2022年陕西省初中学业水平考试数学试卷（二）（含答案与解析）

2022年陕西省初中学业水平考试

数学试卷

注意事项：

1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）.全卷共8页，总分120分.考

试时间120分钟.

2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和

准考证号.

3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效.

4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑.

5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共24分）

一、选择题（共8小题，每题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）

1.下列实数中，是有理数的是（）

C7

A./B.探C.-D.73

2.下列图形中，是中心对称图形的是（）

灼B③曲

3.如图，直线“〃江将一块含30。角的直角三角板按如图所示放置，若Nl=55。，则N2的大小为（）

A.15°B.25°C.35°D.40°

4.若正比例函数丁=履（左。0）的图象过点（。,切，且。=30,则该函数的表达式为（）

。,11

A.y=3xB.y=-3xC.y=-xD.y=——x

33

5.下列计算正确的是（）

A.2m2+nt"-2m5B.2m°-m=

C.(-2m2)3=8m6D.4/n5-v-m2=4m2

6.如图，在AABC中，AB=BC,点。为AB的中点，。石〃8C交AC于点E,连接3E,若

DE=13,AC=20,则BE的长为()

A.12B.20C.24D.26

7.如图，A3是0。的直径，AAC。是的内接三角形，若AB=6,NM>C=105。，则BC的长为

8.己知二次函数,=2加%2+4如+3（，〃<0）,当时-3WxW2,y的最大值与最小值的差为6,则,"的值

为（）

1133

A.一一B.-C.一一D.-

3344

第二部分（非选择题共96分）

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.比较大小：V144.（填“>”或“=”）

10.若一个多边形从一个顶点出发可以引7条对角线，则这个多边形共有条对角线.

11.元朝著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，

逢友饮一斗.店友经三处，没了壶中酒.借问此壶中，当原多少酒”.其中“店友经三处”，意思为每次

都是遇到店后再遇到朋友，总共3次.则酒壶里原来有斗酒.

12.如图，四边形Q4BC和四边形8石户均为正方形，反比例函数y=-W（x<0）的图象经过点8,E,

连接。8，OE,BE,则如

13.如图，在矩形A8CD中,AB=6,8H0,点E,尸分别为AO，8C上的点，AE=2,且所

过矩形45CD的对称中心。.若点P,。分别在AB，CO边上，且EF，22将矩形A8CD的面积四等

分，则的长为

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）

14.计算：-6x^^+（—2）'—（2022—乃）°

15.解不等式组：并把解集在数轴上显示出来.

]1-2x43

__I_________|__________|__________|__________|__________|_________L

-3-2-10123

x+35

16.化简:

%?—4Ix2x—%2

17.如图，NMON=60。，点A为。N上一点，请用尺规作图法，在。M上，求作一点&使得

。8=4。4.（保留作图很迹，不写作法）

2

O

AN

18.如图，在AABC与△CDE中，ZACD=/ECB,BC=DC,AC=EC.

求证：AB=ED.

19.2022春季直播带货节以“直播惠民生•醉美长安城”为主题，通过网络直播的方式向大家展销陕西特

色产品，助力“陕西好物”走向全国.已知某非遗文创产品每件成本为50元，当售价为60元时，平均每

月售出500件，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10件.为了更多地让利于消费

者，求当月销售利润为8000元时，每件非遗文创产品的售价.

20.为开展航天科普教育，某班组织了一次太空实验原理讲述的班会活动，班长将三个太空实验：A.太空

细胞学研究实验、B.浮力消失实验、C.水膜张力实验，分别写在三张不透明的卡片上，卡片除正面标记

的字母不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，通过抽签的方式决定讲述的实验.

(1)随机抽取一张卡片，则抽到A实验是事件(填“随机”“必然”或“不可能”)；

(2)若小明从中随机抽取一张卡片，记录实验名称后放回，洗匀后小华再从中随机抽取一张.请用画树

状图或列表的方法，求小明和小华抽取的是同一个太空实验的概率.

21.小军和小丽准备测量学校旗杆的高度，如图，小军站在点。处时，他的影子顶端恰好与旗杆的影子顶

端重合，小丽测得小军的影子。G=3m,小军向西走7.2m到达点尸处时，测得旗杆顶端A的仰角为

450,已知小军的身高8=2户=1.6m.点B、F、D、G在同一水平直线上，AB±BG,

CD工BG,EF工BG，求旗杆43的高度.

22.2月20日，北京冬奥会圆满落幕.在这届举世瞩目冬奥会中，谷爱凌“一飞冲天”，苏翊鸣“一鸣

惊人”，短道速滑梦之队“一往无前”…运动健儿们挑战极限、攀登顶峰的精神鼓舞着无数人.为弘扬奥

运精神，培养学生对体育的热爱，某校随机抽取2()名学生，进行“奥运知识知多少”的测试，满分1()

分，并绘制如下统计图：

(1)这20名学生成绩的中位数是,众数是；

(2)求这20名学生成绩平均数；

(3)若成绩在9分及以上为优秀，请你估计该校120名学生中，成绩为优秀的学生有多少名？

23.某班40名同学计划在五一当天去一家科技馆参观，已知该科技馆在节假日期间，有如下优惠政策：不

超过1()人时为原票价，10人以上超过10人部分打〃，折.门票总费用)，(元)与学生X(人)之间的函

数关系如图所示.

(1)由的值为;

(2)求y与x之间的函数关系式；

(3)若五一当天部分同学未能去参观，最后的门票总费用为4000元，求该班有多少名同学没有去参观.

24.如图，是的直径，点C在0。上且不与点A,8重合，CO是。。的切线，过点B作

6。，8于点。，交于点E.

(1)证明：点C是今后的中点;

(2)若8。=4，cosZABD^-,求O。的半径.

3

2

25.如图，抛物线>=以2+fex+c(ax0)与直线y=§x—2分别交x轴、y轴于点A,B,且抛物线与x轴的

另一个交点为。(一1,0).

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点。，使得以A,B,P,。为顶点的四边形是

菱形？若存在，求点。的坐标；若不存在，请说明理由.

26问题提出

(1)如图①，在RtaABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=6,求Rt4ABC外接圆的半径；

问题解决

(2)如图②，某园林规划局计划在一片空地上，开发出一片区域A3CQ,用于种植珍稀树苗，且用栅栏

保护.其中四边形ABC。为平行四边形，连接AC,平分NABC交AC于点

M.8M=40m,NA8C=60°,为了尽可能地减少栅栏的使用，要使四边形ABC。的周长最小，你认为

该园林规则局的想法能否实现，若能，请求出四边形A8CO周长的最小值；若不能，请说明理由.

BAD

图①图②

参考答案

一、选择题(共8小题，每题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的)

1.下列实数中，是有理数的是()

A.3B.*C.-D.73

22

【答案】C

【解析】

【分析】根据实数的分类逐个判断即可求解.

【详解】解：•.•乎，*，6是无理数，I•是有理数.

故选C.

【点睛】本题考查了实数的分类，正确的区分无理数与有理数是解题的关键.

2.下列图形中，是中心对称图形是（）

E3©

【答案】D

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的

图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，进行逐一判断即可.

【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；

B.不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；

C.不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；

D.是中心对称图形，故该选项正确，符合题意.

故选D.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义.

3.如图，直线将一块含30。角的直角三角板按如图所示放置，若4=55。，则N2的大小为（）

A.15°B.25°C,35°D.40°

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行线的性质可得N3=N1,根据三角形的外角性质可得N3=N4+N5,进而

N2=N3—N5根据即可求解.

【详解】解:如图,

a//b,

.•.N3=N1=55°，

•.•N2=N4,Z3=N4+N5,

Z2=Z3-Z5=55°-30°=25°.

故选B

【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键.

4.若正比例函数丁=丘（左。0）的图象过点（。,切，且。=3匕，则该函数的表达式为（）

A.y=3rxB.y=-3cxC.y=-1xD.y=一―1

33

【答案】C

【解析】

【分析】把点（。,⑨代入函数了=履（左。。）中，在利用a=3Z?,即可求出化的值

【详解】解：把点3,3代入丁=奴中得，b=ak，

将a=38代入h=ak=3bk得

,b1

k=­=—,

3b3

.•・函数的表达式为y=

故选：c.

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，属于基础题型.

5.下列计算正确的是（）

A.2m2+w?=2/«5B.2m2-m=2m3

C.（—2m2y=8m6D.4/M5+4=4m2

【答案】B

【解析】

【分析】根据合并同类项，单项式的乘法与除法，积的乘方，逐项分析判断即可求解.

【详解】解：A.2/7?与机3不能合并，故该选项不正确，不符合题意；

B.2加2=2，/，故该选项正确，符合题意；

C.（-2m2）3=一8机6,故该选项不正确，不符合题意；

D.十加2=4机3,故该选项不正确，不符合题意.

故选B.

【点睛】本题考查了合并同类项，单项式的乘法与除法，积的乘方，正确的计算是解题的关键.

6.如图，在AABC中，AB=BC，点。为A8的中点，DE〃BC交AC于点、E,连接3E,若

DE=13,AC=20,则BE的长为()

A.12B.20C.24D.26

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可知DE为AABC的中位线，根据等腰三角形的性质可得3E1AC，勾股定理解

RSBCE即可求解.

【详解】••,点。为的中点，

AD=BD>

DE//BC,

ADAE

----=-----=1,

BDEC

：.AE=EC，

：.DE=-BC,

2

BC=2OE=26,EC=1AC=10,

2

\AB^BC,AE^EC,

：.BE±AC,

在RSBCE中，BE=7BC2-£C2=24>

故选C.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线的判定与性质，三线合一，勾股定理，求得E是

AC中点是解题的关键.

7.如图，A3是。。的直径，/XACO是O。的内接三角形，若43=6，ZADC=105°,则BC的长为

()

D

C

【答案】c

【解析】

【分析】连接OC、BC,根据四边形ABC。是圆的内接四边形和的度数，即可求出NB的度数，再根

据AB是直径，可知/ACB是直角，则可求出NBAC的度数，根据圆周角定理即可求出/80C的度数，再

根据弧长公式即可求解.

【详解】连接OC、BC,如图，

..•四边形ABC。是。。的内接四边形,

AZfi+ZD=180°,

VZ£>=105o,

NB=75。，

是。。的直径，

，ZACB=90°,

，NB+NCAB=90°,

AZCAB=15°,

.••根据圆周角定理可得/BOC=30。，

：AB=6,

，。。的半径为3,

30°7T

存C=2万x3x^-

360°7

故选：C.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长公式等知识，根据圆内接四边形的性质求

出NB的度数是解答本题的关键.

8.已知二次函数y=2g2+4,nx+3（根<0）,当时-3WxW2,y的最大值与最小值的差为6,则机的值

为（)

【答案】A

【解析】

【分析】将二次函数解析式配成顶点式，根据自变量的取值范围求出最大值和最小值，即可求解.

【详解】由^=2如？+4如+3,可得y=2加（x+l）2+3-2m，

m<0,

当广一1时，函数有最大值，且券1ax=3-2加，

在—3WxW2范围内，函数先递增再递减，

则：当户-3时，y-3+6m,

当x=2时，y=3+16m,

'：m<0,

函数的最小值为：ymin=3+i6/n,

,•*'maxfin=6，

/.3-2m-（3+16m）=6,

解得tn——,

3

故选：A.

【点睛】本题考查了根据自变量的取值范围求解二次函数的最值的问题，将二次函数的解析式配成顶点式

是解答本题的关键.

第二部分（非选择题共96分）

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9.比较大小：714-4.（填或“="）

【答案】V

【解析】

【分析】首先把两个数平方法，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大.

【详解】v42=16>14=（V14）2,

V14<4，

故答案为：<.

【点睛】本题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等.

10.若一个多边形从一个顶点出发可以引7条对角线，则这个多边形共有条对角线.

【答案】35

【解析】

【分析】根据〃边形从一个顶点出发可引出（〃-3）条对角线，再根据亚二包求出总的对角线数量.

2

【详解】解：根据题意可知，

“―3=7,

〃=10,

这个多边形共有对角线的数量为：

〃（〃一3）10x7-

------=-----=35；

22

故答案为：35.

【点睛】本题考查了多边形对角线的问题，正确理解多边形的边数与从一个顶点发出的对角线的条数之间

的关系，以及正确求出总的对角线数量是解决本题的关键.

11.元朝著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，

逢友饮一斗.店友经三处，没了壶中酒.借问此壶中，当原多少酒”.其中“店友经三处”，意思为每次

都是遇到店后再遇到朋友，总共3次.则酒壶里原来有斗酒.

7

【答案】0.875##-

8

【解析】

【分析】设原有x斗酒，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解.

【详解】设原有x斗酒，

根据题意有：［（2x—l）x2—1b2—1=0,

解得x=0.875,

则原有0.875斗酒.

【点睛】本题考查了一元一次方程方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解答本题的关键.

12.如图，四边形Q4BC和四边形COEE均为正方形，反比例函数y=-此（x<0）的图象经过点B,E,

【答案】5

【解析】

【分析】连接EC，则有EC〃BO,即得△BC。的面积与△BE。的面积相等，根据B点在反比例函数

上，根据反比例函数的性质即可求出△BCO的面积，则△BE。的面积可求.

【详解】连接EC,如图，

..•四边形04BC和四边形C0E尸是正方形，

根据正方形的性质有NECF=45o=NBOC,

：.EC//B0,

...△BCO的面积与△BE。的面积相等（同底等高），

SABEO=S=3又BCxCO,

•••8点在反比例函数旷=—W上，

X

••yxxB=—10,且y—BC,——0c,

,t•SABEO=S=3XBCxCO=—xyHx（-=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查了反比例函数的性质、正方形的性质、平行的判定与性质等知识，由EC〃BO,得到

△BC。的面积与△BE。的面积相等（同底等高）是解答本题的关键.

13.如图，在矩形ABCO中，AB=6,BC=U）,点E,F分别为A。，8c上的点，AE=2,且EF

过矩形ABC。的对称中心O.若点P,。分别在AB，C。边上，且EF,PQ将矩形A8CO的面积四等

分，则3P的长为.

【答案】4.8

【解析】

【分析】根据矩形是中心对称图形，由点E,尸分别为AO，8c上的点，AE=2,且EE过矩形

ABCD的对称中心0.则CF=AE=2,根据题意作出图形，设”=x,PB=DQ=6—x,

AE=2,ED=10-2=S,根据S.柱=中°,列出方程，即可求解.

【详解】•.•矩形是中心对称图形，点E,F分别为A£＞，上的点，AE=2,且EE过矩形ABC。的

对称中心0,

CF=AE=2,

如图，^PE,PF,FQ,EQ,PQ,则四边形PEQR是平行四边形，

••・若点P，。分别在AB，CD边上，且EF,PQ将矩形ABC。的面积四等分,

尸。过矩形ABCO的对称中心0,

,*S四边形APOE=S四边形印,

又四边形PEQF是平行四边形,

则SAPEO=S&EOQ,

…0APE_a®Q，

设AP=x,PB=DQ=6-x,A£=2,E£>=10-2=8,

:.^PAxAE^^EDxDQ,

即gxxx2=；x8x（6一x）,

解得x=4.8.

故答案为：4.8.

【点睛】本题考查了矩形，平行四边形的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键.

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）

14.计算：一6义^~+（—2y—（2022—万）°

【答案】3-20

【解析】

【分析】根据实数的混合运算顺序进行计算即可求解.

【详解】解：原式=一26+4—1

=3-26

【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一

样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运

算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

15.解不等式组：卜””+2)>一5一”，并把解集在数轴上显示出来.

_______IIII1II〉

--3-2-1-0123~

【答案】

【解析】

【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间

找，大大小小找不到，即可求出不等式组的解集.

【详解】解：不等式-2(x+2)>—5—x,

去括号得：-2x—4>—5—x,

移项合并得：一%>-1,

解得：x<1.

不等式l—2x<3,

移项合并得：—2x<2,

解得：%>-1,

所以原不等式的解集为：一1WX<1.

原不等式的解集在数轴上表示为：

--1---L111二----1---A

-2-10123

【点睛】本题考查了求解不等式组及不等式组的解集在数轴上的表示，考查学生对不等式组解集规律的掌

握情况，中考中必不可少的题型.

【答案］——

x+2

【解析】

【分析】先用分式的减法法则计算括号内的，再用分式的除法法则进行化简即可.

【详解】

x2-4x2x-

x+312-x51

--------------------F[--------------------------]

(x+2)(x-2)x(2-x)x(2-x)

x+32-x—5

(x+2)(x—2)x(2-x)

x+3x(2-x)

(x+2)(x—2)—x—3

x+3x(x-2)

(x+2)(x-2)x+3

九+2

【点睛】本题主要考查了分式的化简，熟知分式的混合运算的法则是解答本题的关键.

17.如图，NMON=60。，点A为ON上一点，请用尺规作图法，在上，求作一点3,使得

.（保留作图很迹，不写作法）

2

【答案】见详解

【解析】

【分析】以A为圆心、0A为半径做圆弧交0M于点C,分别以0、C为圆心，以大于’0C的长度为半径

2

画圆弧，两弧交于一点，将该交点与A点连接，交0C于3点，即B点即为所求.

【详解】如图：

以A为圆心、0A为半径做圆弧交0M于点C,分别以。、C为圆心，以大于!0C的长度为半径画圆弧,

2

两弧交于一点，将该交点与A点连接，交0C于B点，即8点即为所求.

证明：根据作图可知AB是线段0C的垂直平分线，即ABLOC,

・•・ZABO=90°,

・・・ZMON=60°9

，在欣△AB。中，ZBAO=30°,

：.OB=—OA.

2

结论得证.

【点睛】本题考查了尺规作图的知识以及根据含30。角的直角三角形的性质求线段长的知识，熟悉垂直平

分线的尺规作图法是解答本题的关键.

18.如图，在AABC与△CZ5E中，ZACD=AECB,BC=DC,AC^EC.

求证：AB=ED.

【答案】证明过程见详解

【解析】

【分析】先证NACB=/£>CE,再用SAS证△ACB丝△ECZ),则问题得证.

【详解】证明：VZACD=ZECB,

：.ZACB=ZACD+NDCB=NECB+NDCB=/DCE,

AC=EC

：.根据<ZACB=NECD,

BC=DC

可得：AACB^AECD(SAS),

：.AB=ED.

【点睛】本题主要考查了用SAS判定三角形全等，并利用全等三角形的性质求证的知识，掌握三角形全等

的判定方法是解答本题的关键.

19.2022春季直播带货节以“直播惠民生•醉美长安城”为主题，通过网络直播的方式向大家展销陕西特

色产品，助力“陕西好物”走向全国.已知某非遗文创产品每件成本为50元，当售价为60元时，平均每

月售出500件，通过市场调查发现，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10件.为了更多地让利于消费

者，求当月销售利润为8000元时，每件非遗文创产品的售价.

【答案】70元

【解析】

【分析】设售价为x,则销售量为500-(x-60)xl0,每件的利润为(x-50),据此列一元二次方程，解方程

即可求解.

【详解】设售价为X,则销售量为5OO-(X-6O)X1O,每件利润为(X-50),

则根据题意有：(x-50)x[500-(x-60)x10]=8(XX),

整理得：%2-160^+6300=0.

用配方法解得：X,=70,々=90，

为了更多的让利于消费者，则定价为70元每件，

即非遗产品的售价为70元每件，月销售利润可达8000元.

【点睛】本题考了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程并根据题意对方程的根进行取舍是解

答本题的关键.

20.为开展航天科普教育，某班组织了一次太空实验原理讲述的班会活动，班长将三个太空实验：A.太空

细胞学研究实验、B.浮力消失实验、C.水膜张力实验，分别写在三张不透明的卡片上，卡片除正面标记

的字母不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，通过抽签的方式决定讲述的实验.

(1)随机抽取一张卡片，则抽到A实验是事件(填“随机”“必然”或“不可能”)；

(2)若小明从中随机抽取一张卡片，记录实验名称后放回，洗匀后小华再从中随机抽取一张.请用画树

状图或列表的方法，求小明和小华抽取的是同一个太空实验的概率.

【答案】(1)随机(2)|

【解析】

【分析】(1)根据随机事件的定义即可判断；

(2)用列表法列举即可得解.

【小问1详解】

因为是随机抽取，则抽中的结果是随机的，可能抽中A实验也可能不是4实验，

故答案是：随机；

【小问2详解】

用列表法列举如下:

华

小明ABC

AAAABAC

BBABBBC

CCACBCC

由表可知总的情况有9种，小华与小明抽中同一个太空实验的结果有三种，即A4、BB、CC,

则小华与小明抽取同一太空实验的概率为：34-9=1,

即小华与小明抽取同一太空实验的概率为;.

【点睛】本题考查了随机事件的定义以及用列举法求解概率的知识，随机事件的定义：在一定条件下可能

发生也可能不发生的事件.

21.小军和小丽准备测量学校旗杆的高度，如图，小军站在点。处时，他的影子顶端恰好与旗杆的影子顶

端重合，小丽测得小军的影子DG=3m,小军向西走7.2m到达点尸处时，测得旗杆顶端A的仰角为

45°.已知小军的身高CD=EF=1.6m.点8、F、。、G在同一水平直线上，ABVBG,

CD1BG，EFA.BG，求旗杆A8的高度.

60

【答案】—

7

【解析】

【分析】如图，连接CE并延长，交于点根据题意分别气得根据△GC"AGA6列出

比例式，代入数据解方程即可求解.

【详解】解：如图，连接CE并延长，交AB于点、H,

AB1BG,CD1BG,EF1BG,

则四边形HBFE,BDCH是矩形，AB//CD

Z4£H=45°

是等腰直角三角形，

:.AH=HE

设=

BG=BD+DG=HE+EC+DG=1.5+x+3=lQ.5+x,AB=x+HB=x+l.6

AB//CD

:.^GCD^^GAB

DGCD31.6

------=------，即an----------=-------

BGAB7.5+尤+31.6+x

解得x=K

7

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

22.2月20日，北京冬奥会圆满落幕.在这届举世瞩目的冬奥会中，谷爱凌“一飞冲天”，苏翊鸣“一鸣

惊人”，短道速滑梦之队“一往无前”…运动健儿们挑战极限、攀登顶峰的精神鼓舞着无数人.为弘扬奥

运精神，培养学生对体育的热爱，某校随机抽取20名学生，进行“奥运知识知多少”的测试，满分10

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

(2)求这2()名学生成绩的平均数；

(3)若成绩在9分及以上为优秀，请你估计该校120名学生中，成绩为优秀的学生有多少名？

【答案】(1)8,9(2)8.2

(3)54

【解析】

【分析】(1)根据条形统计图以及中位数众数的定义即可求解；

(2)根据条形统计图以及平均数的定义求解；

(3)根据9分和10分的人数之和的占比乘以120即可求解.

【小问1详解】

OIO

解：第10和第11名学生的成绩为8,8,则中位数为詈=8,9分的人数最多，则众数为9；

故答案为：8,9；

【小问2详解】

这20名学生成绩的平均数为卷x(2x6+4x7+5x8+6x9+3xl0)=8.2

【小问3详解】

估计该校120名学生中，成绩为优秀的学生人数为：2x120=54(名).

20

【点睛】本题考查了条形统计图，求中位数，众数，平均数，样本估计总体，从条形统计图获取信息是解

题的关键.

23.某班4()名同学计划在五一当天去一家科技馆参观，已知该科技馆在节假日期间，有如下优惠政策：不

超过10人时为原票价，10人以上超过10人的部分打，〃折.门票总费用y(元)与学生X(人)之间的函

数关系如图所示.

(1)巾的值为;

(2)求y与X之间的函数关系式；

(3)若五一当天部分同学未能去参观，最后的门票总费用为4000元，求该班有多少名同学没有去参观.

200x0<x<10

【答案】(1)5且X为正整数

lOOx+lOOOx>10

(3)10名

【解析】

【分析】(1)先求出原票价，再根据题意列出关于利的一元一次方程，解方程即可求出机的值；

(2)根据折线图分0Vx<10和x>10两种情况讨论求解；

(3)根据总的票价费用为4000,可判断参加参观的人数超过10人，再利用(2)的结果即可求解.

【小问1详解】

有函数图像可知原票价为：20004-10=200(元)，

超过10人的票价为200X(〃M0%),

由图可知20人的门票总费用为3000元，

贝IJ有2000X10+(20-10)x200X(/nx10%>3000,

即得，"=5,即五折，

即m的值为5

【小问2详解】

根据图像有：

当OVxWlO时，直线过原点和(10,2000)这两个点，

则设直线的解析式为产匕，

代入(10,2000),得2000=10%,则依200,

则可求得此时的解析式为y=200x：

当x>10时，

其中的10个人是票价是200元，超过的部分打五折，即200义50%=100元,

根据题意有可列式为：y=200xl0+（x-10）x100,

整理得：y=100x+1000

2(X)x0<x<10

综上:且X为正整数.

100%+1000x>10

【小问3详解】

•••总票价为4000元，

参加的学生人数肯定超过10人，

令产4000,代入y=100x+1（）00中，

得：100%+1000=4000,解得A30,

即未参加的学生人数为：40-30=10（人）.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，准确识图获取信息是解答本题的关键.

24.如图，A3是。。的直径，点C在。。上且不与点A,B重合，8是。。的切线，过点2作

BD上CD于点、D,交0。于点E.

（1）证明：点C是舛后的中点；

（2）若8。=4,cosZABD^-,求©0的半径.

3

【答案】（1）见解析；

（2）3

【解析】

【分析】（1）连接。C,AE，根据题意证明A£_LOC,根据垂径定理即可求解；

（2）先证明四边形COEF是矩形，根据COS/A8O=L设BE=a,则AB=3。，根据矩形的性质以

3

及三角形中位线的性质求得。石，根据。8=4,求得。的值，进而即可求解.

【小问1详解】

如图，连接OCAE,

D

E

AB是O。的直径，

NAE3=90°,即AE，

•••co是。。切线，

:.COLCD,

•/BD±CD,

：.AE//CD,

COLAE,

AC=CE>

点C是舛E的中点；

【小问2详解】

如图，连接OC,AE,设AE,CO交于点F,

由（1）可知

••・四边形CO上下是矩形，

:.CF=DE,

'：cosZ.ABD=-,

3

设B£=a,则AB=3a,

AE=siAB2-BE2=2缶-

AF=FE=CD=Ca，

AO=BO,AF=EF,

：.OF^-BE^-a,

22

31

:.DE=CF=CO—FO=—a一一a=a,

22

DB—DE+EB=a+a=2a,

・・・DB=4,

a=2,

二.AB=3a=6,

.•.。0的半径为，48=3.

2

【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，矩形的性质与判定，已知余弦求边长，勾股

定理，综合运用以上知识是解题的关键.

2

25.如图，抛物线y="+6x+c（"0）与直线y=§x-2分别交x轴、y轴于点A,B,且抛物线与x轴

另一个交点为。（一1,0）.

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q,使得以A,B,P,。为顶点的四边形是

菱形？若存在，求点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y——X2—x—2

33

（2）（1,一；）、（1,3）、（1,-3）.（1,一2-26）或者（1,一2+2百）

【解析】

【分析】（1）根据根据＞=|尤一2与无轴、y轴交于A、B两点求出A、B坐标，在结合C点坐标用待定系

数法即可求解；

（2）先求出抛物线的对称轴，则可得。点横坐标，设。点坐标为（1J）,P点坐标为色力），根据4、B、P、

Q四点组成的四边形是菱形，则分情况讨论：第一种情况，AB为菱形的对角线，则尸。为另一条对角线，

根据菱形的性质有AP=P8=80=QA,对角线AB、PQ的交点即为AB、PQ的中点，利用中点坐标公式用f

表示出P点坐标，再利用勾股定理结合f表示出4尸，BQ2,BP"A］，再根据AP=8Q=BP=AQ,列出

关于，的方程，解方程即可得到f的值，则。点坐标可得；第二种情况，AP为菱形的对角线，则BQ为另

一条对角线和第三种情况，A。为菱形的对角线，则3P为另一条对角线，根据第一种情况中的方法即可求

出Q点坐标.

【小问1详解】

2

根据y=—X-2与x轴、y轴交于A、B两点，

有当x=0时，y=-2；当产0时，x=3,

点坐标为(3,0)、B点坐标为(0,-2),

,.•4(3,0)、8(0,-2)、C(-l,0)均在抛物线上,

,2

a--

9a+3b+c=03

4

〈ci—b+c—0,解得〈。=—,

3

c——2c

'c——2

24

抛物线解析式为：y=—V一一x-2；

33

【小问2详解】

9498

根据y-—x2—x—2可得y=—(x—if—,

3333

抛物线的对称轴x=l,

...设。点坐标为尸点坐标为3方)，

在⑴中已有43,0)、8(0,-2),

若A、B、P、。四点组成的四边形是菱形，

则分情况讨论：

第一种情况，AB为菱形的对角线，则PQ为另一条对角线，

根据菱形的性质有AP=PB=BQ=QA,对角线AB、PQ的交点即为AB、PQ的中点，

31+Q

Q=2

根据中点坐标公式有：:2-2，，解得：＜

-2_f+bh=-2-t

MF

则尸点坐标为(2,-2-f)

.••根据勾股定理有A〃=l+(2+f)2,5Q2=l+(2+f)2,BP2=^+t\AQ?=(3—1)2+产，

•：AP=BQ=BP=AQ,

l+(2+f)2=2?+/，

解得,T，

此时。点坐标为(1,-L);

4

第二种情况，AP为菱形的对角线，则BQ为另一条对角线,

V4(3,0)8(0,-2)、P(a,b),

3+a1+0

22a=-2

...根据中点坐标公式有c,C,解得《

0+ht-2b=t-2

22

则P点坐标为(-2J-2),

...根据勾股定理有AB?=3?+2?=13，AQ?=(3-1>+/，BP2=22+Z2.

*=2?+(—27+2)2=2z+产，

"：AB=AQ=BP=PQ,

/.2?+产=13，

解得f=±3,

..•。点坐标为(1,3)或者(1,—3),

第三种情况，4Q为菱形的对角线，则BP为另一条对角线,

VA(30)、8(0,-2)、P(a,b),

3+1a+0

2-2a=4

根据中点坐标公式有,c,解得《

0+rb-2h=t+2

则P点坐标为(4,r+2),

根据勾股定理有AB2=32+22=13>AP2=(3-4)2+Q+2>=1+(/+2)2,BQ2=\+(t+2)2,

pg2=(4-l)2+(r+2-Z)2