衡水中学滁州分校2017-2018学年高一下学期开学考试数学试题（解析版）

启用前绝密河北省衡水中学滁州分校2017-2018学年下学期开学考试高一数学注意事项：1．你现在拿到的这份试卷是满分150分，作答时间为120分钟2．答题前请在答题卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息3．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（共60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。)1.已知集合，若，则实数的取值范围为（）A.B. C.D.2.函数的定义域为（）A.B.C.D.3.如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若，则A.B.C.D.4.函数，若且，，互不相等，则的取值范围是（）A.B.C.D.5.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（）A.B.C.D.6.函数的图象为（）A.B.C.D.7.函数为奇函数，定义域为，若为偶函数，且，则()A.B.C.D.8.已知函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为A.(0,1)B.C.D.9.已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且只有个不同实数根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.10.已知定义域为的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（

）A.B.C.D.11.已知定义在上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（）A．B．C．D．12.已知定义在上的函数和的图象如图给出下列四个命题：①方程有且仅有个根；②方程有且仅有个根；③方程有且仅有个根；④方程有且仅有个根；其中正确命题的序号是()A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④第II卷（非选择题90分）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)13.若幂函数的图象经过点，则__________.14.设，则__________．15.已知函数的周期为4，当时，，则__________.16.下列几个命题正确的有__________（写出你认为正确的序号即可）.①函数的图像与直线有且只有一个交点；②函数的值域是[-2,2],则函数的值域为[-3,1]；③设函数定义域为，则函数与的图像关于直线对称；④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是1.三、解答题(本大题共6个小题，共70分。)17.(本题共2个小题，每小题5分，共10分。)计算：（1）；（2）18.(本题共12分)已知集合，.（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围.19.(本题共12分)设函数满足，为常数.（1）求的值；（2）判断的单调性，并给出证明.20.(本题共12分)已知幂函数满足．（1）求函数的解析式；（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．21.(本题共12分)我市某商业公司为全面激发每一位职工工作的积极性、创造性，确保2017年超额完成销售任务，向党的十九大献礼．年初该公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：每季度销售利润不超过15万元时，则按其销售利润的进行奖励；当季销售利润超过15万元时，若超过部分为万元，则超出部分按进行奖励，没超出部分仍按季销售利润的进行奖励．记奖金总额为(单位:万元)，季销售利润为(单位:万元).（Ⅰ）请写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；（Ⅱ）如果业务员李明在本年的第三季度获得5.5万元的奖金，那么，他在该季度的销售利润是多少万元?22.(本题共12分)已知二次函数满足，且.（1）求函数的解析式；（2）令，①若函数在区间上不是单调函数，求实数的取值范围；②求函数在区间的最小值.

参考答案1.C【解析】集合，若，则，所以有，所以，故选C.考点：集合间的关系.2.C【解析】2.函数有意义，则：，求解不等式组可得函数的定义域为：.本题选择C选项.3.C【解析】3.由图可知，，，，，或，或或，故选C.4.C【解析】函数的图象如图：

∵且，，互不相等，∴，∴由得，即，即，∴，由函数图象得的取值范围是，故选C.5.D【解析】5.，为奇函数，函数化简得出：，，，当时，，当时，，当时，，函数的值域为，故选D.6.D【解析】因为，所以函数是偶函数，图象关于y轴对称，又当时，，所以选D.7.D【解析】由题为偶函数，∵f（x）是奇函数，

即即则

则是奇函数，则，

则．

故选D．8.D【解析】由条件知，分段函数在R上单调递减，则所以有，所以有，故选D9.C【解析】由题意，在和上是减函数，在和上是增函数，时，函数取极大值时，取极小值，时，，画出函数的图象，如图，关于的方程有且只有个不同实数根，设，则方程必有两个根，结合函数图象，，则，故选C.10.A【解析】因为，所以不等式，化为，又偶函数在上是减函数，在上是增函数，或，或，故选A.11.B【解析】由题意知，函数的周期为，则函数，在区间上的图象如图所示，由图形可知函数，在区间上的交点为，，，易知点的横坐标为，若设的横坐标为，则点的横坐标为，所以方程在区间上的所有实数根之和为．故选：B.12.D【解析】根据图象可得，

①由于满足方程的有三个不同值，由于每个值对应了2个值，

故满足的值有6个，即方程有且仅有6个根，故①正确．

②由于满足方程的有2个不同的值，从图中可知，

一个的值在上，令一个的值在上．

当的值在上时，原方程有一个解；当的值在上时，原方程有3个解．故满足方程的值有4个，故②不正确．

③由于满足方程的有3个不同的值，从图中可知，一个等于0，

一个，一个．

而当时对应3个不同的x值；当时，只对应一个值；

当时，也只对应一个值．

故满足方程的值共有5个，故③正确．

④由于满足方程的值有2个，而结合图象可得，每个值对应2个不同的值，

故满足方程的值有4个，即方程有且仅有4个根，故④正确．

故选D．13.【解析】由题意有：，则：.14.1008【解析】∵函数，∴，∴，故答案为1008.15.2【解析】由题意结合函数的周期性可得.16.③④【解析】函数的图像与直线最多只有一个交点，故①错误；函数的图象向左平移1个单位得到的图象，故其值域不变，故②错误；函数与的图象关于直线对称，则函数与的图象关于直线对称，故③正确；∵曲线，∴直线与曲线的交点个数只能是0，2，3，4，故④正确；故答案为③④.17.(1)原式＝(2).18.（1）由已知：，，.（2）若时符合题意；若时有，即；综上可得：的取值范围为.19.（1）因为，所以，所以，所以，所以，解得当时，，定义域为，不满足.当时，满足题意.所以.（2）当时，，函数的定义域为.在上为增函数.证明如下：设，且因为且，所以可得从而，即，∴因此在上为增函数.20.（1）∵是幂函数，∴，解得或，当时，，不满足，当时，，满足，∴∴。（2）令，则，设，①当，即时，由题意得，解得；②当，即时，由题意得，解得（舍去）；③当，即时，由题意得，解得（舍去）综上存在使得的最小值为0。（3）由题意得，∴在定义域内为单调递减函数；若存在实数，使函数在上的值域为，则，由②-①，得，∴，将③代入②得，，令，∵，∴，又，故在区间上单调递减，∴。∴存在实数，使函数在上的值域为且实