故切线方程为y+1=-3(x-1)，即y=-3x+2.B精选ppt4.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＞-f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式一定成立的是 （ ）A.af(b)＞bf(a) B.af(a)＞bf(b)C.af(a)＜bf(b) D.af(b)＜bf(a)

解析令g(x)=xf(x),∴g′(x)=xf′(x)+f(x)＞0.∴g(x)在R上为增函数，∵a＞b,∴g（a)＞g(b),即af(a)＞bf(b).B精选ppt5.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是[0，]，则点P横坐标的取值范围为 （ ）A. B.［-1，0］C.［0，1］ D.

解析∵y=x2+2x+3，∴y′=2x+2.∵曲线在点P(x0,y0)处切线倾斜角的取值范围是[0,],∴曲线在点P处的切线斜率0≤k≤1.∴0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤.A精选ppt题型一利用导数的定义求函数的导数【例1】求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.

紧扣定义进行计算.

解思维启迪题型分类深度剖析精选ppt探究提高求函数f（x）平均变化率的步骤：①求函数值的增量Δf=f（x2）-f（x1）；②计算平均变化率解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了.精选ppt知能迁移1利用导数定义，求函数在x=1处的导数.

解

方法一

（导数定义法）精选ppt方法二（导函数的函数值法）精选ppt题型二导数的运算【例2】求下列函数的导数.（1）y=2x3+x-6；（2）y=；（3）y=(x+1)(x+2)(x+3)；（4）y=-sin(1-2cos2）；（5）.

如式子能化简的，可先化简，再利用导数公式和运算法则求导.思维启迪精选ppt解

（1）y′=6x2+1.(3)方法一

y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.精选ppt方法二y′=［(x+1)(x+2)］′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′=［(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′］(x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.精选ppt精选ppt求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式.对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形，如（3）小题;对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，如（2）、（4）、（5）都是如此.但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误.探究提高精选ppt知能迁移2求下列函数的导数.（1）y=5x2-4x+1；(2)y=(2x2-1)(3x+1)；（3）y=.

解

(1)y′=(5x2-4x+1)′=(5x2)′-(4x)′+(1)′=10x-4.(2)∵y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1,∴y′=(6x3+2x2-3x-1)′=(6x3)′+2(x2)′-(3x)′-(1)′=18x2+4x-3.精选ppt【例3】求下列复合函数的导数.(1)y=(2x-3)5;(2)y=;(3)y=sin2（2x+）;(4)y=ln(2x+5).精选ppt思维启迪

先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成;求导时,可设出中间变量,注意要逐层求导不能遗漏,每一步对谁求导,不能混淆.解(1)设u=2x-3,则y=(2x-3)5由y=u5与u=2x-3复合而成,∴y′=f′(u)·u′(x)=(u5)′(2x-3)′=5u4·2=10u4=10(2x-3)4.（2）设u=3-x,则y=由y=u与u=3-x复合而成.精选ppt由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程.探究提高(3)设y=u2,u=sinv,v=2x+,（4）设y=lnu,u=2x+5,则精选ppt知能迁移3求下列复合函数的导数.(1)y=;(2)y=x;(3)

解(1)y′=-3(1-3x)-4(1-3x)′=.

精选ppt题型三导数的几何意义【例4】（12分）已知曲线方程为y=x2,（1）求过A（2，4）点且与曲线相切的直线方程；（2）求过B（3，5）点且与曲线相切的直线方程.

（1）A在曲线上,即求在A点的切线方程.（2）B不在曲线上，设出切点求切线方程.

解（1）∵A在曲线y=x2上,∴过A与曲线y=x2相切的直线只有一条，且A为切点.2分∵由y=x2,得y′=2x,∴y′|x=2=4,4分因此所求直线的方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 6分思维启迪精选ppt（2）方法一设过B（3，5）与曲线y=x2相切的直线方程为y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k,8分y=kx+5-3k,y=x2得x2-kx+3k-5=0,Δ=k2-4(3k-5)=0.整理得:(k-2)(k-10)=0,∴k=2或k=10. 10分所求的直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0. 12分方法二设切点P的坐标为(x0,y0),由y=x2得y′=2x,∴x=x0=2x0, 8分由已知kPA=2x0,即=2x0.又y0=代入上式整理得:x0=1或x0=5, 10分∴切点坐标为(1,1),(5,25),∴所求直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0. 12分由精选ppt探究提高

（1）解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为P（x0，y0），然后求其切线斜率k=f′(x0),写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点.（3）曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确.精选ppt知能迁移4已知曲线.(1)求曲线在x=2处的切线方程；(2)求曲线过点（2，4）的切线方程.解（1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=4.∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.精选ppt（2）设曲线与过点P（2，4）的切线相切于点，则切线的斜率k=y′|x=x=.∴切线方程为y-即0精选ppt∵点P（2，4）在切线上，∴4=即∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.精选ppt方法与技巧1.在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与(f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值，不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′=0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.思想方法感悟提高精选ppt3.复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为基本函数的导数解决.（1）分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；（2）分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的关系；（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；（4）复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程.精选ppt失误与防范1.利用导数定义求导数时，要注意到x与Δx的区别，这里的x是常量，Δx是变量.2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.3.求曲线切线时，要分清点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.4.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.精选ppt一、选择题1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为，那么速度为零的时刻是（ ）A.0秒 B.1秒末C.2秒末 D.1秒末和2秒末

解析

∵∴v=s′（t）=t2-3t+2，令v=0，得t1=1,t2=2.D定时检测精选ppt2.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（ ） A.1 B. C. D.

解析过点P作y=x-2的平行直线,且与曲线y=x2-lnx相切，设P（x0,x-lnx0）,则k=y′|x=x0=2x0-∴2x0-=1,∴x0=1或x0=(舍去).∴P(1,1),∴B精选ppt3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为 （ ）A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0

解析

y′=4x3=4,得x=1,即切点为（1，1），所以过该点的切线方程为y-1=4(x-1),整理得4x-y-3=0.A精选ppt4.曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）A.B.2e2C.e2D.

解析

∵点（2，e2）在曲线上，∴切线的斜率k=y′|x=2=ex|x=2=e2,∴切线的方程为y-e2=e2(x-2).即e2x-y-e2=0.与两坐标轴的交点坐标为（0，-e2），（1，0），∴S△=D 精选ppt5.（2009·全国Ⅰ理，9）已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为 （ ） A.1 B.2 C.-1 D.-2

解析

设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)的切点为（x0,y0）,则y0=1+x0,y0=ln(x0+a),又y′=∴即x0+a=1.又y0=ln(x0+a),∴y0=0,∴x0=-1,∴a=2.B精选ppt6.（2009·安徽文，9）设函数其中，则导数f′(1)的取值范围是 （ ）A.［-2，2］ B.［，］C.［，2］ D.［，2］

解析由已知f′(x)=sin·x2+cos·x,D精选ppt二、填空题7.如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B,C的坐标分别为（0，4）,（2，0）,（6，4），则f（f（0））=

；

.（用数字作答）精选ppt解析由A（0，4），B（2，0）可得线段AB所在直线的方程为f(x)=-2x+4(0≤x≤2).同理BC所在直线的方程为f(x)=x-2(2＜x≤6).-2x+4(0≤x≤2),

x-2(2＜x≤6),所以f(0)=4,f(4)=2.

f′(1)=-2.答案

2-2所以f(x)=精选ppt8.（2009·福建理，14）若曲线f(x)=ax5+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是

.

解析∵f′(x)=5ax4+,x∈(0,+∞),∴由题知5ax4+=0在（0，+∞）上有解.即a=-在（0，+∞）上有解.∵x∈(0,+∞),∴∈(-∞,0).∴a∈(-∞,0).(-∞,0)精选ppt9.（2009·江苏，9）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3-10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为

.

解析

设P（x0,y0）(x0＜0),由题意知=2,∴

=4.∴x0=-2,∴y0=15.∴P点的坐标为（-2，15）.（-2，15）精选ppt三、解答题10.求曲线f(x)=x3-3x2+2x过原点的切线方程.

解

f′(x)=3x2-6x+2.设切线的斜率为k.（1）当切点是原点时k=f′(0)=2,所以所求曲线的切线方程为y=2x.（2）当切点不是原点时，设切点是（x0,y0），则有y0=