2023年山西省忻州市成考专升本高等数学一自考测试卷(含答案)

2023年山西省忻州市成考专升本高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.A.A.2B.1C.0D.-1

2.

3.。A.2B.1C.-1/2D.0

4.A.A.

B.

C.

D.

5.

6.函数y=ex+arctanx在区间[-1,1]上

A.单调减少B.单调增加C.无最大值D.无最小值

7.

8.A.A.

B.

C.

D.

9.设y=sin2x，则y'=A.A.2cosxB.cos2xC.2cos2xD.cosx

10.

11.下列反常积分收敛的是()。A.∫1+∞xdx

B.∫1+∞x2dx

C.

D.

12.

A.-ex

B.-e-x

C.e-x

D.ex

13.微分方程y’-4y=0的特征根为（）A.0，4B.-2，2C.-2，4D.2，4

14.

15.平面x+y一3z+1=0与平面2x+y+z=0相互关系是()。

A.斜交B.垂直C.平行D.重合

16.

17.

18.下列命题正确的是（）．A.A.

B.

C.

D.

19.等于()．A.A.0

B.

C.

D.∞

20.

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.设y=x2+e2，则dy=________

29.微分方程y＋y=sinx的一个特解具有形式为

30.

31.

32.当x=1时，f(x)=x3+3px+q取到极值(其中q为任意常数），则p=______.

33.

34.

35.

36.

37.

38.微分方程y"+y=0的通解为______．

39.设z=sin(x2y)，则=________。

40.

三、计算题(20题)41.

42.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

43.

44.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

45.证明：

46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

47.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

48.

49.

50.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

51.

52.求微分方程的通解．

53.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

54.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

55.

56.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

57.

58.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

59.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

60.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

四、解答题(10题)61.

62.求

63.

64.

65.求∫xlnxdx。

66.求微分方程y"-y'-2y=3ex的通解．

67.

68.

69.

70.

五、高等数学(0题)71.

六、解答题(0题)72.(本题满分10分)将f(x)＝ln(1＋x2)展开为x的幂级数．

参考答案

1.C

2.D解析：

3.A

4.Dy=e-2x，y'=(e-2x)'=e-2x(-2x)'=-2e-2x，dy=y'dx=-2e-2xdx，故选D。

5.C解析：

6.B本题考查了函数的单调性的知识点，

因y'=ex+1/（1+x2）＞0处处成立,于是函数在(-∞,+∞)内都是单调增加的，故在[-1,1]上单调增加。

7.A

8.C本题考查的知识点为微分运算．

因此选C．

9.C由链式法则可得(sin2x)'=cos2x*(2x)'=2cos2x，故选C。

10.A解析：

11.DA，∫1+∞xdx==∞发散；

12.C由可变上限积分求导公式有，因此选C．

13.B由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根为2，-2，故选B．

14.C

15.Bπ1x+y一3z+1=0的法向量n1=(1，1，一3)π2：2x+y+z=0的法向量n2=(2，1，1)∵n1.n2=(1，1，一3).(2，1，1)=0∵n1⊥n2；∴π1⊥π2

16.C解析：

17.C

18.D本题考查的知识点为收敛级数的性质和绝对收敛的概念．

由绝对收敛级数的性质“绝对收敛的级数必定收敛”可知应选D．

19.A

20.D

21.

22.本题考查的知识点为换元积分法．

23.00解析：

24.

解析：

25.

解析：

26.y=f(0)

27.

28.(2x+e2)dx

29.

30.F(sinx)+C

31.2本题考查的知识点为极限的运算．

32.-1f'(x）=3x2+3p，f'(1)=3十3p=0,所以p=-1.

33.2

34.

35.

解析：

36.

37.

解析：

38.y=C1cosx+C2sinx本题考查的知识点为二阶线性常系数齐次微分方程的求解．

特征方程为r2+1=0，特征根为r=±i，因此所给微分方程的通解为y=C1cosx+C2sinx．

39.设u=x2y，则z=sinu，因此=cosu.x2=x2cos(x2y)。

40.2x

41.

则

42.

43.

44.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.函数的定义域为

注意

54.由等价无穷小量的定义可知

55.

56.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

57.由一阶线性微分方程通解公式有

58.

列表：

说明

59.由二重积分物理意义知

60.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

61.

62.

；本题考查的知识点为用洛必达法则求未定型极限．

63.

64.

65.

66.相应的齐次微分方程为y"-y'-2y=0．其特征方程为r2-r-2=0．其特征根为r1=-1，r2=2．齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e2x．由于f(x)=3ex，1不是其特征根，设非齐次方程的特解为y*=Aex．代入原方程可得

原方程的通解为

本题考查的知识点为求解二阶线性常系数非齐次微分方程．

由二阶线性常系数非齐次微分方程解的结构定理可知，其通解y=相应齐次方程