2023高考数学一轮复习：空间向量与立体几何 检测试卷（培优题）

2023年高考数学一轮复习测评卷

空间向量与立体几何

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的

1.如图圆锥的高50=石，底面直径A8=2,C是圆。上一点，且AC=1,则SA与BC所成

角的余弦值为（）

2.已知长方体ABCO-ABCQrABnMnZ.AOnl,正方形。弓。。所在平面记为。，

若经过点A的直线/与长方体ABCO-ABCA所有的棱所成角相等，且/ca=M,则线段

AM的长为

A.画B.3C.76D.⑺

2

3.如图，三棱锥丫-ABC的侧棱长都相等，底面A8C与侧面％C都是以AC为斜边的等

腰直角三角形，E为线段AC的中点，尸为直线A3上的动点，若平面VEF与平面WC所

成锐二面角的平面角为。，则cos。的最大值是（）

4.在正方体ABCD-AIBICJDI中，E、F、G分别为AAi、BC、C1D1的中点，现有下面三

个结论：①AEFG为正三角形；②异面直线AiG与CiF所成角为60。；③AC〃平面EFG.

其中所有正确结论的编号是（）

A.①B.②③C.①②D.①③

5.如图，在四棱锥P-438中，平面A8CD,底面A8C3是正方形，2=则

下列数量积最大的是（）

A.BDPCB.PBPCC.BCPCD.PAPC

6.正方体ABCO-AAGP的棱长为2,MN是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之

间的线段成为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时，两.两的最大值为

（）

A.1B.2C.3D.4

7.如图，边长为1的正方形ABC。所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M,N

分别在正方形对角线AC和8尸上移动，且CM=BN=a（O<a<VI）.则下列结论正确的是

()

B.当。=，时，A7E与CN相交

A.CN=ME

2

C.异面直线AC与8尸所成的角为45。D.MV始终与平面8C£平行

8.如图，已知正方体ABCO-ABCR的棱长为1，E,F分别是棱A。，的中点.若点产

为侧面正方形4DRA内（含边界）的动点，且存在使用力=》8%+），8方成立，则用。

与侧面4ORA所成角的正切值最大为（）

A.2B.1C.D.75

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.如图，正方体的棱长为“，则下列结论正确的是（）

A.若点M在线段上，则不存在点用满足CM，

B.若点M在线段上，则四面体的体积为定值

C.若点M在线段上，则异面直线BM与M所成角的取值范围是[30。，90°]

D.若点M是正方体表面上的动点，则满足40=6的动点轨迹长度为券

10.如图，在菱形ABCD中，AB=—,ZSW=6O。，沿对角线BD将△A3。折起，使点

3

A,C之间的距离为2&，若P,Q分别为直线BD.CA上的动点，则下列说法正确的是（）

A.当AQ=QC,4P/）=£>3时，点D到直线PQ的距离为吟

B.线段PQ的最小值为公

C.平面ABZ3_L平面BCD

D.当P,Q分别为线段BD,CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为迈

4

11.己知直三棱柱ABC-AAG中，AB1BC,AB=BC=BBX,。为AC的中点.点尸满足

BP=ABQ,其中2e[0,l],则（）

A.对时，都有A尸_LOg

B.当时，直线AP与A8所成的角是30。

c.当/=；时，直线AP与平面A4G所成的角的正切值手

D.当4=:时，直线AP与。片相交于一点Q,则黑=；

12.两个全等的等腰直角三角形43c和等腰直角三角形。C8所在两个平面互相垂直，其中,

7T

则NABC=ZDC3=—，BC=2,贝lj()

2

A.异面直线8。和AC所成的角为二B.平面A8_L平面43。

3

Q

C.四面体A8C。外接球的表面积为12"D.%晒体"8=]

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.在直三棱柱ABC-AB。中，A4,=4,二面角8-AA-G的大小为60。，点8到平面

ACGA的距离为G，点C到平面ABB圈的距离为26,则异面直线AC与AC所成角的

余弦值为.

14.如图，在四棱锥P-ABC。中，尸A_L平面ABC。，ZBAD=90，PA=AB=BC=-AD=\,

2

TT

BCHAD,已知。是四边形ABC。内部一点，且二面角Q-PD-A的平面角大小为了，则

4

△A。。的面积的取值范围是.

15.如图，四棱锥P-AfiCD的底面是边长为1的正方形，PCmABCD,且PC=2,

若点E为PC的中点，则点D到平面ABE的距离为.

16.三棱锥O-ABC中，04、08、0C两两垂直，且。4=OB=OC.给出下列四个命题:

4

OA+OB+OC

③仲+0q和诬的夹角为60；

④三棱铤O-ABC的体积为、(嘉・蕊)死,

其中所有正确命题的序号为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.如图，在直棱柱ABCD-AiBiCiDi中，AD〃BC,ZBAD=90°,AC1BD,BC=1,

AD=AAi=3.

(1)证明：AC±BiD；

(2)求直线BiG与平面ACDi所成角的正弦值.

18.如图所示.四棱柱A8CD-AAG。的棱长均为6,侧棱与底面垂直，且Zfi4£>=60。，M

是侧棱。。上的点，DM=2MD、,N是线段CQ上的动点.

(1)若以D为坐标原点，以配为y轴正方向，以西为z轴正方向建立空间直角坐标系,

写出点名的坐标;

(2)求点到平面ACM的距离；

(3)若平面M4c与平面4CN夹角的余弦值为主叵，试确定点N的位置.

10

19.如图所示，在四棱锥中，/7)_1底面48。，底面438是矩形，PD=CD=2,

AD=\,M是线段PC的中点.

(1)求证：平面PC。；

(2)求二面角"-B£>-C的余弦值；

(3)求直线心和平面所成角的正弦值

20.如图，在三棱锥尸-ABC中，尸A_L底面ABC,N3AC=90°.点D,E,N分别为棱PA,

PC,BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4,AB=2.

(1)求证：MN〃平面BDE；

(2)求二面角尸-£>£-8的余弦值.

21.如图，在三棱柱ABC-ABC中，CG，平面ABC,AC1BC,AC=BC=2,CC,=3,

点£),E分别在棱A4和棱CG上，且AD=1,CE=2,M为棱AB的中点.

(1)求证：

(2)求二面角的正弦值;

(3)求直线A蜴与平面DBg所成角的正弦值.

22.在三棱锥P-ABC中，平面R4CL平面ABC,△PAC为等腰直角三角形，PA1PC,

ACLBC,BC=2AC=4,M为AB的中点.

(1)求证：ACLPM.

(2)求PC与平面PAB所成角的正弦值.

PN

(3)在线段PB上是否存在点N,使得平面CNW平面PAB?若存在，求出PB的值；若

不存在，说明理由

答案及解析

1.【答案】A

A（0,—1,0）,8（0[0）,S（0,0,百），—>0

rr

设通,血的夹角为氏o<0<-

—,广_■（石3]

又AS=（0,I,6）,BC=^-,--,0

122J

„„八ASBCV3

则cos0=_.=

|AS|BC|4

7T

因为。

即SA与BC所成角的余弦值为立

2.【答案】D

如图，建立空间直角坐标系以衣.

由题意得A(1,O,O),设点由的坐标(0,y,z)(y>0,z>0),则加=(-l,y,z).

由题意得与D4,DCDR平行的棱所在直线的方向向量可分别取为£=(1,0,0),6=(0,1,0),

c=(0,0,1).

因为直线AM与所有的棱所成角相等，

所以|cos<AM,a>|=|cos<AM,b>|=|cos<AM,c>|,

(大此逆后1=逆石|=画

'\AM\\a\~\AM\-\h\~\AM\-\c\'

1yz

所以1777|=1777「方就，解得y=l,z=l,

IAM||AM||AM|

所以点M的坐标(0,1,1),即为正方形。CG"对角线的交点，

因此丽7=(-1,1,1),所以|AM|=6.

3.【答案】D

底面A3C与侧面E4C都是以AC为斜边的等腰直角三角形，

则R/AABC三放小公。，所以L4=VC=B4=BC

设E4=VC=54=8C=VB=2,

由E为线段AC的中点，

则==&，

所以VELEB,

以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，EV为z轴,

建立空间直角坐标系，如图所示：

则C（0,&,0）,B（&,0,0）,V（0,0,72）,设尸卜,x-60卜

定=仅，-五,0）,丽=（&,0,-何，丽=（0,0,应），VF=（x,x_®身,

设平面VBC的一个法向量〃7=（大,x,Z]）,

m-VC=0

则《

mVB=0

令再=1,则％=1，4=1,

所以m=(1,1,1).

设平面VEF的一个法向量3=（生Z2），

,,fn-EV=0[V2z,=0

贝叫———，即〈/r\r，

n-VF=0x-x2+^x->/2j-y2+V2Z2=0

解得Z2=0,令%=1,贝

X

所以"匕-""J，

平面与平面VBC所成锐二面角的平面角为仇

则8S”就

将分子、分母同除以L,可得

X

&e

可2-2友乙+2。2必2-6岳+6

令〃x）=6/—6五x+6=6x--—j+3,

当x=¥时，f（x）niin=3,

则cos。的最大值为：半=".

63

4.【答案】D

建立空间直角坐标系如下图所示，设正方体的边长为2：则

E（2,0,l）,F（l,2,0）,G（0,l,2）,|所仁庐方弄二遥,|国=6+『+/=#,

|FG|=^l2+l2+22=76.所以三角形EFG是在三角形，①正确.

4（2,0,2）6（0,2,2）,所以4小=（一2,1,0）,市=（1,0,-2）,设异面直线力。与匕尸所成角为。，

丽•印22

则cosa==石X.=1‘所以a。60。，②错误.

A（2,0,0）,C（0,2,0）,AC=（-2,2,0）,EF=（-1,2,-1）,EG=（-2,1,1）,设平面EFG的法向量为

、n-EF=-x-v2y—2z=0,.,1一一一一/.

n=(zx,y,z),则八，令x=l,得ay=l,z=l,所以“=(1,1,x1),由于

''EG--2x+y+z=0

AC-M=-2+2=0,所以③正确.

综上所述，正确的命题序号为①③.

故选：D

5.【答案】B

解：设A4=AB=1,因为尸A_L平面ABCD,所以尸A_LAC,PA±AB,PAA.BD,PA1BC,

乂底面ABC。是正方形，所以BOLAC,XBAC=lxlxcos-=—,

42

对于A,BDPC=BD\PA+AC\=BDPA+BDAC=Q+Q=Q-

对于B,PBPC=(PA+AB)(PA+AC)

=PA+PAAC+ABPA+ABAC

—1+0+0+1xV2x=2；

2

对于C,BCPC=BC-[PA+AC）=BCPA+BCAC=0+\x42x^-=}t

对于D,PAPC=PA（PA+AC）=PA+PAAC=l+O=],

所以数量积最大的是丽・无，

故选：B.

6.【答案】B

连接PO，如下图所示：

设球心为O,则当弦MN的长度最大时,MN为球的直径,

由向量线性运算可知

PMPN=(Pd+dM)(pd+ON)

=PO2+POON+OMPO+OMON

=PO2+PO(ON+OM]+OMON

正方体AB8-ABC1R的棱长为2,则球的半径为1,ON+OM=6,OMON=-1,

所以所.(两+两)+丽■.而

=带-1，

而附同1,6]

所以的?-le[0,2],

即丽•丽e[0,2],

丽•丽的最大值为2

7.【答案】D

•.•边长为1的正方形A8CO所在平面与正方形43E尸所在平面互相垂直

..•以点B为坐标原点，丽所在直线为x轴，而所在直线为y轴，前所在直线为轴建立

空间直角坐标系,所以4(1,0,0),5(0,0,0),C(0,0,l),£(0,1,0),*1,1,0)

CM=BN=a(0<a<①

二过点M作MPLAB于点P,连接EP,CN,ME,

显然，CN与A/E不一定相等，选项A错误.

B选项：当a=YZ时，即M为AC中点，N为BF中点时，如图所示,

此时ME与CN相交，故当时，MEHCN不相交，选项B错误

C选项：AC=(-1,0,1),8户=(1,1,0)

•.3麻肉1胃等K

.••异面直线AC与8F所成的角为60。，C选项错误

D选项：丽=0,1-制+冬冬T

平面BCE的法向量为；?=(1,0,0)

一-(6五L、

MN-n=0,-a,—a-l(1,0,0)=0

\/

'•MNLn

：.MN始终与平面BCE平行

选项D正确

8.【答案】D

解：,存在X,yeR，使丽=xfik+y晶，BEC[BF=B,

..・与尸〃平面8£：产，

设AR的中点为G,连接尸。，B,G,AG,DtE,

则B、G"FD"BE,BEu平面跳户，8。不在平面8所内，

所以80〃平面3所，同理AG〃平面5E尸，AG^B,G=G,AG,qGu平面2%,

J.平面与G4〃平面3E尸，

•・•点户为侧面正方形AORA内(含边界)动点，且4尸//平面8£下，

二点P的轨迹为线段GA,

•.・正方体ABCO-A乌GR的棱长为1，E、G分别是楼4£＞、RA的中点,

・•.GA=Jf+(》2等.

由题得NAf用就是B,P与侧面ADD^所成角，

所以tan/AP4=4最大，则AP最小，即AP，G4.

由等面积法得ix1=APxAP=好，

2'215

’-=遥

所以tanNAPB1最大值为否.

T

9.【答案】BD

解：对于A,因为当〃在A。上运动时，49，平面4瓦8,CMu平面A4C。，

于是所以存在点用满足CMLAA,所以A错误；

对于B,因为AD//BC..A。〃面用C。，又点M在线段A。上，所以M到面BC。，的距离

即为A。到面印8的距离，所以距离为定值，所以四面体M-Cq。的体积为定值所以B

对；

对于C,以。为原点，建立以DA,DC,所在直线为x,>,z轴的空间直角坐标系,

则点M(x,0,x),B(a,a,0),C(0,a,0),B4a,a,a),

所以aW=(x-a,-a,x),CB\=(a,0,a),

,a

设异面直线BM与方所成角为仇则cos”吧西=1____“(D+“x_____I='',

网闻|VU-a)2+a2+x2-V27|E-ax+a2

当x=3时，cos6=0,6=90。，

2

32

一〃i

当XH：时，cos®=l+1+口一(砥ka),当尤=0或X=a是，cos。的值最大为;，此时

21y)22

6=60°,

所以的取值范围是[60。，90°],所以C错误;

对于D,当点M在平面8CGB|内时，由面BCC田，面BCg用，ABtBM,所

以有AA/2=A52+8M2,

所以BM=a,所以点M的轨迹是以8为圆心”为半径的!圆弧，

同理点M在面44G2，CDRG时，轨迹也是a为半径的!圆弧,

4

从而动点M轨迹长度为：x2w=券，所以D正确.

故选：BD.

10.【答案】BCD

取8。的中点0,连接OAOC,由题意可知：OA=OC=2,

因为。A?+oc?=AC?,所以CMLOC,

又易知OAJ.3DOC_L8。，

因为Q4_LOC,OALBD,OC[}BD=O,

所以。AJ■平面BDC,

因为。4<=平面ABD,

所以平面平面BOC,故C正确；

以。为原点，OBQCQA分别为x，Xz轴建立坐标系，

贝I]B]乎,0,0,C（0,2,0）,A（0,0,2）,pf-^,0,0

当AQ=QC,时，2（0,1,1）,P-y.0,0

惇，q而惇,0,0,

PQ=

，|地•四3国

所以点D到直线PQ的距离为d=(铲节=不，故A错误;

V3

设P(a,0,0),Q(x,y,z),由诙=2夙得，Q(0,2-2/l,2/l),

|PQ\=Ja2+(2-2A)2+(22)2=+8(/_()+2,

当。=0"=；时，|PQIM=0,故B正确；

当P，Q分别为线段BD,CA的中点时，

P(0,0,0),g(0,1,1),而=(0,1,1),亚乎,0,-2,

设PQ与AD所成的角为。，

cos”瓯码-2_屈

则M国阿瓦1F，

所以PQ与AD所成角的余弦值为半，故D正确；

故选：BCD

11.【答案】ACD

以片为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设A5=l,

其中A(1,0,1),(0,0,1)，8(0,0,0),G(0,1,1),

因为丽=彳画，所以尸（0,九,几）,

—/\——「111、--------1111

A.因为AP=(-1，Z4T)，。用=(-5，—5,5，，42。月=5-52+54-5=0,

所以邛_L画，所以AP，OB1,故正确;

B.当丸=：时，4P=f-i,1,-HAB=(-I,O,O)所以

13V14x/3

Icos<\P,AB>|=I-*

1+L4M142'

99

所以直线吊尸与AB所成的角不是30。，故错误:

C.当4=:时，帮=[,-；），取平面的一个法向量为7=（0,0,1）,

—=半，设直线4尸与平面A8C所成的角为仇

所以k（）s<卜

N6

所以sine=^^,cose=J1-所以tane=，^,故正确;

6Y[6J65

D.当2=g时，如图所示，尸为耳C中点，。为A。中点，连接0P,

1PQOP1

所以。尸〃A与，。尸=彳4与，所以房=7丁=不，故正确;

2H外/乙

故选：ACD.

12.【答案】AC

TT

如图，因为和ADCB所在两个平面互相垂直，NABC=NDCB=二,

2

则平面ABCJ•平面DCB,则AB,BC,CD两两互相垂直.

因此可以把四面体£>-ABC放在正方体中进行研究.易得异面直线BO和AC所成的角为?，

故选项A正确；

以C为坐标原点，过点C且平行A3的直线为x轴，CB,所在的直线分别为y轴、z轴

建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(0,0,0),3(0,2,0),4(2,2,0),£>(0,0,2),

易知平面ACD的一个法向量为正=(-1,1,0),平面碱的法向量为)=(0,1,1),而不=1H0，

故选项B错误；

四面体ABC。的外接球即为其所在正方体的外接球，易得外接球的直径为正方体的体对角线,

即外接球的半径则外接球的表面积5=4万r=12万，故选项C正确；

匕皿)=：5小叱|8|=方，故选项D错误.

故选：AC.

I、\

13.【答案】姮

28

如图所示，

由题意可知，直三棱柱ABC-AB©中，二面角B-AA-C的大小为60。,

所以44C为二面角B-44t-C的平面角，即NK4C=60。,

因为点B到平面ACC0的距离为百，

即点8到直线AC的距离为G，

过点B作a5LAC于。，则80=豆,A8=2,AO=1,

因为点C到平面AB5A的距离为，即点C到直线A3的距离为2g，

又因为”4C=60°,A8=2,

所以8c=26，AB1BC,AC=4,CD=3,

以8为坐标原点，BC,54,8与所在直线分别为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

所以与（0,0,4）,C（273,0,0）,A（0,2,0）,G（2石,0,4）,

品=（26,0,-4）,而'=（26,-2,4）.

8s瓯福）=篇制

-4714

一弧X辰-28,

所以异面直线B©与AG所成角的余弦值为恒.

28

故答案为：叵

28

14.【答案】［°，竽］

•.•R4_L平面ABC。，BAD=90,以点A为坐标原点，AD,A3、”所在直线分别为X、

＞、z轴建立如卜图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)、8(0,1,0)、C(l,l,0)、0(2,0,0)、P(0,0,l),

设点。3"。)，其中0VaV2,0</><1,

一LIUU_______,、

设平面PDQ的法向量为m=(x,y,z),DP=(-2,0,1),。。=(々一22,0),

in-DP=—2x+z=0一/、

则〈-ki/,A»Wx=b,可得m=(b,a-2,2匕),

m-DQ=ya-2)x+by=0

易知平面PAO的•个法向量为5=(0,1,0),

由已知条件可得kOS<记,百>卜片g=J(l；j5.=V，

所以，2—a=百人，即〃+后b=2，

|::±2*解得a=2

直线CD上的点(工,乂0)满足x+y=2,联立v

b=0'

联立｛+e=2,解得|6,

a=0b

5

所以,点Q的纵坐标6的取值范围为

易知点。不在线段AZ)匕则第

o,喙

2

以点C为坐标原点，C。所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CP所在直线为轴建立空

间直角坐标系C-孙z,如图所示，则。(1,0,0),41,1,0),3。1,0),戈0,0,1),从而

DA=(0,1,0),BA=(1,0,0),BE=(0,-1,1).

设平面A6E的一个法向量为〃=(a,Ac),

冗•BA=0。=0

由法向量的性质可得〈=>

n•BE=0—b+c=O'

令c=l,则a=O,b=l,所以3=(0,1,1).

所以点D到平面A8E的距离d=四组处=-J==g

|〃|V22

故答案为：显

2

16.【答案】①②③

设。4=OB=OC=a,由于04、OB、0C两两垂直，

以点O为坐标原点，。4、08、0C所在直线分别为X、V、z轴建立空间直角坐标系,

如下图所示：

则。(0,0,0)、A(a,0,0)、8(0,凡0)、C(0,0,«).

对于①，OA+OB+OC=(a,a,a),所以，(砺+而+双7=3/=3(诙)'，①正确;

对于②，CA-CO=OA=(a,0,0),BC=(0,-a,a),则而•(无-诙)=(),②正确；

对于③，OA+O3=(a,a,0),C4=(a,0,—a),

__________[pA+OB\CAa2i

cos<OA+OB,CA>=、一一乙一I=2=-,

|04+04倒(0/2，

vO<<OA+OB,CA><180°,所以，(宓+而)和近的夹角为60。，③正确;

对于④，A^=(-〃M,0),AC=(-a,0,a),BC=(O,-a,a),则A反/=/,

所以，5M时网=?阿=9缶邛

而三棱锥O-ABC的体积为丫=,乂,。4.。&。。='/,④错误

326

故答案为：①②③.

17.【答案】

(1)证明见解析

(2)叵

7

【解析】

(I)先证明出4c，平面88Q。，即可证明AC，BQ：

(2)以A为坐标原点，AB,AD,AAi所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直

角坐标系.用向量法求解.

(1)

因为ABCD-AIBICIDI是直棱柱，所以8片，平面ABCD.

又ACu平面A8C。，故B81_L4c.

又已知AC_LB£>,BBgBDu平面BBR。,且8片门8。=8,故AC_L平面BBQO.

因为用。u平面58aO,所以AC^BQ.

(2)

以A为坐标原点，AB,AD,AAi所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐

标系.

设AB=t,则A(0,0,0),B(t,0,0),Bi(t,0,3),C(t,1,0),Ci(t,1,3),D(0,

3,0),Di(0,3,3).

从而区方=(—t,3,—3),AC=(t,b0),3,0).

ULUUUUUI—1—

因为ACJ_BD,所以4c-8£>=—12+3+0=0,解得f=6或1=-次(舍去).

于是丽=(-6,3,-3),部=(6,I,0).

------_.lUUlW

AZ)|=(0,3,3),AC=C>1,0),31G=(。，1.0).

设足=*,y,z)是平面ACDi的一个法向量，

则卜*°即产x+y=。

[n-ADi=0[3y+3z=0

令X=I,则W=(l，—y/i>^3)•

设直线BiCi与平面ACD,所成的角为。，

则sinO=|cos<«,露〉归一:联~产4=亨，

l«|-|IV77

故直线BCi与平面ACDi所成的角的正弦值为立L

7

18.【答案】

(I)(3"3,6)

(2)d=6

(3)N(0,2,6)

【解析】

(1)易知△4?。是正三角形，取A8的中点E,连接OE,可得DE_LA8,QE_LOC,然后

以D为坐标原点，分别以方反反，函为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系求

解；

(2)由(1)求得平面ACM的一个法向量玩=(再,%，4)及函的坐标，然后由d=股匈

\m\

求解；

(3)设点N(0,Z6)(04246),得到西=(0"-6,6),求得平面ACN的一个法向量

”(%,%,z,),然后由kos(而用卜叵包=巫求解.

11I比II为I10

(1)

解：由题意可知，四边形43C。是菱形，又NMD=60。，连接8。，

所以△钿£>是正三角形，

取A8的中点E,连接DE.

所以OELAROELOC.

又因为四棱柱的侧棱与底面垂直，所以。E,OC,O2两两垂直，

以D为坐标原点，分别以朝，反，函■为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.

己知直四棱柱A8CO-ABCQ的棱长均为6,

因为AE//QC,S.AE=-DC=3,

2

所以力E=3/,

所以B1的坐标为(3如,3,6)；

(2)

由(1)及题意,得相关点的坐标为D(0,0,0),A(3X/J,-3,0),C(0,6,0),M(0,0,4),8(35/5,3,6),

AC=(-3>/3,9,0),AM=(-36,3,4).

设平面ACM的一个法向量为比=(%，%，4),

则,,竺二°,即卜岁+知=。,

m-AM=0［一3岳1+3y+4Z1=0

令为=J5,则y=1，4=|',

即平面ACM的一个法向量为所=(石

乂丽'=(3百,3,2),

15

所以点8］到平面ACM的距离为一|比|一I9-；

卡+1+彳

(3)

由(1)(2)及题意，设点N(0,Z6)(0W/lW6),

则由=((M-6,6),

设平面ACN的一个法向量万=(々,％,z?),

^=°,即-3氏+9%=0

则

n-CN=0U-6)y2+6z2=0*

取x,=G贝IJ万=(6,1,?).

6

则有H玩用卜需

5

2

化简可得3万+28/1-68=0，

解得2=2或4=-三，

因为04/146,

所以4=2,

所以N(0,2,6),

故当点N位置在口£的线段上，与R的距离等于2时,

平面M4C与平面ACN夹角的余弦值为题.

10

19.【答案】

(1)证明见解析

迎

2)\

z6

#

39

【解析】

(1)、利用线面垂直的判定证明；

(2)、建立空间直角坐标系，求出平面和平面BCD的法向量，利用向量夹角的余弦

计算二面角的余弦值；

（3）、求出而与平面MB/）的法向量所成角的余弦值，即可导出直线尸8和平面M8O所成

角的正弦值.

（1）

•.•尸£>_!_底面ABC。，ADu平面ABC。，A£>,；四边形ABC。是矩形，

•.•PDcDC=D.P£>u平面PCD£>Cu平面PCD，,AZ?_L平面PCD

（2）

由（1）可知，DA,DC,。尸两两垂直,

以。为坐标原点，D4所在直线为x轴，0c所在直线为V轴，所在直线为z轴，建立如

图所示空间直角坐标系。-乎.

则D（0,0,0）,A（l,0,0）,C（0,2,0）,P（0,0,2）,3（l,2,0）,

是线段PC的中点，.•・/（0,1,1）,

.•.而=（-1,0,2）,丽=（1,2,0）,两=（0,1,1）,丽=（0,0,2）

设平面瓦必的一个法向量为五=（x,y,z,则｛—,八，.”=（一2,1,-1）

n-DM=01y+z=0

•.•PD±fiX[iUABCD,：.丽=（0,0,2）为平面88的一个法向量,

:.cos回，奇=」、=-旦

\/2xV66

易知二面角M—3D-C的平面角为锐角，故二面角M-即-C的余弦值为好.

6

（3）

vP（0,0,2）,B（1,2,0）.PB=（1,2-2）,由（2）可知平面8ZW的一个法向量为二=（一2,1,-1）

设直线尸8和平面〃就>所成角为。，0,|,

,方|=|-2+2+2|2A/6

sin®=cos(〃,月月)

同-J1+4+4J4+1+1—3卮9

直线总和平面M皿所成角的正弦值为".

9

20.【答案】

(1)证明见解析；

⑵-叵

2

【解析】

(I)取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证“9//平面BZ)E,NF”平面BDE,从

而得证平面MFN〃平面BDE,进而得证MV〃平面BDE:

(2)由A4_L底面ABC,ZSAC=90°,则以A为原点，AB、AC、AP所在直线分别为

X、＞、z轴建立空间宜角坐标系，求出平面8DE与平面户£石的一个法向量，结合图形

由向量法即可求解二面角P-DE-3的余弦值.

(1)

证明：取AB中点尸，连接M尸、NF,

M为A。中点，

Q8Ou平面3DE,平面3r>E,

.•.MF〃平面3£>E,

QN为2C中点,

：.NF//AC,

又。、E分别为”、PC的中点，

:.DEI/AC,则NF"DE,

一;DEu平面BDE,NF5平・面BDE,

.•.可尸//平面8£>£：,

又MFRNF=F,

■■■平面MFN//平面BDE,

•.•MNu平面M/W,

MN//平面BDE；

(2)

解：•二2，底面ABC,ABAC=90°,

二以A为原点，分别以A8、AC.AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

•：PA=AC^4.AIi=2,

8(2,0,0),D(0,0,2),E(0,2,2),

则丽=(-2,0,2),屁=(-2,2,2),

设平面的一个法向量为而=(x,y,z),

m-BD=0,,[-2x+2z=0

取x=l,得机=(1,0,1),

in-BE=0\—2x+2y+2z=0

易知平面出的一个法向量为日=(1,0,0),

---m-n15/2

所以8S<〃,,…丽

所以由图可知二面角P-DE-8的余弦值为-也.

2

21.【答案】

(1)证明见解析

⑵叵

6

⑶B

3

【解析】

以c为原点，分别以枳，丽，忑的方向为了轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.

UUUUI______________________

(1)计算出向量GM和与。的坐标，得出C|M-4O=0,即可证明出

(2)可知平面的一个法向量为无,计算出平面4ED的一个法向量为功利用空间向

量法计算出:面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果;

（3）利用空间向量法可求得直线A瓦与平面。片E所成角的正弦值.

依题意，以c为原点，分别以3、CB，函■的方向为x轴、＞轴、轴的正方向建立空间

直角坐标系（如图），

可得C(O,O,O)、A(2,0,0)、*0,2,0)、C,(0,0,3).

A（2,0,3）、片（0,2,3）、。（2,0,1）、£（0,0,2）,"（1,1,3）.

依题意，QW=（1,1,0