2022年全国统一高考乙卷文科数学试卷含答案解析

2022年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.集合M={2,4,6,8,10},N={x\-\<x<6},则M「|N=()

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.[2,4,6,8,10}

2.设(l+2i)a+b=2i,其中〃，人为实数，贝！J()

A.a=1,b=—lB.a=l,b=lC.a=—l(b=\D.a=—l,b——\

3,已知向量4=(2,1),6=(-2,4),贝:下一5|=()

A.2B.3C.4D.5

4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：/?）,得如图茎叶图：

则下列结论中错误的是（）

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.1

A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

x+y..2,

5.若x,y满足约束条件,"2%4,则z=2x-y的最大值是（）

y..0,

A.-2B.4C.8D.12

6.设尸为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点8（3,0）,若,则|A例=（

）

A.2B.25/2C.3D.3夜

7.执行如图的程序框图，输出的〃=（）

（结束】

A.3B.4C.5D.6

8.如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是（）

-2xcosx八2sinx

c-y=—~-D.y=-5—

X+\XT+1

9.在正方体A8CD-A4CQ中，E,F分别为AB,8c的中点，则（）

A.平面B】EF，平面BDD、B.平面B,EF1_平面\BD

C.平面4EF//平面AACD.平面B|EF//平面AG。

10.已知等比数列｛4｝的前3项和为168,%-%=42,则4=（）

A.14B.12C.6D.3

11.函数/（x）=cosx+（x+l）sinx+l在区间［0,2加的最小值、最大值分别为（）

7171心3471c冗兀、rx37r冗

AA.—一，—B.-------，—C.—一,一+2D.------,-+2

22222222

12.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该

四棱推的体积最大时，其高为（）

A.-B.-C.-

32DE

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.记S.为等差数列｛”“｝的前〃项和.若2s3=3邑+6,则公差"=

14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为

15.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为

16.若f(x)=ln\a+」一|+b是奇函数，贝［Ia=____,b=

1-x

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(-)必考题：共

60分。

17.(12分)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)若4=23,求C；

(2)证明：2/=6+c?.

18.(12分)如图，四面体/WC£)中，ADICD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为AC的

中点.

(1)证明：平面阻)_L平面ACD；

(2)设A5=3D=2,ZACB=60°,点尸在加＞上,当AAFC的面积最小时，求三棱锥

尸一ABC的体积.

19.(12分)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树

木的总材积量,随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：，/)和材

积量(单位：〃力,得到如下数据：

样本号i12345678910总和

根部横截面积X,0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材积量y,0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得21片=0.038,Zy；=L6158,工工),=0.2474.

i=li=li=l

(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；

(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积

总和为186".已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区

这种树木的总材积量的估计值.

之(七一稻(另一刃____

附：相关系数厂=下皂----------------,VL896«1.377.

Vi=li=l

20.(12分)已知函数/(x)=ax---(a+V)lnx.

x

(1)当a=0时，求f(x)的最大值；

(2)若/*)恰有一个零点，求”的取值范围.

21.(12分)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0,-2),B(旦,

2

-1)两点.

(1)求£的方程；

(2)设过点尸(1,-2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段

AB交于点T,点H满足证=TH.证明：直线HN过定点.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

22.(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为卜=为参数).以坐标

y=2sinf

原点为极点，入轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为

冗

psin(e+g)+m=0.

(1)写出/的直角坐标方程；

(2)若/与C有公共点，求机的取值范围.

［选修4-5：不等式选讲］(10分)

333

23.已知a,b，，都是正数，且层+房+a=1,证明：

(1)ahc„；

，八abc1

(2)----F----+-----j==，

b+ca+ca+b27abe

2022年全国统一高考数学试卷(文科)(乙卷)

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.集合M={2,4,6,8,10},7V={x|-l<x<6},则M0|N=()

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}

【思路分析】直接利用交集运算求解即可.

【解析】,.•M={2,4,6,8,10},N={x［-l<x<6},

.-.Mp|7V={2,4}.故选：A.

【试题评价】本题考查集合的交集运算，属于基础题.

2.设(l+2i)a+h=2i,其中a,6为实数，贝！］()

A.a=l,b=—lB.a=\zb=lC.a=-1,b=\D.。—1,b=—l

【思路分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解.

【解析】•,•(l+2i)a+b=2i,

.-.a+b+2ai=2i,即，解得［.故选：A.

【试题评价】本题主要考查复数相等的条件，属于基础题.

3.已知向量1=(2,1),5=(-2,4),则|下一。|=()

A.2B.3C.4D.5

【思路分析】先计算处&-■的坐标，再利用坐标模长公式即可.

【解析】a-白=(4,-3),故卜-@=&+(-3)2=5，故选：。.

【试题评价】本题主要考查向量坐标公式，属于基础题.

4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：/?),得如图茎叶图：

则下列结论中错误的是()

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.1

A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

【思路分析】根据茎叶图逐项分析即可得出答案.

【解析】由茎叶图可知，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为空上至=7.4，选项A

2

说法正确；

由茎叶图可知，乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8,选项3说法正确；

甲同学周课夕体育运动时长大于8的概率的估计值为9=?<0.4,选项C说法错误；

168

乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为与=0.8125>0.6,选项。说法正确.

16

故选：C.

【试题评价】本题考查茎叶图，考查对数据的分析处理能力，属于基础题.

x+y..2,

5.若x,y满足约束条件，x+2y,,4,则z=2x-)•的最大值是()

7--0,

A.-2B.4C.8D.12

【思路分析】作出可行域，根据图象即可得解.

【解析】作出可行域如下图阴影部分所示，

由图可知，当(x,y)取点C(4,0)时，目标函数z=2x-y取得最大值，且最大为8.

故选：C.

【试题评价】本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于基础题.

6.设下为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点8(3,0),若|4尸|=|8用，则|A8|=(

)

A.2B.25/2C.3D.3y/2

【思路分析】利用已知条件，结合抛物线的定义，求解A的坐标，然后求解即可.

【解析】F为抛物线C：V=4x的焦点(1,0),点A在C上，点8(3,0),尸|=2,

由抛物线的定义可知A(1,2)(A不妨在第一象限),所以|他|=八3-1)2+(-2尸=20.

故选：B.

【试题评价】本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题.

7.执行如图的程序框图，输出的〃=()

（结束】

A.3B.4C.5D.6

【思路分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的〃值.

【解析】模拟执行程序的运行过程，如下：

输入a=l,b=l,n=\,

计算Z;=l+2=3,67=3—1=2,n=2,

32i

判断|育一2|=—=。.25..0.01,

2~4

计算Z?=3+4=7,a=7—2=5/n=3/

721

判断lr—2|=—=0.04..0.01；

5225

计算〃=7+10=17,々=17—5=12,〃=4,

判断1昌-2|啾＜0.01；

输出〃=4.

故选：B.

【试题评价】本题考查了程序的运行与应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题.

8.如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是（）

-24cosx八2sinx

C・y=、1D,y=-^—

+1x-+1

【思路分析】首先分析函数奇偶性，然后观察函数图像在(1,3)存在零点，可排除3,。选

项，再利用cosx在(0,+co)的周期性可判断C选项错误.

【解析】首先根据图像判断函数为奇函数，

其次观察函数在(1,3)存在零点，

而对于B选项：令y=0，即。=0，解得x=0，或x=l或x=-l,故排除8选项，

X+1

对于。选项，令y=0,即犁丫=。，解得工=觊，y，故排除。选项，

r+1

C选项分母为x2+1恒为正，但是分子中cosx是个周期函数，故函数图像在(0,+00)必定是

正负周期出现，故错误，

故选：力.

【试题评价】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题.

【解法二】(补解)对B令x=l,y=0,.\B不对

2xcosx=2cosx<1

对C：xe[0,l]-f+l不对

XH---

X

对D：x2+l>2x>2sinx,y<l；.D不对

故：只能选A

9.在正方体A8CO-A4CQ中，E,尸分别为他,3c的中点，则()

A.平面B.EF_L平面BOO,B.平面BtEF，平面A.BD

C.平面4EF//平面AACD.平面4EF//平面4CQ

【思路分析】对于A,易知所//AC,ACJ_平面8OR,从而判断选项A正确；对于3,

由选项A及平面BDD、O平面\BD=BD可判断选项B错误；对于C,由于A4,与qE必相

交，容易判断选项C错误；对于。，易知平面A8C〃平面AG。，而平面A0C与平面片"

有公共点与，由此可判断选项力错误.

【解析】对于4,由于E,尸分别为AB,的中点，则斯//AC,

又ACJ_3E>,AClDDt,BDp\DDt=D，且3。,QRu平面,

AC1平面80.,则EF_L平面BDD、，

又EFu平面4EF,

平面片EF1平面BD»,选项A正确；

对于B,由选项A可知，平面用EF1平面BDDt,而平面BDDtC平面\BD=BD,

故平面B,EF不可能与平面A3。垂直，选项8错误；

对于C,在平面48MA上，易知照与用E必相交，故平面BtEF与平面A.AC不平行，选

项c错误；

对于。，易知平面A4C//平面4G。，而平面A4c与平面片所有公共点与，故平面4EF

与平面4G。不可能平行，选项。错误.

故选：A.

【试题评价】本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系，考查逻辑推理能力，属于中

档题.

10.已知等比数歹［］｛““｝的前3项和为168,a2-as=42，贝！］%=()

A.14B.12C.6D.3

【思路分析】由题意，利用等比数列的定义、性质、通项公式，求得生的值.

【解析】设等比数列｛““｝的公比为q，尹0,由题意,q*l.

前3项和为q+“，+%=—~—=168,a,-%=弓•q-%•q"=aI•q(l-/)=42,

i-q

；.q=g,4=96，贝！I4=4,4,=96x盘=3,故选：D.

【试题评价】本题主要考查等比数列的定义、性质、通项公式，属于基础题.

11.函数f(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2］］的最小值、最大值分别为()

4717t八37r7C--7T71_37r71.

A.——，一B.——，一C.——，一+2D.——，一+2

22222222

【思路分析】先求出导函数r(x)=(x+l)cosx,令cosx=0得，x='或与，根据导函数

广(X)的正负得到函数/(X)的单调性，进而求出函数/(X)的极值，再与端点值比较即可.

【解析】/(x)=cosx+(x+l)sinx+l；XG［0,2乃］,

贝UW=-sinx+sinx+(x4-1)cosx=(x+1)cosx,

令cosx=0得，x=E或网，

22

.•.当xe］0,9时，f\x)>0,f(x)单调递增；当xe弓多时，八x)<0,f(x)单调递

减；当xe彳，2加时，f\x)>0,f(x)单调递增，

.•J(x)在区间［0,2加上的极大值为/(g=1+2，极小值为/(当)=一当,

又"(0)=2,fQ储=2,

，函数/(x)在区间［0,2m的最小值为-9,最大值为生+2,

22

故选：D.

【试题评价】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题.

12.已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该

四棱锥的体积最大时，其高为()

B.-

2

【思路分析】由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为。，由勾股

定理可知该四棱锥的高力=/^，所以该四棱锥的体积旷=3〃1，再利用基本不等

式即可求出丫的最大值，以及此时。的值，进而求出/，的值.

【解析】由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为。，底面所在圆

的半径为『，

该四棱推的体积

"¥口=寿『。与』(上…送行=当，

22A

当且仅当9=1-5，即“2=3时，等号成立，

423

该四棱锥的体积最大时，其高〃==R=y,

故选：C

【试题评价】本题主要考查了四棱锥的结构特征，考查了基本不等式的应用，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2()分。

13.记S“为等差数列｛q｝的前〃项和.若2s3=3S?+6,则公差d=2.

【思路分析】根据已知条件，可得2(q+%+4)=3(6+生)+6,再结合等差中项的性质,

即可求解.

【解析】•.•2邑=35+6,

/.2(4+a2+a3)=3(“+4)+6,

•・・{〃“}为等差数歹」，

6a2=3q+3a2+6,

.0.3(%—4)=3d=6f解彳导d=2.

故答案为：2.

【试题评价】本题主要考查等差数列的前〃项和，考查转化能力，属于基础题.

14从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为-.

一10一

【思路分析】从甲、乙等5名学生中随机选出3人，先求出基本事件总数，再求出甲、乙被

选中包含的基本事件的个数，由此求出甲、乙被选中的概率.

【解析】由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数C；=10,

甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数C；=3,

根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率尸=冬=3・

c；io

故答案为：2.

【试题评价】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，熟记概率的计算公式即可，属于基

础题.

15.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为_x2+y2-4x-6y^0

(或x?+y2_4x-2y=0或d+y2-|x-弓y=0或x2+y2--x-2y---=0)_.

【思路分析】选其中的三点，利用待定系数法即可求出圆的方程.

【解析】设过点(0,0),(4,0),(-1,1)的圆的方程为丁+/+瓜+砂+尸=。，

F=0

即(16+4Q+尸=0，解彳导尸=0,O=T,E=-6,

2-D+E+F=0

所以过点(0,0),(4,0),(-1,1)圆的方程为/+y2-4乂-6尸0.

同理可得，过点(0,0),(4,0),(4,2)圆的方程为*2+〉2-4犬-2>=0.

过点(0.0),(-1,1),(4⑵圆的方程为』+尸_(—］尸0.

过点(4,0),(-1,1),(4,2)圆的方程为x?+y2T%—2y—与=0.

故答案为：<+/-4x-6y=0(或Y+丁-4x-2y=0或W+/一§x-lly=o或

33

【试题评价】本题考查了过不在同一直线上的三点求圆的方程应用问题，是基础题.

16.若/(x)=/”|a+—!—|+匕是奇函数,贝!|。=_--_,b=____.

1-x-2-

【思路分析】显然4*0,根据函数解析式有意义可得，XW1且XX1+L,所以1+工=一1,

aa

进而求出。的值，代入函数解析式，再利用奇函数的性质/(0)=0即可求出〃的值.

【解析】【解法一】f(x)=ln\a+—^—\+b,

1一x

若a=0,则函数的定义域为{x|xwl},不关于原点对称，不具有奇偶性，

二.awO,

由函数解析式有意义可得，xwl且。+—匚工0,

\-x

xwl且XW1+L,

・•・函数f（x）为奇函数，，定义域必须关于原点对称，

，1+'=一1,解得4,

a2

'''/（x）=In|1+A|+h，定义域为{X|XH1且XH-1},

2（1-x）

由"0）=0得，ln-+b=0,

2

:.b=lnl,故答案为：」；ln2.

2

【解法二】（补解）（特殊值法）

.•・函数•/")为奇函数，/(0)=0,f(-2)=-f(2)

所以ln|a+l|+b=0,Ina+-+b+ln|a-l|+b=0,

3

即Ina+g+b+ln|a-+b=21n|a+1

解得，a=--,b=/«2o故答案为：--；In2.

【试题评价】本题主要考查了奇函数的定义和性质，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共

60分。

17.（12分）记MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知

sinCsin(A-B)=sin5sin(C-A).

(1)若A=2B,求C；

(2)证明：2a2=从+>.

【思路分析】(1)由§皿。疝1(4-B)=sinBsin(C-A)，结合A=23，可得sinC=sin(C-A),

即C+C-A=/，再由三角形内角和定理列式求解C；

(2)把已知等式展开两角差的正弦，由正弦定理及余弦定理化角为边即可证明结论.

【解析】(1)由sinCsin(A-8)=sin8sin(C-A),

又A=28,/.sinCsinZ?=sinBsin(C-A),

•••sinB声0,.\sinC=sin(C-A),BPC=C-A(舍去)或C+C—A=〃，

A=2B

联立，2(：-4=乃，解得C=9万；

A+B+C=7T

证明：(2)【解法一】由sinCsin(A—8)=sinBsin(C—A),

彳导sinCsinAcosB—sinCeosAsinB=sinBsinCeosA—sinBcosCsinA,

由正弦定理可得ac8sB-bccosA=becosA-abcosC,

/+C2一82层+《2M八a2^b2-c2

由余弦定理可得：改=2hc--ab----------

2ac2bc2ab

整理可得：2a2=b2+c2.

【解法二】（补解）

'・•A+3+C=4,A=2B

:.C-A=7r-5B

sin(C-A)=sin5B

，原式可化为sin3BsinB=sinBsin5B,

vsinB^O,

sin3B=sin5B,

・・・3B+5B=%,

848

证明：(2)由sinCsin(A-3)=sinBsin(C-A),

彳导sinCsinAcosB—sinCeosAsin8=sinBsinCeosA—sin8coscsinA,

由正弦定理可得accosB-bccosA=bccosA-abcosC,

整理可得：为2=〃+°2.

【试题评价】本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查运算求解能力，

是中档题.

18.(12分)如图，四面体yWCD中，ADYCD,AD=CD,ZADB=ABDC,E为AC的

中点.

(1)证明：平面BE£>_L平面ACD；

(2)设AB=BD=2,ZACB=60。，点尸在加上,当AAFC的面积最小时，求三棱锥

F-ABC的体积.

A

【思路分析】(1)易证AAZ出三△CD3,所以ACL3E，又ACLQE,由线面垂直的判定

定理可得AC1■平面比D,再由面面垂直的判定定理即可证得平面BED_L平面ACD；

(2)由题意可知A4BC是边长为2的等边三角形，进而求出BE=&,AC=2,

AD=CD=>/2,DE=\,由勾股定理可得DELBE,进而证得DE1平面ABC,连接EF,

因为AF=CF,则EFYAC,所以当砂_L3D时，砂最短，此时AAFC的面积最小，求

出此时点F到平面ABC的距离，从而求得此时三棱锥F-ABC的体积.

【解答】证明：(1),.,AE)=C£>,ZADB=ABDC,BD=BD,

:./SADB=ACDB,

..AB=BC,又为AC的中点.

AC1.BE,

.AD=CD,E为AC的中点.

ACIDE,5L-.-BE[yDE=E,

.•.4。_1_平面瓯),

又「ACu平面ACE）,

..平面平面AC£>；

解：（2）由（1）可知A8=8C,

:.AB=BC=2,ZACB=60。，.•.A4BC是等边三角形，边长为2,

:.BE=&,AC=2,AD=CD=>[2,DE=l,

•：DE1+BE2=BD：DELBE,

又,.•£>£_LAC,ACp|BE=E,

.•.。匠，平面ABC,

由（1）知AWBMACDB,:.AF=CF,连接所,贝!!EF_LAC,

・♦^MFC=gxACxEF=EF,

当EF_L5D时，EF最短,此时MFC的面积最小，

过点尸作尸G_LBE于点G，则FG//£>E,/.FG_L平面ABC,

„„DExBE73

•;EF=-----=——，

BD2

BF=>jBE2-EF'=-,.-.FG=-Px8k-=-,

2BE4

..三棱推F-ABC的体积1/=1乂5"比*尸6=!*9*22、3=也.

33444

【试题评价】本题主要考查了面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式，同时考查了

学生的空间想象能力与计算能力，是中档题.

19.（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树

木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：川）和材

积量（单位：加），得到如下数据：

样本号，12345678910总和

根部横截面积X,0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材积量%0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得Zx：=0.038,24=16158,工%％=0.2474.

r=li=l/=1

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积

总和为186M.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区

这种树木的总材积量的估计值.

Eu,-W,-y)

附：相关系数，-=1”,VL896«1.377.

位(士—T比(y5

*=1

【思路分析】根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数，并估计该林区这种树木

的总材积量的值即可.

【解析】(1)设这棵树木平均一棵的根部横截面积为5，平均一棵的材积量为，，

竺=0.06m2,y=—=0.39w?3；

则根据题中数据得：X

1010

2)由题可知

10io

幻(％一刃z*%一时

0.01340.01340.0134

i=li=l*0.97

"ionF1010V0.0()2x0.09480.01xJ1.8960.01377

-可Z(y_寸(gx：-怖2)(Z.y：-"F)

(3)设从根部面积总和X，总材积量为y,则工=三，故y=义型X186=1209(加).

Yy0.06

【试题评价】本题考查线性回归方程，属于中档题.

20.(12分)已知函数/(x)=ar」-(q+l)/MX.

x

(1)当。=0时，求/(x)的最大值；

(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.

【思路分析】(1)将a=0代入，对函数"X)求导，判断其单调性，由此可得最大值；

(2)对函数f(x)求导，分a=0,a<0,0<a<l,a=l及“>1讨论即可得出结论.

【解析】(1)当a=0时，f(x)=---lnx(x>0),贝！］/⑶,

xx~xx

易知函数/(X)在(0,1)上单调递增，在(1,g0)上单调递减，

/(X)在X=1处取得极大值，同时也是最大值，

.•・函数/(X)的最大值为/(1)=-1；

(2)广⑴=口11〃+1二办2-(iz+l)x+l_(A：-l)(ar-l)

XX

①当4=0时，由(1)可知，函数/(X)无零点；

②当a<0时，易知函数/")在(0,1)上单调递增，在(l,”o)上单调递减，

又f(1)=a-1<0,故此时函数/(x)无零点；

③当0<。<1时，易知函数/(力在(0,l),(L+oo)上单调递增，在(1一)单调递减,

且/(—)=1-a+(a+\)lna<0,且当x—>+oo时zf(x)>0,此时f(x)在

a

(0,+oo)上存在唯一零点；

④当a=l时，/'(幻=匕匚一0,函数/(x)在(0,转)上单调递增，

X

又f(1)=0,故此时函数f(x)有唯一零点；

⑤当时，易知函数f(x)在(0,3,(1,3)上单调递增，在(L1)上单调递减，

aa

且/(I)=。-1>0,且当x->0时，/(x)<0,故函数f(x)在(0,+<»)上存在唯一零点；

综上，实数”的取值范围为(0,+oo).

【试题评价】本题考查里利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查函数的零点问题,

考查分类讨论思想及运算求解能力,属于难题.

21.(12分)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、了轴，且过A(0,-2),B(|,-1)

两点.

(1)求E的方程；

(2)设过点尸(1,-2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段相交于

点T,点H满足祈=而.证明：直线HN过定点.

【思路分析】(1)设上的方程为皿2+")?=1(%>0,〃>0且〃?*〃)，将A,3两点坐标代

a?_

入即可求解；(2)由A(0,-2),8q,-1)可得线段A8:y=§x-2,①若过P(l,-2)的直线的斜

率不存在，直线为x=1,代入椭圆方程，根据行=而即可求解；②若过P(l,-2)的直线的

kx-y-(k+2)=0

斜率存在，设"-n-伏+2)=0,,y\),N(X2,y2),联立,/2,得

—4--=1

34

2

(3公+4)x-6依2+k)x+3k(k+4)=0,结合韦达定理和已矢口条彳牛即可求解.

【解析】(1)设石的方程为，加+江=1(〃7>0,〃>0且加工几)，

4〃=1

将74(0,—2),8(二,-1)两点代入得,9

2-〃=1

14

11y2

解得加=；,n=—,故石的方程为丁+=1；

3434

Q7

(2)由A(0,-2),B(-,-l)可得线段AB.y=-x-2

(I)若过点P。,-2)的直线斜率不存在,直线x=l.代入:+?=1

,N=(1,一半),将尸半代入y=*2,可得T(#+3，¥),得到

可得Af(l,

”(2遥+5,求得"N方程：y=(2-=2,过点(0,-2).

②若过P(l,-2)的直线的斜率存在，设履-y-(Z+2)=0,M(x,,y,),N(x2,y2),

kx-y-(k+2)=0

联立,得(3公+4)x2-6化(2++3皈t+4)=0,

—I——1

,34

_6k(2+k)_,一8(2+k)

V，

1-3^+4曰-24k

故有