【九年级上数学】人教版九年级数学上册第22章《二次函数》教案

第十二

二函数1通过对实际问题的分析,确定二次函数的解析式,并体会二次函数的意义.2会用描点法画抛物线,通过图象理解二次函数的性质.3会用配方法将二次函数的表达式化为()k形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向画出函数图象的对轴,并能解决一些简单的实际问题.4会用待定系数法求二次函数的解析式.5会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解6掌握二次函数模型的建立,并运用二次函数的识解决实际问题.1从实际问题情境中经历探索两个变量之间的关系的过程使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察、探究能力及归纳总结能力.2通过二次函数的图象探究二次函数的性质,学生进一步体会形结合思想在数学中的应用,经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程.3运用二次函数的知识解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高学生分析问题、解决问题的能,培养学生应用数学的意识.4经历探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.1通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会数学来源于生活又应用于生活,从而提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.2让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等思想方,养成既能自主探索又能合作探究的良好学习习惯.3通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,获得运用数学解决实际问题的经,感受数学模型、数学思想在实际问题中的应用价值.二次函数是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容一学生在学习了正比例函数、一次函数之后,又学习了二次函数,这是对函数及其应用知识学习的深化和提高,也是学习其他初等函数的基二次函数是描述现实世界变量之间的关系的重要数学模型,二次函数的图象也是人们最为熟悉的曲线之一如喷泉水流、抛的铅球划过的轨迹,同时,二次函数的关性质也是解决有关问题的理论基础它常与一元二次方程、三角形等知识综合在一起,它综合了初中所学的函数知识它在中学数学中起着承上启下的作#数教案#

用二次函数作为要的数学模型在解决有关实际问中发挥着重要作用过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题的能力.本章从实际问题情境入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,重点内容是对二次函数的图象和性质的理解和掌握二次函的图象和性质是从函2出发逐步深入探究,在探究过程中体现了从特殊到一般、类比、数形结合思,其中类比思想多处体现,如类比一次函数研究二次函数而数形结合思想贯穿探究二次函数的图象和性质的始终对于某些实际问题,图加强二次函数与实际问题的联系让学生体会数学与生活息息相关,提高学生应用数学的意识.【重点】1通过对实际问题情境的分析,确定二次函数的解析式.2会用描点法画二次函数图象,并从图象中了解二次函数的性质.3会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴,并能解决简单的实际问题.4会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解5能运用二次函数知识解决实际问题.【难点】1能够正确运用二次函数的图象及性质解决实际问题.2理解二次函数与一元二次方程的关系.1注意对实际问题情境的创设,帮助学生形成模型思想在教学中要创设丰富的实际问题的情境,使学生理解二次函数的意义并能够用二次函的知识解决实际问题.2鼓励学生采用多种方法了解二次函数的性质二次函数图象的移问题是二次函数的教学难点,所以可以让学生将自己的想法表达出来互相学习和借鉴.3注重知识之间的联系,帮助学生建立二次函数与其他学过的函数之间的联系.221二次函数的图象和性质2211二次函数(课时)2212二次函数图象和性质(1时)6课时2213二次函()2+图象和性质(2时)2214二次函数++c的图象和性质(2课时)222二次函数与一元二次方程1课时223实际问题与二次函数2课时221

二次函数的图象和性质#数教案#

1通过对实际问题的分析,确定二次函数的解析式,并体会二次函数的意义.2会用描点法画抛物线,通过图象了解二次函数的性质.3会用配方法将二次函数的表达式化为)k形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向画出函数图象的对轴,并能解决一些简单的实际问题.4会用待定系数法求二次函数的解析式.1从实际问题情境中经历探索两个变量之间的关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察、探究能力及归纳总结能力.2通过函数的图象探究二次函数的性质,使学生进一步体会数形结合思想在数学中的应用经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程.1通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程体会数学来源于生活又应用于生活,从而提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.2让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习方,养成既能自主探索又能合作探究的良好学习习惯.【重点】1二次函数图象及其性质.2运用二次函数的知识解决实际问题.【难点】不同形式的二次函数图象之间的位置关系.2211

二次函数1理解并掌握二次函数的定义.2能判断一个给定的函数是否为二次函数.3能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式及自变量的取值范围.1让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程.2使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察、探究能力及归纳总结能力3经历探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程体会建立函数模型的思想.#数教案#

1通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能,增强他们学习数学的兴趣.2通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程体会数学来源于生活又应用于生活,提高学生应用数学的意识.【重点】1理解并掌握二次函数的定义.2能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式及自变量的取值范围.【难点】用二次函数表示变量之间的关系.【教师准备】多媒体课件13)【学生准备】预习教材29.导入一:出示喷泉图片:图片中喷头喷出的水珠在空中走过一条曲,这些曲线是否能用函数关系式来?它们的形状是怎样画出来的?这些都将在新的一章中学习.导入二:请同学们阅读章前问题,并回答下列问题:如果改变正方体的棱长,那么正方体的表面积y会之改变,yx之间有什么数量关系?学生思考回答:62.【问题】y是函数吗这个函数是不是我们以前学过的函数?【师生活动】复习函数、正比例函数、一次函数的概念.导入三:当你走在大街上时,会发现有好多车在奔跑但你是否想到小车的行驶是要限速的?假设小汽车刹距离(m)与速度(km/h)之间的函数关式为s=2

,辆汽车的速度为100km/h在前方m处停放着一故障车,你能判断此时是否有危险吗[设计意图]通过欣赏图片、感受生活中的数量关系式让学生感受生活中处处有数学,激发学生学本章的兴趣同时让学生体会二次函数是刻画某些实际问题的模型,通过复习一次函数的知识,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识.#数教案#

[过渡语]函数是初中数学中重要的数学模型我们学习一次函数时,在理解其定义的基础上,研究其图象和性质,并用之解决实际问题,本章将用类的方法研究一种新的函数——二次函数.一、感知二次函数问题1【课件1】(教材问题n个队参加比赛,每两队之间进行一场比赛比赛的场次数m球队数n什么关系场.型.

思路一教师引导学生思考并回答下列问题.n个队中,每个队要与其他个球队各比赛一场全部比赛共有分析题意,题目中的等量关系为,所列等式为.【师生活动】学生独立思考后回答问题,教师点评并分如何建立函数的数学模解:n球队中,每个队要其他1)个球队各比赛一场,所以比赛的场次数m=(1),即m=2-思路二小组活动,共同探究,思下列问题.(1)明确题意,题中的已知条件是什么?(2)分析题意,题中的等量关系是什么?(3)如何根据题中的等量关系建立函数解析式【师生活动】小组讨论教师在巡视过程及时解决疑难问题学生小组讨论后发表讨论结果,教师及时补充.解:n球队中,每个队要其他1)个球队各比赛一场,所以比赛的场次数m=(1),即m=2-问题2【课件2】(教材问题某种产品现在的年产量是20t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x,那么两年后这种产品的产量y随计划所定的的值而确定,yx间的关系应怎样表示?思路一教师引导学生思考并回答下列问题.这种产品现在的年产量是20t,一年后产量是t,再经过一年的产量是t.分析题意,题目中的等量关系为,所列等式为.【师生活动】学生独立思考后回答问题,教师点评并分如何建立函数的模型.解:这种产品现在的年产量是20年后的产量是)t,再经过一年后的产量是20(1+)·(1+)t,即20(1+)2.思路二小组活动,共同交流,思下列问题.(1)明确题意,题中的已知条件是什么?(2)分析题意,题中的等量关系是什么?(3)根据等量关系你能写出函数解析式吗【师生活动】学生通过交流讨论列出函数解析式教师在巡视过程中及时解决疑难问题.解:这种产品现在的年产量是20年后的产量是)t,再经过一年后的产量是20(1+)·(1+)t,即20(1+)2.#数教案#

[设计意图]通过师生共同探讨找到实际问题中等量关系,列出函数关系式,为引出二次函数的概念做铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.二、二次函数的概念观察教师板书上的三个函数关系式:(1)62;(2)m=2-;(3)20(1+)2.【思考】(1)这三个函数是我们学过的函数吗(2)这些函数的自变量x最高次数是多少?(3)你能说出它们的共同特征吗?(4)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗【师生活动】学生独立思考,小组交流,逐一回答所提问题,教师适时启发学生,共同归纳总结.【课3】一般地,2++(,,c为,≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x自变量,,,c别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项【思考】(1)你身边哪些量之间存在着二次函数关系(2)二次项系数a不能为0?,c不能为0?什么?(3)如何判断一个函数是不是二次函数?(4)二次函数与一元二次方程的一般形式有什么关系【师生活动】学生独立思考回答问题,教师和学生共同纳二次函数的特征函数关系式必须是整式.自变量的最高次数是2.二次项系数不为0函数2++(,,c常数)中,当≠0时,2++二次函数当0时,+,若≠0,则它是一次函数若0,则是一个常数函数.[设计意图]学生观察讨论通过老师设计的问题串类比已学函数,抽象出二次函数的特征,归纳总结出二次函数的一般形式学生经历了探索次函数概念的形成过程,从而达到真正理解二次函数的概念的目的同时培养学生归纳总结能力.[过渡语]我们通过实例归纳总结出了二次函数的概念试试能不能解决下列问题.观察下列式子:62;32+5;2002+400+200;32;-(+1)22其中二次函数有(填序号)〔解析〕根据二次函数的概念可得①②合二次函数的概念;中自变量的最高次数是3,中函数右边不是整式形式,中函数化简后不含二次项,均不符合二次函数的概念故填①②③.若(+1)

是二次函数,则m值为

.〔解析〕二次函数的自变量x最高次数是,∴2652,解得71由二次项系数不为0,得+1,∴7故填7.在如图所示的一张长、宽分别为50cm30矩形铁皮的四个角上,各剪去一个大小相同的小正方形,用剩余的部分制作一个无盖的长方体箱子小正方形的边长为xcm,长方体铁皮箱的底面积为ycm

2.

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(1)求yx间的关系式;(2)写出自变量x取值范围(3)当5时,长方体铁皮箱的底面积是多少解:(1)由题意得长方体的底面的长为(2)cm,宽为(302)cm,题目中的等量关系为长方体的底面长宽,所以可得函数解析式为(502)(302)42160+1500.(2)根据实际意义,小正方形的边长为正数且两个小正方形的边长和不能大于矩形的宽,所以230,即15,且0,所以变量x取值范围是15.(3)把5代入上述函数解析式,得所以长方体铁皮箱的底面积是cm2.[设计意图]通过例题加深对二次函数概念的理解和掌握在探索中发现新知,交流中巩固新知,同时体验在实际问题中建立函数模型为后边的学习做铺垫,让学生体会数学来源于生活又应用于生活.[知识拓展]1根据实际问题列二次函数关系式时应注意(1)正确判别自变量与因变量;(2)确保找到正确的等量关系;将列出的关系式整2++(≠0)的形式;(4)确保自变量有意义.2在二次函数2++c,必须注意限制条件≠0.3任何一个二次函数都可以化2++(,,c常数,≠0)形式因此把2++(,,c常数且≠0)叫做二函数的一般式.4在二次函数2++(≠0)中,x取值范围是全体实数.5二次函数2++(≠0)与一元二次方程有着密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么这个二次函数就是一元二次方程了.1二次函数的概念:一般地,形如2++(,,c常数,且≠的函数,叫做二次函数.2二次函数满足的条件:先化简再判断;等式右边是整式形式;自变量的最高次数是2;二次项系数不为0.3二次函数的自变量的取值范围:自变量的取值在实际问题中要有实际意义.4根据实际问题写出函数解析式:认真分析题意,找到题目中的等量关系,根据等量关系列出函数解析式.1下列各式中,是二次函数的是()A.2+1B.2+1C.2

+2D.22-解析:中自变x次数1,是一次函数;D,等式右边不是整式形式故C.2二次函数22+24的二次项系数与常数项的和为()A.1B.2C.7D.6解析:二次函数22+24中,二次项系数为2,常数项为4,2+(4)2故选B.3(+1)23+1是二次函数则m值为

.解析:根据二次函数的概念可得22,且+1≠0,解得2故填2.4若物体运动的路程(m)与时间(s)之间的关系为52+2,则当4s,该物体所经过的路程为.解析:把4代入函数解析式,得516+2488故填88m.#数教案#

5一个矩形的长是4cm,是3cm,若将这个矩形的长增加xcm,宽增加2xcm,则它的面积增加到ycm2,试写出x关系式,并求出自变量x取值范围解:根据矩形的面积公式(4+)(3+2)22+11+12自变x的值范围0.2211

二次函数一、感知二次函数问题1问题2二、二次函数的概念一、教材作业【必做题】教材第29页练习的题.【选做题】教材第41页习题221的1题.二、课后作业【基础巩固】1下列不属于二次函数的是()A.(1)(+2)B.y=+1)2C.1-2

D.2(+3)2222若2+(,,p常数为二次函数,则()A.,,p不为0B.≠0,≠0C.≠0D.≠0,且≠03已知二次函数2)2+1,当3时,y值是()A.4B.4C.3D.34若二次函数42+1的函数值为5,则对应的自变量x值为()A.1B.1C.1D.5二次函数2(1)的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.6如果函数(1)2是关于x二次函数,么a取值范围是.7菱形的两条对角线的和为26菱形的面积(cm2)与一条对角长(cm)间的函数关系式为.8若函数(+1)

2+3关于x的二次函数,试确定m值或其取值范围9写出下列各函数关系式,并判断它们是什么类型的函数.(1)正方体的表面积S棱长a间的函数关系;(2)圆的面积y它的周长间的函数关系;(3)某产品年产量为台,计划今后每年比上一年的产量增长%,两年后该产品的产量(台)与x之间的函数关系.【能力提升】10下列函数关系中,可以看作是二次函数

++(≠0)的模型的是()A.在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间之间的关#数教案#

B.我国现年人口自然增长率为1%,我国人口数随年份变化的关系C.一个矩形的周长一定时,矩形面积和矩形一边长之间的关系D.圆的周长与其对应的半径之间的关系11某商场以每元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品的日销售(件)与每件商品的销售价(元)满足一次函数1623,试写出商销售这种商品的日销售利润(元)与每件商品销售价(元)之间的函关系式,yx二次函数吗?【拓展探究】12如图所示,用同样规格的正方形白色和黑色瓷砖铺设矩形地面,请观察下列图形并解答问题.(1)在n个图形中,每一横行有块瓷砖,每一竖列有块瓷砖黑色瓷砖共有块;(均用含n代数式表示)(2)在(1)的条件下,设铺设地面所用瓷砖的总块数,请写yn间的函数关系式(3)按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了块瓷砖,求n值.【答案与解析】1D(解析:化简后D中不含有自变量x二次项,所以D选项不属于二次函数故选D)2C(解析:根据二次函数的概念,即形如2++(,,c为常数,且≠0)的函数是二次函数,所以只要满足二次项系数不为0即可故选)3A(解析:把3代入函数解析式,可得4故选)4C(解析:把5代入函数解析式,得42+15,解得1故选C)5220(解析:将原式整理得222,所以二次项系为2,一次项数为2,常数项为0)6≠1(解析:二次函数中二次项系数不为所以≠0,即≠1故填≠)72

+13(解析:根据题意可得菱形的另一条对角线长为26)cm,由菱形的面积公式可得S=(26)=-2+13故填S=-2+13)8解:∵函数(+1)

2+3是关于x二次函数,∴2+12,且+1≠0,解得1.9解:(1)62,是二次函数.(2)π

=,是二次函数.(3)30(1+%)2,是二次函数.10C(解析:设一个矩形的周长为,矩形的一边长为,则另一边长为,则矩形的面积S=x-2

+,是二次函数故选C)11解:由题意可知该商品每件的利润为(30)元,则(1623)(30),即32+2524860,所以x二次函数.#数教案#

112解:(1)由图形规律可以得出:每一横行有(+3)瓷砖,每一竖列有(+2)瓷砖,黑色瓷砖数(+3)(+2)(+1)4+6故答案为:(+3),(+2),(4+6).1(2)(+3)(+2),即2+5+6.(3)由题意得(+3)(+2)506,解得n25(去),n=,∴n值为202本节课由实际问题导入新知识,呈现了“问题情境——建立数学模型——归纳总结——知识拓展”的过程,在探究过程中,给学生提供探索和交流的空间在小组交流、合作中获取知识,把要探究的知识设计成问题形式降低了难度,让学生体验成功的快乐激发学习兴趣学生在课堂上学会了与他人交流,学会了探索,提升了分析问题和解决问题的能力此外,教学中实际问题的解决贯穿整节课让学生体会建模思想是解决数学问题的重要途径,培养了学生应用数学的意识.由于这节课内容较少,在学习了一次函数和一元二次方程后,学习这节课应该是很简单的,所以误认为学生会通过自学掌握所有知识教学时对于概念的形成过程有点过于急躁,造成学生对概念的细节问题掌握不牢固,在后边的练习中出错较多,缺乏学习数学知识的严谨性,所以在课堂上要重视探究知识的过程.二次函数是一种常见的函数,应用非常广泛,许多实际问题往往可以归结为二次函数问题加以研究在教学中要重视二次函数概念的形成和构建,在对二次函数的概念的学习过程中,让学生体验从问题出发到列二次函数解析式过程体会用函数思想去描述、研究变量之间的变化规律的意义.练习(教材第29页)1解:S=·+π2=2.2解:(30+)(20+)2+600.1本节课主要学习二次函数的概念,通过具体实例中变量之间关系的特征感受二次函数的特征和意,从而形成对二次函数的初步认识本节课的重点是强调具体问题的分析、抽象,渗透数学建模思想教师引导学生分析问题,并用关系式表示这一关系的过程,引出二次函的概念获得二次函数表示量关系的体验学生在教师的引导下,通过自主探索与合作交流,理解并掌握本节课的重点,学生通过主动探索,获取知识,丰富数学活动的经验,逐步达到学会学习的目的.2对于九年级的学生来说,之前已经学过常量与变量、一次函数和正比例函,对于函数是刻画变量之间关系的数学模型也有了一定的认所以在此基础上可以用类比的方法继续深入学习二次函数而且学生的逻辑思维、概括归纳能力也有了一定的提,本节课根据教材实例引导学生自主探究,分析题意,得到相应的函数关系式分析所得到的三#数教案#

个关系式的共同特征,由学生概括归纳,得到二次函数的概念和一般式这样很自然地就突破了本节课的难点学生通过经历知识的形成过程培养了分析问题和解决问题的能力,提高了数学应用意识.已知函数(24)2

+(+2)+3.(1)当a何值时,该函数是二次函数?(2)当a何值时,该函数是一次函数?〔解析〕由二次函数的定义知24≠0,据此可以求得a的值;由一次函数的定义知240,且+2≠0,据此可以求得值.解:()∵该函数是二次函数,∴二次项系数不为0,即24≠0,解得≠2,∴当≠2时,该函数是二次函数.()∵该函数是一函数,∴240,且+2≠0,解得2,且≠-∴22212

二次函数2

的图象和性质1能用描点法画出二次函数2图象.2能根据对二次函数

的图象的理解,掌二次函数

的性质.验.

3初步建立二次函数表达式与其图象之间的关系1经历探索和发现二次函数的图象的特点和性质的过程获得研究函数性质的经2通过二次函数的图象探究其性质,进一步体会数形结合思想的应用.1经历观察、推理、交流等过,获得研究问题和合作交流的方法和经验体验数学活动中的探索性和创造性.2在数学学习活动中,会数学和实际生活的联系,感受数学的实际意义,激发学生学习数学的乐趣.【重点】用描点法画出二次函数2的图象,掌握二次函数2【难点】探究二次函数2的象特点和性质的过程.【教师准备】教材图1—3,图221—4,图221—5.【学生准备】复习二次函数的概念

的性质.#数教案#

导入一:图中的拱桥是什么曲线?这条曲线有什么特点?通过对本节课的学,相信大家一定会回答这个问题.导入二:复习提问:1正比例函数、一次函数的图象分别是什么(一条直线)2画函数图象的基本步骤是什么?(列表、描点、连线)3一次函数的性质是如何研究的?(先画出一次函数图象,然后观察、分析、归纳得到一次函的性质)4我们能否类比研究一次函数的性质的方法来研究二次函数的性质呢如果可以,应先研究什么?(可以用研究一次函数的性质的方法来研究二次函数的性质先研究二次函数的图象)导入三:如图所示,一名篮球运动员手中的球在离篮筐中心水平距m投篮,当球运行的水平距离为25时,球达到最大高35m,然后准确落入篮筐内,已知篮筐距离地面的高度为305m.通过阅读上述材料,你能说出投篮时球在空中所经过的路是什么形状吗通过对本节课的学习,相信你一定能够解答这个问题.[设计意图]以生活实例导入新课,让学生感受数学与生活息息相关,同时激发学生学习本节课的兴通过复习画函数图象的基本步骤为本节课的学习做铺垫,复习研究一次函数的性质的方法,让学生用类比的方法构建出新知识,降低本节课的学习难度.[过渡语]这节课我们就从最简单的二次函数性质.一、共同探究1二次函数2图象及性质1画二次函数2图象

入手,通过它的图来研究其#数教案#

(1)列表:在x取值范围内列出函数对应值表.x…3210123…y…9410149…【思考】自变量x取值范围是什么要画二次函数的象,你认为x整数好还取其他数较好若选7个点画图,你准备怎样选?[设计意图]通过上3问题可以使学生想为什么要先取书上给出的7个,还可以使学生初步学会画二次函数图象时选点的技巧.(2)描点:画坐标系时,注意什么?如何描点?(3)连线:这7个点是不是在同一条直线上我们应怎样连接这7个点?[设计意图]通过动手操作让学生自己经历画二次函数2图象的过程进一步了解用描点法画图象的基本步骤,为将来画其他函数的图象奠定了基础同时也培养了学生动手操作能,经历了知识的形成过程.2观察思考(1)如图所示,你能描述出该函数图象的形状吗?(2)该函数图象与x有公共点吗如果有公共点那么公共点的坐标是什么?(3)该函数图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(4)当0时,随着x增大,y何变化?当0时呢?(5)当x什么值时,最小?最小值是什么?你是如何知道的?[设计意图]将探究函数的性质设计成问题的形式使学生在探究过程中有方向、有目的讨论,降低学习新知识的难度,通过学生之间的合作交流,体会数形结合思想的应用,从而提高分析题的能力.【师生活动】先由学生独立思考,小组交流教师提示学生可以通过做表格和画图象两个方面思考解决问题,交流中教师及时解决疑难问题.【共同总结】像这样的曲线通常叫做抛物线;抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点,二次函数2图象与y轴的交点,即抛物线的顶点顶点坐标为0,0);该函数图象是轴对称图形,对称轴是y;函数2的象中,当0时,y随着x增大而减小,当0时,y着x增大而增大;当0时,y最小值,最小值是0.二、共同探究2二次函数2

的图象及性质1在同一平面直角坐标系中,画出二次函数2,y=2,22的象,并考虑这些象的相同点和不同.(根据画函数图象三步骤即列表、描点、连画出函数图象观察图象可得其异同点)解:列表如下:

x…3210123…2…9410149…y=2…202…#数教案#

22

…188202818…描点、连线,得到个函数图象如图所示:相同点:三个函数的图象都是抛物线;三条抛物线的顶点相同,其坐标都为(0,0);三条抛物线的对称轴相同,都为;三条抛物线的开口方向相同它们的开口方向都向上.不同点:三条抛物线的开口大小不同.2探究:在同一直角坐标系中,画出二次函数2

,y=-2

,22

的图象并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点.(老师给出图象后,让学生根据三个函数的图象进行类比分析)[设计意图]学生体会从特殊到一般的研究方法,悟数形结合思想在探究函数的性质的应用,培养学生归纳总结能力,训练学生理性思维.归纳二次函数2的图象及其性质.图象:二次函数2的图象是一条抛物线.性质:(1)开口方向:0时,抛物线的开向上,0时,抛物线的开口向下(2)顶点坐标是((3)对称轴是y;(4)最值:0,当0时y最小值,为0,0,0时,y有最大值,为0;(5)增减性:当0时,对称轴的左侧(0),yx增大而减小,在对轴的右侧(0),yx的增大而增大,0,在对称轴的左侧0),yx的增大而增大,在对称轴的右侧(0),yx增大而减小;(6)当||越大时,抛物线的开口越小,当||越小时,抛物线的开口越大.[知识拓展]1画函数图象时一般来说选点越多图象越精确,但也要具体问题具体分析.2抛物线是向两个方向无限延伸的.3由于二次函数的象是一条抛物线,故也称抛物线2.4抛物线2隐含着一个重要的条件,即≠0,如抛物线(1)2,满足≠1.二次函数2图象是一条抛物线,它的性质可以开口方向、顶点、对称轴、最大或最小值、增减性、开口大小等方面进行分类总结.#数教案#

1抛物线22,22,y=2相同点是A.开口向下B.对称轴是yC.都有最高点D.yx增大而增大

()解析:抛物22

,y=2

开口向上,对称轴y,有最低点,0时,yx增大而增大;抛物线22

开口向下对称轴是y,有最高点0时,y随增大而增大所以这三条抛物线的相同点是对称轴是y故选B.2二次函数y=2图象的顶点坐标是,对称轴是,开口向,当x=

时,y最

值,为

.解析:根据二次函数

的性质可得二次函数y=2

的图象的顶点坐标是(0,0),对称轴是y,开口向上,当0时,y有最小值,为0.答案:(0,0)y上0小03函数62图象的顶点坐标是,称轴是,开口向,当x=时,y有值,为.解析:根据二次函数性质可得二次函数62图象的顶点坐标是(0,0),对称轴是y轴,开口向下,当0,y最大值,为.答案:(0,0)y下0大04二次函数(3)2的象开口向下,则m取值范围为.解析:当0时,抛物线2开口向下,所以30,即3故填32212

二次函数图象和性质共同探究1共同探究2一、教材作业【必做题】教材第32页练习.【选做题】教材第41页习题221的3,4题.二、课后作业【基础巩固】1关于二次函数2性质,下列说法中正确的()A.无论x任何实数,y总为正B.当x增大时,y的值也增大C.它的图象关于y对称D.它的图象在第一、三象限内2下列说法中错误的是()#数教案#

A.在二次函数2,当0时,y最大值,为0B.在二次函数22,当0时,yx增大而增大C.抛物线22

,2

,y=-2

中,抛物线22

的开口最小抛物线2

的开口最大D.不论a正数还是负数,抛物线2顶点都是坐标原点3二次函数y=-2

,对于一切实数,总有y

0;当x=

时,y最值,为.4二次函数(+1)2的象如图所示,则k取值范围为

.5一般地,二次函(≠0)的图象是一条,对称轴是,它的顶点坐标是0,物线开口向,0,抛物线开口向.a绝对值越大,抛物线的开口越,a绝对值越小抛物线的开口越.6已(1,y),(2,y(3,y三点都在二次函y=-2图象上yyy大小123123.关系是7在如图所示的网格内建立一个恰当的平面直角坐标后画出函22象,并根据图象回下列问题(设每个小正方形的边长均为1)

y=-2

的图(1)说出这两个函图象的开口方向、对称轴和顶点坐标(2)在抛物22,x时,抛物线上的点都x的上,它的顶点是抛物线上的最点.【能力提升】8当0时,2

与b图象大致是下列选项中的()#数教案#

9已知函数(+2)

是关于x的二次函数.(1)求m值;(2)当m什么值时,此函数图象的顶点为最低点(3)当m什么值时,此函数图象的顶点为最高点10已知抛物线2过点(2,8).(1)求此抛物线的析式;(2)判断点(1,4)是否在此抛物线上;(3)求出抛物线上坐标为6的点的坐标.【拓展探究】11抛物线2直线23交于点(1,).(1)求,b的值;(2)求抛物线2直线的两个交点,C坐标(点B点C侧);(3)在(1)(2)的条件下,求Δ面积.【答案与解析】1C(解析:二次函2中,y值为非负数,所A错误;0,x增大而增大,当0时,y随增大而减小,所以B错误;它的图象在第一、二象限内,所以D误.故选C)2C(解析:抛物线2

中||越大,抛物线的开口越小,所以抛物线22

,2

,y=-2中,抛物线y=-2

的开口最大所以C错误故选C)3≤0

大0(解析:根据次函2图象和性质知抛物y=-2的开口向下,所以总有≤0,当0时,最大值,为0)41(解析:观察函数图象可知抛物线的开口向上所以+10,即1故填)5抛物线y轴(0,0)上下小大#数教案#

6.y解析:分别把2,3代入函数解析式,求出对应的函数值123yy2,y=-所以y)1231237解:图象略(1)根据二次函数的图象和性质可知抛物线22

的开口方向向上,对称轴是y,顶点坐标为(物线y=-2

的开口方向向下,对称轴是y,顶点坐标(.(2)抛物线22,当≠0时,抛物线上的点都在x的上方,它的顶点是抛物线上的最低点.8D(解析:因为所以,b号,根据一次函数的图象和性质可知A,B错误,中,两函数中a符号不同,所以错误故选D)9解:(1)由二次函数的概念可2+262,+20,解24.(2)2,抛物线的开口向上,函数有最小值,此函数图象的顶点为最低点.(3)时,抛物线的开口向下,函数有最大值,此函数图象的顶点为最高点.10解:()∵抛物线2

经过点(2,8),∴解得a=-∴此抛物线的解析式为22.(2)当1,y=-,∴点(1,4)不在此抛物线上.(3)把6代入2中,得226,解得x=±

,∴抛物线上纵坐为6的点的标为(,6),(-

,6).11解:()∵点A抛物线与线23的交点,∴把点(1,)代入23中,b=-∴A坐标(1,1),把(1,1)代2中,a=-∴1,1(2)由(1)知2,把2代入2,得22,解得x=±

,∴点,C坐标分别为(,2)(-

,2).(3)(2)可知2,Δ边BC的高为,∴SΔ=2OBC

22

.本节课主要在学生的动手操作、合作交流、共同归纳过程中完成首先复习用描点法画函数图象的方法,然后让学生自己经历画二次函数象从“形”上直观地观察其性质通过所画的个二次函数图象归纳总结出图象和性质学生在经历知识的形成过程中,体会类比、数形结合、分类讨论思想的应,实现学生自己动手、主动探索、合作交流学习方式的转变,从而提高学生观察问题、分析问题、解决问题的能力.本节课的重点是学生经历画二次函数图象的过程归纳总结出二次函数2性质观察函数图象论其性质时应尽可能多地运用小组活动的形式,通过学生之间的合作与交流,进行图象和图象之间的比较,表达式和表达式之间的比较,建立图象和表达式之间的联系以达到学生对二次数性质的真正理解在本节课中,还是没有大胆放手让学生更加自主地学习.本节课学生通过经历自己画二次函数2的图象的过程,进一步了解用描点法画图象的基本步骤,为将来画其他函数的图象奠定了基础同时也培养了学生动手操作能力.#数教案#

学生通过观察、分析、总结出二次函数2

的性质,使生经历从特殊到一般的探究过程,体会知识的形过程,步达到培养学生抽概括能力和激发学生求知欲望的目的同时体会类比、数形结合及分类讨论思想的应用练习(教材第32页)解:(1)(3)抛物线的开口向上,对称轴是,顶点坐标为0,0)(2)(4)抛物线的开口向下,对称轴是y,顶点坐标为(0,0).12二次函数中最简单的函数关系式,以个函数为基础去探索二次函数一般式的性质,为后一节做了准备,中考中常以选择题、填空题为主本节课的重点是让学生进一步熟悉描点法画函数图象的过程,然后借助函数的图象分析函数的性质,体会数形结合思想的应用在设计上使学生经历从特殊到一般的探究过程,体验知识的形成过程,逐步达到培养学生抽象概括能力和激发学生求知欲望目的让学生在轻松愉悦中突破难点,强化重点.2本节课在教学设计上要注重提高学生的动手、动脑能力,让学生自己尝试画出函数图象,逐步完善描点法画函数图象的步骤为探究二次函数性质做铺垫然后引导学生观察图象,通过小组合作交流,共同探究出函数的性质,突出学生在活动过程中的参与意识、探究方式、表达能力及合作交流的意,最大限度地实现学生的主体地位使数学教学成为一种“过程”教学.已知一个正方形的周长为Ccm,面积为Scm2.(1)求SC间的函数关系式;(2)画出所求函数的图象;(3)求当4时该正方形的周长;(4)求≥时,C取值范围.〔解析〕(1)由该正方形的周长求出其边长,后求出其面积的表达式;(2)根据函数解析式画出图象;4,求出该正方形的,从而得解;≥,即可求出C取值范围.解:(1)S==2.(2)如图所示.#数教案#

(3)4,S=2

,4=2

,解8舍去),∴8,∴该正方形的周长为8cm.(4)观察该函数图象可得当≥时,≥3.2213

二次函数()

2

+k的象和性质1会用描点法画出二次函数()2+图象,并能说出它的开口方向和顶点坐标.2理解抛物线()2+2间的位置关系.3灵活运用二次函数的图象及其性质解决有关问题程.

1通过函数图象探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.2经历探究()2+图象的平移规律,体验观察、归纳、类比、猜想的探索3经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程,提高学生的归纳总结能力.1经历观察、推理、交流等过程,体验数学活动中的探索性和创造性.2通过动手画图,观察不同函数图象的区别与联系,高学生分析问题的能力,培养学生学习数学的兴.【重点】1二次函数()2+图象和性质.2抛物线()2+2间的位置关系.【难点】不同函数图象的区别与联系.第

课时1会用描点法画出二次函数2+与()2图象,并能说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.2理解二次函数+,()22象之间的位置关.3了解二次函数的解析式与其图象之间的关系#数教案#

1通过函数图象探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.2经历探究2+k()2的象的平移规律,体验观察、归纳、类比猜想的探索过程.3经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的探究过程,提高学生的归纳总结能力.1经历观察、推理、交流等过程,体验数学活动中的探索性和创造性.2通过动手画图,观察不同函数图象之间的区别与联系,培养学生学习数学的兴趣.【重点】二次函数

+k()

2

的图象和性质.【难点】二次函数

+,()

2

与2

图象之间的位置关系【教师准备】多媒体课件14).【学生准备】复习二次函数2

的图象和性质.导入一:下图中的抛物线是二次函数2

的图象吗?导入二:目前国内最大跨度的钢筋混凝土拱桥——永和桥是南市一标志性建筑,拱形为抛物线的一部分(如右图所示),在正常情况下,位于水面上的桥拱跨度AB为m,拱高为85m图中的抛物线与抛物线2(0)有什么位置关系呢?#数教案#

x…1.x…1.0.0.0.[设计意图]通过情景导入激发学生学习兴趣,类比探究二次函数2方法探究二次函数2+k()2性质,为新课的学习做好铺垫.

的性质的[过渡语]上节课我们通过动手画二次函数2的图象,观察出了二次函数2的质,这节课我们用同样的方法探究二次函数+k()2性质.一、共同探究1二次函数2+的图象和性质在同一平面直角坐标系中,画出二次函数22

,22

+1,221的图象.思路一【师生活动】学生独立完成画图,教师提示注意自变量的取值要对称、均匀;描点后要用平滑的曲线连起来同时老师在巡视的过程中,对有疑难问题的学生予以指导,或者让学生互相交流共同解决问题,并且让学生互相检查画图的情况.【课件1】

10051155522…45205005245…22+155315115355221351113555思路二教师引导,师生共同完成下列问题.(1)自变量x的取值范围是什么?(2)画函数图象时,x哪些值列表能使函数图象的点均匀对称(3)如何用平滑的曲线连接各点?(教师强调连线时左到右依次用平滑曲线连接)[设计意图]通过动手操作逐步完善用描点法画二次函数图象的步骤,培养学生动手操作能力,通过课件展示画图的过程提高学生学习兴趣.归纳性质:思考并讨论下列问题:(1)求出三条抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标.(2)你有什么方法把抛物22别移动到抛物22

的位置和抛物221的位置?【师生活动】学生分组讨论后,教师让每个小组示自己的想法教师及时点评和补充.【课件2】(展示结论)抛物线2222+1

开口方向向上向上

对称轴0(或y轴)0(或y轴)

顶点坐标(0,0)(0,1)#数教案#

0(或y0(或y221向上(0,1)轴)把抛物线22上平移1个单位长度,就得到抛物线22向下平移1个单位长度,就得到抛物线221.

+1把抛物线22【思考】(1)二次函数解析式中二次项系数小于时和二次项系数的绝对值发生变化时,抛物线将发生怎样的变化?(二次项系数小于0时,抛物线的开口向下,二次项系数的绝对值越大,开口越小,反之越大)(2)把上述三个函数写成2+k形式,你能归纳出这类函数的性质吗【师生活动】小组讨论共同猜想,教师提示:与二次函数2图象进行类比.【课件3】(总结)一般地,抛物线2k如下性质:当0时,开口向上,当0时,开口向下对称轴是直线或y).顶点坐标是(0,).||越大,开口越小当0时,二次函数2+k的图象可看成是将二次函数2图象向上平移个单位长度得到的0,二次函2+k图象可看成是将二次函2的图象向下平移||个单位长度得到的.[设计意图]通过小组活动学生经历了从特殊到一般的探究过程,经过猜想、验,归纳出函数性质,体会数形结合思想在数学中的应用提高了学生分析问题和解决问题的能力,培养了学生归纳总结的能力.二、共同探究2二次函数(x-h2图象和性质(1)在同一平面直角坐标系中,画出二次函数y=-2

,y=-1)

2

,y=-+1)

2

的图象.(2)你能不能用之前学过的方法探究出二次函数2

,y=-1)

2

,y=-+1)

2

的性质?并将下表补充整.抛物线y=-2

开口方顶点坐对称轴向标y=-1)

2y=-+1)

2(3)二次函数y=-2图象分别经过怎样的平移得到二次函数y=-1)

2

,y=-+1)

2

的图象(4)把上述三个函数写成()

2

的形式,你能结合面这三个函数的图象归纳出这类函数的性质吗?#数教案#

112212121212112212121212可以看出,二次函数+1)

2

,y=-1)

2

的图象都是抛物线,它们与二次函数y=-2

的图象形状相同二次函数y=-(+1)

2

的图象的顶点坐标是(1,0),对称轴是过点(1,0),且y平行的直线所以它是由二次y=-2

的图象x向左平移单位长度得到的二次函数y=-1)2图象的顶点坐标是1,0),对称轴是过点(1,0),且与y平行的直线,所以它是由二次函数y=-2

的图象沿x向右平移1个单位长度得到的.[知识拓展]平移时,一般按照“左加右减”的规律进行例如,把二次函数2的图象沿x轴向左平移2个单位长度后,可以得到二次函数+2)2图象把二次函数2图象沿x轴向右平移2个单位长度后,可以得到二次函数2)2图象.【课件4】一般地,抛物线()2如下性质:当0时,开口向上,当0时,开口向下对称轴是直线x=h.顶点坐标是(,0).||越大,开口越小二次函(2图象可由二次函2的图象经过左到0时,二次函数()2的图象可看成是由二次函数图象向右平移h单位长度得到的0,二次函()2的图象可看成是由二次函2的图象向左平移||个单位长度得的.[设计意图]通过动手操作小组讨论,用类比方法得到二次函数()2性质,降低了学习新知识的难度,学生从中体验到成功的快乐激发了学生学习数学的兴趣,并且培养了学生归纳总结的能力.[知识拓展]对于二次函数)2(≠0)图象上的两点(x,(xy当0时,若|x||x|,y<y0时,若|x||x|,y;于任≠0时,若|x||x|,则y.1212二次函数2+k)2的质.二次函数a符开口方称轴顶点坐

增减性

最值#数教案#

直线x=h直线x=h最小值最大值最小值直线x=h直线x=h最小值最大值最小值表达式2+k()

2

号0000

向向上向下向上向下

标y(0,)y(0,)(,0)(,0)

当0,yx增大而增大当0,yx增大而减小当0,yx增大而减小当0,yx增大而增大当时,x增大而增大当时,x增大而减小当时,x增大而减小当时,x增大而增大

当0时,y=k当0时,y=k当x=h时,y0当x=h时,y0最大值1下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是()A.2+1B.21C.(+1)2D.(2解析:抛物线2+1的点坐标是(抛物线21的顶点坐标是(0,1);抛物线(+1)2顶点坐标为1,0);抛物线(1)2顶点坐标是(故选.2抛物线21的开口方向和对称轴别是()A.向上,yB.向下,yC.向上,直线1D.下,直线1解析:抛物线21,因为10,所以抛物线的开口向下,抛物线的对称轴是轴故选B.3在平面直角坐标系中,将二次函数22的象向上平移个单位长度所得图象对应的函数解析式为()A.22+2B.222C.2(+2)2D.2)2解析:根据平移的规律可知把二次函数22图象向上平移个单位长度所得图象对应的函数解析式为22+2故选A.4抛物线3(2)2的开口向,对称轴是.解析:抛物线3(2)2,因为30,所以抛物线的开口向下,抛物线的对称轴是直线2.答案:下直线25抛物32左平3个位长度,所得图象对应的函数解析式为,平移前后的图象形状,当x=时,y有最值,为.解析:根据平移的规律可知平移后所得图象对应的函数解式3(+3)2,平移前后的图象形状相同,顶点坐标为(3,0),当3时y最大值,为0.答案:3(+3)2相同3大0共同探究1共同探究2

第1课时一、教材作业【必做题】教材第33页练习.【选做题】教材第41页习题221的5(1)(2)题.二、课后作业【基础巩固】1已知二次函数2+图象如图所示,则下列对应,k符号正确的是()#数教案#

12321323123213231321为()A.0,0B.0,0C.0,0D.0,02如果将抛物线2右平移个单位长度,那么所得的抛物线的解析式为()A.21B.2+1C.(1)2D.(+1)23若抛物线(321开口方向向下,则m取值范围是()A.2B.2C.≠2D.24二次函数y=-23的图象的顶点坐标为()A.(0,3)B.(0,3)C.,D.,-5已知点(1,y,,,1

在二次函数2(1)2

的图象上,则yy,的大小关系123是()A.y>yB.yC.y>yD.y6抛物22上平3个单位长度,所得的抛物线的解析式为;物22向右平移4个单位长度,所得的抛物线的解析式为.7顶点坐标是(5,0),且形状、开口方向与抛物线22相同的抛物线的解析式为.8已知某二次函数的图象的形状与二次函数2+3的图象的形状相同,但开方向不同,顶点坐标是(求该二次函数的解析式.【能力提升】9已知二次函数2+,xxxxx时,函数值相等则当x取x时函数值121212A.+cB.a-cC.-cD.c10如图所示,抛物线()2顶点为,直线y的交点为,其中0(1)写出抛物线的称轴和顶点坐标(用含m的式子表示)(2)若点A在直线上,求∠的大小.#数教案#

213121221312121212【拓展探究】11如图所示,抛物y=-2

x交,B点,其中Ax的正半轴上,Bx的负半轴上.(1)试写出该抛物的对称轴和顶点坐标;(2)抛物线上是否在一点,使得Δ?若存在,求出点M的坐标,若不存在请说明理由.【答案与解析】1D(解析:二次函+k图象开口向上时,0,开口向下时,0;其图象y于正半轴时,0,交y于负半轴时,0由图象知0,0故选D)2C3B(解析:若抛物线(36)21的开口方向向下则360,解得2故选)4B(解析:二次函

+k图象的顶点坐标(0,),所以二次函23图象的顶点坐标为(0,3)故选)5B(解析:由题可知二次函数2(1)

2

的图象的对称轴是直线1,点,

关于对称轴对称的点的坐标为,,对称轴的左侧,

yx增大而减小因为-1<,以y故选B)622+32(2(解析根据平移的规律可得抛物线22上平移3个单位长,所得的抛物线的解析式22+3抛物22右平4个单位长,所得的抛物线解析式为2(4)2)72(5)28解:∵该二次函的图象的形状与二次函数22+3的图象的形状相,但开口方向不同,顶点坐标是(,),∴该二次函数的解析式为22+1.9D(解析:根据xxx(x),函数值相等,结合二次函2+c图象的对称轴是直线0,可得xx0,所以当x取x,函数值为故选D)10解:(1)抛物线()2对称轴是直线,点A坐标为(,0).(2)当0时,(m>),∴点B的坐标为0,),∴,由1)知顶点A的坐标为(,),∴,∴Δ是等腰直角三角形,∴∠ABO=°.#数教案#

11解:(1)抛物线y=-2

+2的对称轴是y,顶点C坐标是(0,2).(2)令0,得-2+20,解得x=±∴,B点的坐标分别为(2,0),则Δ等腰直角三角形假设存在一点,使ΔΔ∵AC公共边,∴点M与点于直线AC对称,则四边正方形,∴M坐标为(2,2),2,y=-2

2

+20≠,∴M不在该抛物线上,即抛物线上不存在点,使得ΔΔOAC.本节课在探究活动中,让学生动手画二次项系数相同的二次函数图象,根据函数图象,类比上节课所的方法通过观察图象、小交流、共同探究得出二次函数+k和()2性质及它们与二次函数2图象之间的位置关,即函数图象的平移规律学生亲身经由特殊到一般的探究过程,体会了数形结思想在数学中的应用,既提高了学生分析问题、解决问题的能力,又培养了学生学习的兴趣.在学习二次函数()

2

和二次函数2

的图象之间的位置关系时,由于涉及向左或向右平移而引出了加减问题,学生在此容易混淆,这一部分内容的学习给学生思考讨论的时间较少,由于画函数图象用的时间较长造成学生对图象平移掌握理解不深刻.另外,一节课完成种类型的函数有一定的困难,应该根据学的实际情况设计成两个课时.本节课通过学生动手操作,在同一直角坐标系中,画出函数图象,然后根据所画的函数图象,通过小组合作交流得出二次函数2+()2性质因为一节课要完成对两类函数的学习,所以可以让学生课下完成函数图象,把对函数的性质的探究这一重点给学生足够的时间进行交流让学生体验知识的形成过程,提高学生分析问题、解决问题的能力练习(教材第33页)解:图象略抛物y=2开口向上对称轴y轴,顶点坐标为(0,0)抛物y=2的开口向上,对称轴是y,顶点标为(0,2),抛物线22的开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,2)抛物线y=2

+k开口向上,对称轴是y,顶点坐标为(0,)当0时,抛物线y=2#数教案#

+k由抛物线y=2

向上平移k个单位长度得到;当0时,抛物线y=2

+k由抛物线y=2

向下平移||个单位长度得到.练习(教材第35页)解:图象略三条抛物线都开口向上,对称轴依次是y、直2、直2,顶点坐标依次是(0,0),(2,0),(2,0).1本节课的重点是通过学生动手画函数图象然后根据函数图象探索二次函数2+k()2性质它是上节课的二次数2图象和性质的续也是下节课二次函数(2+k象和性质的基础,类比节课的学习方法放手让学生在探究活动中去经历、体验知识的形成过,通过充分的过程探究,学生借助函数图象得到二次函数的性质,类比思想和数形结合思想的应用降低了学本节课的难度.2本节课的难点是函数图象的平移,由于知识的形成来源于真实的自主探究,只有放手探究,学生的潜力与智慧才会充分表现学生也才会表现实的自我,有了上一个课时探究二次函数2的象和性质为基础,进而给学生更大探究空间让学生在教师的引导下,合作交流,真正理解和掌握知识易于突破难点.如图所示,已知二函数图象的顶点坐标(1,0),直+m该二次函数的图象交,B两点,其中A的坐标为(3,4),By轴上m的值及二次函数的解析式.解:由题可知点(3,4)直线+m,∴3+,∴1.设所求二次函数的解析式为(1)2.由题可知点(3,4)在二次函数1)2的象上,∴1.∴所求二次函数的解析式为(1)2,即22+1.第

课时#数教案#

1会用描点法画出二次函数()2+图象,并能说出它们的开口方向和顶点坐标.2理解抛物线()2+2间的位置关系.3了解二次函数的解析式与其图象之间的关系1通过函数图象探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.2经历探究抛物线()2+k2平移规律体验观察、归纳、类比、猜想的探索过程.3经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的探究过程,提高归纳总结能力.1经历观察、推理、交流等过,获得研究问题和合作交流的方法和经验体验数学活动中的探索性和创造性.2通过动手画图,观察不同函数图象的区别和联系,养学生学习数学的兴趣.【重点】二次函数()2+k图象和性质.【难点】二次函数()2+k二次函数图的位置关系.【教师准备】教材图19的投影片.【学生准备】预习教材37.导入一:(教材例4)要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离处达到最高高度为3水柱落地处离池中心3m,水管应多长?导入二:(1)完成下列表格(前三个函数):y=-2

y=-21

y=-y=-(+1)221开口方向对#数教案#

称轴顶点坐标最值增减性(2)二次函数y=-2

的图象经过怎样的平移可以得到二次函数y=-21和y=-+1)

2

的图象?【师生活动】学生独立思考回答问题后,教师及时补充点评.[设计意图]通过实际问题导入新课让学生感受数学来于生活又应用于生活,激发学生学习本节课的兴趣通过完成表格,复习上节课知识的同时也为用类比法探究新知识做了铺垫.[过渡语]上节课我们通过画函数图象,探究了前三个类型函数的性质及三个函数图象之间的位置关,那么第四个函数有什么性质并且和它们之间有什么位置关系呢?让我们一起走进今天的课堂.共同探究二次函数()

2

+k图象和性质在同一直角坐标系中,画出二次函数y=-2,y=-+1)21的图象.【师生活动】学生独立完成画出函数图象教师进行点评.认真观察二次函y=-(+1)21图象,归纳总结出二次函y=-(+1)1性质,并完成导入二中表格的最后一列.思路一在同一坐标系下观察四个函数图象,教师通过引导学生观察图象后,回答下列问题.(1)二次函数y=-(+1)

21的图象与二次数y=-2

,y=-21,y=-(+1)

2

的图象的相同点是、;不同点是、.面)

(教师提示:分析抛物线时,常考虑开口方向和开口大小、对称轴、顶点坐标几个方(2)抛物线y=-(+1)

2

经过怎样的平移可以得到抛物线y=-(+1)

21?抛物线y=-21经过怎样的平移可以得到抛物线y=-+1)21?抛物线y=-2过怎样的平移可以得到抛物线y=-+1)21?#数教案#

(归纳总结结论:把抛物y=-2

向左平1单位长,再向下平1单位长度就得到抛物线y=-+1)21)(3)观察抛物线2,(1)2,(1)2+1,你能用类比的方法判断这三条抛物线之间的位置关系吗?(归纳结论:这三条抛物线的开口方向和开口大小相同顶点坐标不同,只有抛物线(1)2抛物(1)2的对称轴相同;物2右平1单位长度再向上平移1个单位长度,就得到抛物线(1)2+1)思路二学生思考下列问题后,小组交流,共同归纳(1)从平移的角度分析抛物线y=-2,y=-21,y=-(+1)2y=-+1)1之间有什么关系?(2)你能用类比的方法判断抛物线2,(1)2,(1)2+1之间的关系吗?【师生活动】学生独立思考后小组合作交流共同归纳总结出函数图象的性质,教师在巡视过程中帮助有疑难问题的学生学生回答问题后教师进行点评和补充.抛物线y=-2

,y=-21,y=-(+1)

2

和y=-+1)

21的开口方向和小相同顶点坐标不同,抛物线y=-2

和抛物线y=-21的对称轴相同抛物线y=-(+1)

2

和抛物线y=-+1)21的对称轴相同;抛物线y=-2向平移1个单位长度,再向下平移个单位长度,得到抛物线y=-+1)

21.抛物线2,(1)2,(1)2+1的口方向和大小相同顶点坐标不同,只有抛物线(1)2抛物线(1)2+1的对称轴相同;物线2右平移1个单位长,再向上平移1个单位长度,就得到抛物线(1)2+1.[设计意图]通过教师引导和学生小组讨论交流,同分析函数图象之间的联系,体会数形结合思想、类比思想在数学中的应用提高学生观察和析问题的能力.【思考】(1)抛物线()2+k开口方向和大小由什么决定?(2)你能说出抛物线()2+k对称轴和顶点坐标吗?(3)二次函数()2+最值吗?函数的最值是由什么决定的?(4)二次函数()2+增减性是怎样的?(5)抛物线2过怎样的平移可以得到抛物线)2+?【师生活动】给学生足够的时间进行小组交流,师对有疑难问题的学生进行指导,学生回答问题后,教师进行点评和补充.抛物线()2+k如下特点:(1)当0时,开口向上;当0时,开口向下.(2)对称轴是直线x=h.(3)顶点坐标是(,).(4)如果0,当时,yx增大而减小,,yx增大而增大如果0,当,yx增大而增大当,yx增大而减小.(5)将抛物2向上或向下平移||个单位长度0,向上平移;0,向下平移),可得到抛物线+,然后再将抛物线2+k左或向右平移||个单位长度(0,向右平移;0,向左平移),就可以得到抛物()2+,当然也可以先左、右移,再上、下移.#数教案#

0y(0,)向上2k+最小值0y(0,)向下最0y(0,)向上2k+最小值0y(0,)向下最大值0(,0)x=h向上y0()2最小值0(,0)x=h向下最大值y=a2k0(h)()+向上,[设计意图]学生经历由特殊到一般的探究过程,养学生归纳总结能力,同时通过小组合作交流,培养学生的合作意识,让学生在课堂上成为真正的主人.(教材例4)要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离处达到最高高度为3水柱落地处离池中心3m,水管应多长?解:如图所示,以水管与地面交点为原点,原点与水柱落地处所在直线x轴,水管所在直线为y轴,建立直角坐标系.点(1,3)是图中这段抛物线的顶点,因此可设这段抛物线对应的函数解析式是:(1)2+3(0≤≤3).由这段抛物线经过点(3,0),可得0(31)

2

+3,解得a=-.因此y=-1)2+3(0≤3).当0时,225也就是说水管应225m长.[设计意图]解决导入一中的实际问题,做到首尾呼应让学生体会数学与实际生活的联系,同时建立适当的平面直角坐标系用待定系数法求数解析式,为后边知识的学习做铺垫.[知识拓展]二次函数+,()2,)2+k质综合如下:二次函数a的符开方顶点坐对称轴增减性最值表达式号向标当0时,当0,yx增大而增大y有最小当0,yx增大而减小值,y=k当0时,当0,yx增大而减小y有最大当0,yx增大而增大值,y=k当,直线当时,yx增大而增大y有最小当时,x增大而减小值,当,直线当时,yx增大而减小y有最大当时,x增大而增大值,y0当,直线当时,yx增大而增大y有最小x=h当时,yx增大而减小值,y=k最小值#数教案#

最小值最大值最小值最大值0

向下

直线x=h

(,)

当,当时,x增大而减小y有最大当时,x增大而增大值,y=k最大值1二次函数()2+性质:a决抛物线的开口方向,抛物线的顶点坐标为(,),对称轴为直线如果0,当,yx增大而增大;当,yx增大而减小当,y最小值,y如果0,当时,yx增大而减小;当时,yx增大而增大;当x=h时,y最大值,y=k.2抛物线()2+抛物线2间的关系把抛物线2左右)平移||个单位长度(0时,向右平移;0时,左平移),再向上(下)||个单位长度0时,向上平移;0时,向下平移),就得到抛物线()2+k.1对于二次函数(1)2+2的图象,下说法正确的是()A.开口向下B.对称轴是直线C.顶点坐标是(1,2)D.与x轴有两个交点解析:二次函数(1)2+2中,因为10,所以开口向上所以A错误;称轴为直1,所B误;顶点坐标为1,2),所C确;据二次函数图象的特点可知此抛物线与x没有交点,所以D错误故选C.2将二次函2图象向右平1个单位长度,再向上平2个单位长度后所得图象对应的函数解析式为()A.(1)2+2B.(+1)2+2C.(1)22D.(+1)22解析:抛物2顶点坐标为0,0),向右平1个单位长度,再向上平2个单位长度后,得点(1,2),所以所得函数解析式为(1)2+2故选A.3如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线所表示的函数解析式为2+,则下列结论正确的是()A.0,0B.0,0C.0,0D.0,0解析:抛物线2()2+顶点坐标为(,),观察图象可知抛物线的点在第一象限,所以0,0故选.4二次函数(1)2的最小值为.#数教案#

123213312321解析:二次函数(1)2+3图象的顶点标为(1,3),且该二次函数的图象的开口向上,所以该函数的小值是故填3.1232133123215抛物线y=(+3)

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