(完整word版)近世代数课后习题习题与讲解(张禾瑞)-2

(完整word版)近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-2近世代数课后习题参考答案第二章群论1群论全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证不是一个群,因为不适合结合律.1.2.举一个有两个元的群的例子.G{1,1}证对于普通乘法来说是一个群.3.证明,我们也可以用条件1,2以及下面的条件4',5'来作群的定义:4'GG.至少存在一个右单位元e,能让aea对于的任何元a都成立.对于的每一个元,在里至少存在一个右逆元能让证(1)一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由aa1eaa1e5'GaGa,1得a1ae因为由4'Ga有元能使a1a'e'所以(a1a)e(a1a)(a1a')[a1(aa1)]a'[a1e]a'a1a'e即a1ae(2)一个右恒等元e一定也是一个左恒等元,意即由aea得eaaea(aa1)aa(a1a)aea即eaa这样就得到群的第二定义.(3)证axb可解取xa1ba(a1b)(aa1)bbeb这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到4',5'是不困难的.2单位元,逆元,消去律,那么就是交换群.若群的每一个元都适合方程eG1.Gx2G证由条件知中的任一元等于它的逆元,因此对a,bG有ab(ab)1b1a1ba.

(完整word版)近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-2在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.2.证(1)先证a的阶是n则anae1的阶也是.(a1)n(an)1e1enmn若有使即(am)1e因而这与a的阶是n矛盾.a的阶等(a1)meame1aem于a1的阶(2)a的阶大于2,则aa1若aa1a2e这与a的阶大于2矛盾(3)ab则a1b1总起来可知阶大于2的元a与1双双出现,因此有限群里阶大于的元的个数一定是偶数2a假定是个数一个阶是偶数的有限群,在里阶等于的元的3.GG2个数一定是奇数.G证根据上题知,有限群里的元大于2的个数是偶数;因此阶2的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶2的元的个数一定是奇数.一个有限群的每一个元的阶都是有限的.4.证aG故,,,,,,Gaaaan2m由于是有限群,所以这些元中至少有两个元相等:Gaman(mn)故anmenm是整数,因而的阶不超过它.a4群的同态假定在两个群和GG的一个同态映射之下,，和的阶是不是一定相同?aaaa证不一定相同1i31i3}例如G{1,,22G{1}对普通乘法G,G都作成群,且(x)1(这里x是的任意元,是的元)G1G由可知G∽G1i3,1i3的阶都是3.但22而1的阶是1.5变换群1?假定是集合的一个非一一变换,会不会有一个左逆元1,使得1.A{1,2,3,}证我们的回答是回有的:1→12→11→12→312(完整word版)近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-23→24→3…3→44→5…显然是一个非一一变换但1假定是所有实数作成的集合.证明.所有的可以写成AAxaxb,a,ba0是有理数,形式的变换作成2.一个变换群.这个群是不是一个交换群?证(1)::xaxbxcxd:xc(axb)dcaxcbdca,cbd是有理数ca0是关闭的.显然时候结合律(2)a1b0则:xx(3):axb(4)1:x1x(b)aa而所以构成变换群.1又:xx1x2x12::x2(x1)x2x112:21故因而不是交换群.12213.假定是一个集合的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号:aa'来说明一个变换.SA(a)证明,我们可以用:a[(a)](a)来规定一个的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于S121212这个乘法来说还是的单位元.S证a1:(a)(a)12:a2那么(a)12:a[(a)]1212显然也是的一个变换.A现在证这个乘法适合结合律:():a()[(a)][[(a)]]123123123[(a)]():a[[(a)]]123123)123123123故()(再证还是的单位元S::a[(a)](a):aaa(a)[(a)](a)(完整word版)近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-24．证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。证设是是变换群的单位元GG，是变换群，故是一一变换，因此对集合G的任意元a，有的元，AAb:ba(b)(a)((a))=(b)(b)a(a)a另证(x)1(x)1.7.3xx根据习题知()1(x)x证明实数域上一切有逆的nn矩阵乘法来说，作成一个群。5.证G={实数域上一切有逆的nn矩阵}A,BG则B11是AB的逆A从而A,BG对矩阵乘法来说，当然适合结合律且（阶的单位阵）是的单位元。GEnG故作成群。G6置换群1.找出所有S证)交换的元.231的不能和(1233交换的元有(123),(123),(123))这是难验证的.不能和(123231S3132213321把S的所有的元写成不相连的循环置换的乘积2.3解:的所有元用不相连的循环置换写出来是:S3(1),(12),(13),(23),(123),(132).3.证明:(1)两个不相连的循环置换可以交换(2)(iii)(iii)112kkk11)(iiiiiniiiin证(1)(=)(iiii)(iiiiiikk1k2mm1)im1212iikk1mm1iiiiiiiiik1m1n12kk1iii23k1mm1n12kk2k3=((ii)iiiiii12kk1k2mm1niiiiiiiin又231k2k3)k1miiii)=(1((ii12kk1k2mm1n)(iiiiii)iiiiiiiii12kk1mm1nk1k2m12kiiikik2iiiiiiii1iiii=(ii),故(12i)(niiiiik3k1m1231k1))()(in)(iiiikmmniiiiiiniiii12kk1k2mm1iiiiiii12k1kiii)(i)(i),故(1112mk1m12(223)1k2k(3k1m1i).1iikk112kkk1k1

(完整word版)近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-2证明一个K一循环置换的阶是K.3.证设(iii)()ikii12iii112k2()23iik1ii…………32k1()iiik1i1kk1()(i)iik1ii1hk设,那1么h(k)(i)ki1ii1ih1h５．证明的每一个元都可以写成S(12),(13),,(1n)这n1个２－循环置换n中的若干个乘积。证根据2.6.定理２。S而我们又能证明的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积n(iii同时有)(ii)(ii)(ii)12131k12k(ii)(1i)(1i)(1i),这样就得到所要证明的结论。1l1l1则2()i11()iiii1n1kii1ik137循环群1．证明一个循环群一定是交换群。证G(a)amaG，n则amanamnanmanamn这里d(r,n)是r和n的最大公因子2．假设群的元a的阶是n，证明的阶是ard证因为(r,n)d所以,,而(r,n)111rdrndn113.假设a生成一个阶n是的循环群。G证明证arG也生成，假如(r,n)1(这就是说r和n互素)a生成一个阶n是的循环群，可得生成元a的阶是n，这样利用上题即得所证，G或者，由于(r,n)1有srtn1即aasrtnasratn(ar)na(ar)故(a)(a)r4假定是循环群，并且与同态，证明也是循环群。GGGG证有2。4。定理1知也是群，G设且(a)a(是同态满射)GbGbG则存在使(b)bbak因而∽GG故(ak)akk即(b)a因而bak即Ã=（ã）5．假设是无限阶的循环群，G是任何循环群，证明与同态。GGG(完整word版)近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-2证ⅰ）设是无限阶的循环群，令(a)aGG(a)G(a)ss()()aaaa且()aaass所以∽GGⅱ）设G(a)a而的阶是n。令：k1aah1当且只当hnqk,111易知是到的一个满射GG0kn1k1aah2hnqk0kn2222kkn(qqq)k12121aakknqk设则hhnqq1()12212kqah1ah2aaakqk1k2kk2那么aG∽G8子群1．找出S3的所有子群证S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}的子群一定包含单位元(1)。ⅰ）S3本身及只有单位元(1)都是子群ⅱ）包含(1)和一个2一循环的集合一定是子群因(1)(ij)(ij),(ij)2(1)={(1),(12)}，={(1),(13)}，H={(1),(23)}亦为三个子群4HH23及两个3—循环置换的集合是一个子群ⅲ）包含(1)(ijk)2(ijk)，今证只有这6个子群，(1)(ijk)(ikj)(1)H={(1),(123),(132)}是子群，S有以上6个子群，53ⅳ）包含及两个或三个2—循环置换的集合不是子群因(ij)(ik)(ijk)不属于此集合ⅴ)若一集合中3—循环置换只有一个出现一定不是子群因(ijk)2(ikj)ⅵ)一个集合若出现两个3—循环置换及一个2—循环置换不是子群因(ij)(ijk)(ik)ⅶ）3—循环置换及2—循环置换都只有两个出现的集合不是子群因若(ij),(ik)出现则(ij)(ijk0(jk)有且只有6个子群。故S32.证明；群的两个子群的交集也是的子群。GG证HHH是的两个子群，H,HG122a,bH同时21H显然非空a,bH则a,bH1因HH是子群，故ab1H，同时ab1H1,2ab1HHH1212所以故是的子群HG

(完整word版)近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-23．取的子集S{(12),(123)}，S生成的子群包含哪些个元？一个群的两个不同的子集不会生成相同的S3子群？证(12)2(1)S(123)2(132)S(12)(123)(13)S(12)(132)(23)S从而SS3群的两个不同的子集会生成相同的子群S{(123)}S生成的子群为{(1),(123),(132)}11S{(132)}S生成的子群为{(1),(123),(132)}224．证明，循环群的子群也是循环群。证=（a）是循环群，是的子群HGG设，而0hk时akH。akH任意bHbG则因而bammkqr0rkamakqrakqar因，amH(a)所以H(a)是循环群.kqkakq5.找出模12的剩余类加群的所有子群证剩余类加群是循环群故其子群是循环群.G={[0],[1],,[11]}(ⅰ)([1])([5])([7])([11])G(ⅱ)H([0])(ⅲ)([2])([10])即H{[0],[2],[4],[6],[8],[10]}12(ⅳ)([3])(9[])即{[0],[3],[6][9]}H3(ⅴ)([4])([8])即H{[0],[4],[8]}4(ⅵ)([6])即{[0],[6]}H5有且只有以上6个子群.HHHa,bH6.假定是群G的一个非空子集,并且的每一个元的阶都有限,证明,作成子群的充要条件:推出abH证必要性显然充分性推出,(*)所以只证推出即可.a,bHabHaHaH,a的阶有限设为mame所以即aam1ea1am1由(*)可知am1H,因而a1H这样作成的子群.HG

(完整word版)近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-29子群的陪群1.证明阶是素数的群一定是循环群证：设群的阶是素数,GP则可找到而,则a的阶,aGaep2.9.pnp根据定理3知,但是素数,故,np那么a0,a1,a2ap1GPPnp是的个不同元,所以恰是的不同元,故.2.证明阶是pm的群(是素数)一定包含一个阶是的子群.pp证：设阶是pm的群为,是正整数,可取,而,GmaeaG根据定理3,a的阶是2.9.pn而nm,进一步可得apn1的阶为.pH(apn1)是阶为p的G的子群.Gabba3.假定和是一个群的两个元,并且,又假定a的阶是m，ab的阶是并且(mn)1mnbnab.证明:的阶是证amebeabamnbmne.,()nmn设(ab)re.则(ab)mramrbmrbmrenmr,(m,n)1故nr.(ab)nranrbnremnr,(m,n)1故又mr(m,n)1mnr因此的阶是mn.ab假定~是一个群的元间的一个等价关系,并且对于的任意三个元a,x,x'来说,ax~axx~x''证明4.GG与的单位元e等价的元所作成的集合为H证由于~是等价关系,故有e~e'即eH.a,b,H,则a~e,b~e因而ae~aa1,be~bb1G由题设可得e~a1,e~b1由对称律及推移律得b1~a1再由题设得ab1~eab1H即这就证明了是的一个子群.HG我们直接下右陪集的定义如下:刚好包含的可以写成5.HaHaGha(hH)G的每一个元属于而且只属于一个右陪集.证任取aG则aeaHa这就是说,的每一个元的确属于一个右陪集G若xHa,xHb则xha,xhb.12(完整word版)近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-2则,因而ah1hb,bh1hahahb121221hahh1hb,hbhh1ha1221HaHb,HbHa故Ha=Hb这就证明了,的每一个元只属于一个右陪集.G6.若我们把同构的群看成是一样的,一共只存在两个阶是4的群,它们都是交换群.证设是阶为4的群.那么的元的阶只能是1,2,4.GG1．若有一个元的阶为4,则为循环群;GGG2.若有一个元的阶为2,则除单位元外,其他二元的阶亦均未2.就同构的观点看阶为4的群,只有两个;由下表看出这样的群的确存在.循环群012301230112302230133012非循环群eabceeabcaaecbbbceaccbae循环群是交换群，由乘法表看出是交换群10不变子群、商群1.假定群的不变子群的阶是2,证明,的中心包含.GNGN证设N{e,n}NaG是不变子群,对于任意有ana1N若ana1e则ana，ne矛盾ana1n则anna即n是中心元.又e是中心元显然.故的中心包含.GN2.证明,两个不变子群的交集还是不变子群令(完整word版)近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-2证NNN1,则是的子群.NG2nNnN及，nNana1N,ana11Nana21N12故是不变子群.N3.证明:指数是2的子群一定是不变子群.H证设群的指数是2则的右陪集为HHe,HaH的左陪集为eH,aHHeeHHeHaeHaH由易知HaaH因此不论x是否属于H均有HxxH4.假定是的子群,是的不变子群,证明HN是G的子群。HGNG证任取hnHN,hnHN()(1)1()()3hnhnhnhnhhnn2211221122123(hh)nnHN,hnHN()N1nh1Nh1h12121hn1(hn)1h1n'HN.至于HN非空是显然的!HN是G的子群.5.列举证明,G的不变子群N的不变子群1未必是G的不变子群(取G=!)证取GS34,1324,1423N1,124N1,1423易知N是G的子群,是N的子群1N1我们说N是G的不变子群,这是因'为iiii3iiii1'1'2'4234i'i'i'i'iiii1234iiii''''12341234此即说明iiii1,,.anaNaGnN1234因为N是阶为4的群,所以为交换群,故其子群是不变子群.N1但却不是G的不变子群,原因是:N341423341324N1116.一个群G的可以写成a1b1ab!形式的元叫做换位子.证明:i)所有的有限个换位子的乘积作成的集合C是G的一个不变子群;ii)G/C是交换群;iii)若N是G的一个不变子群,并且G/N是交换群,那么NC证i)e显然是有限个换位子的乘积;ee1e1ee故eC

(完整word版)近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-2(有限个换位子的乘积)(有限个换位子的乘积)=有限个换位子的乘积,故C对G的乘法是闭的.由于abab1b1a1ba1是换位子,故(有限个换位子的乘积)的逆仍为(有限个换位子的乘积)即有11C,故C是子群;1ccC,gC有gcgccC11由即gcg1Cgcg1C所以C是不变子群.cC(ii)x、yG就有xyyxcxy11xyc故xyyxC1因而xyCyxC即(xC)(yC)(yC)(xC)是交换子群;所以GN(iii)因G/N是交换子群(xN)(yN)(yN)(xN)(xy)N(yx)N就有xyyxNxyyxnnN因此x1y1xyN又由于是子群,所以包含有限个换位子的乘积,NNNC即.11同态与不变子群1．我们看一个集合到集合A的满射,证明,若是的逆象,一定是的象;但若的的象,不一ASSSSSSS定是的逆象.S证ⅰ)在之下的象一定是;S若有的元s在之下的象sSs,则有两个不同的象,故矛盾S又的逆象是SS两者合起来,即得所证ⅱ)设A{1,2,3,4,5,6,}{1,2}A:112233425162令S{1,3}在之下{1}S但S的逆象是{1,3,5}2.假定群与群G同态,是的一个不变子群,是