第2讲 平行线的判定（核心考点讲与练）-（原卷版）

第2讲平行线的判定（核心考点讲与练）一、平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.二、直线平行的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.考点一：平行公理及推论【例题1】（2019春•余姚市期末）已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是（）A．如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c B．如果b∥a，c∥a，那么b∥c C．如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c D．如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c【变式训练1】（2018春•杭州期中）下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若a⊥b，c⊥b，则a与c的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是．【变式训练2】（2020春•椒江区期末）如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？考点二：平行线的判定【例题2】（2021秋•平阳县期中）如图，下列条件中①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB+∠2+∠3＝180°，能判断AD∥BC的是（）A．①③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④【变式训练1】（2021秋•余姚市期中）木条a、b、c如图用螺丝固定在木板α上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面α内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（）A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20° B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160° C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20° D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°【变式训练2】（2021春•拱墅区期末）如图，已知∠F+∠FGD＝90°（其中∠F＞∠FGD），添加一个以下条件：①∠F+∠FEA＝180°；②∠F+∠FGC＝180°；③∠FEB+2∠FGD＝90°；④∠FGC﹣∠F＝90°．能证明AB∥CD的是（）A．① B．② C．③ D．④【变式训练3】（2021春•萧山区期末）如图，下列条件中能判断AD∥BC的是（）①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB+∠2+∠3＝180°．A．①③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④【变式训练4】（2021春•怀安县期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°【变式训练5】（2021•下城区一模）如图，直角三角形ABC的顶点A在直线m上，分别度量：①∠1，∠2，∠C；②∠2，∠3，∠B；③∠3，∠4，∠C；④∠1，∠2，∠3．可判断直线m与直线n是否平行的是（）A．① B．② C．③ D．④【例题3】（2021春•椒江区期末）如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD为75°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转度．【变式训练1】（2021春•鄞州区期中）如图，下列条件中：①∠BAD+∠ABC＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠BCD，能判定AD∥BC的是．【变式训练2】（2020秋•婺城区校级期末）如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有．（填序号）【变式训练3】（2021春•奉化区校级期末）如图，点E在AD的延长线上，下列四个条件：①∠1＝∠2；②∠C+∠ABC＝180°；③∠C＝∠CDE；④∠3＝∠4，能判断AB∥CD的是（填序号）．【变式训练4】（2021•柳南区校级模拟）如图把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝40°，则当∠2＝度时，a∥b．【例题4】（2021春•槐荫区期末）点B，E分别在AC，DF上，BD，CE分别交AF于点G，H，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．求证：AC∥DF．【变式训练1】（2021春•乾安县期末）已知：如图，直线l分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PM垂直于l，∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．【变式训练2】（2020春•岱岳区期末）将一副三角尺拼图，并标点描线如图所示，然后过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F．（1）求证：CF∥AB；（2）求∠EFC的度数．【变式训练3】（2020春•麻城市校级月考）根据要求完成下面的填空：如图，直线AB，CD被EF所截，若已知∠1＝∠2，说明AB∥CD的理由．解：根据得∠2＝∠3又因为∠1＝∠2，所以∠＝∠，根据得：∥．【变式训练4】（2020秋•温州月考）已知：如图，∠ACD＝2∠B，CE平分∠ACD．求证：CE∥AB．【变式训练5】（2019春•秀洲区期中）如图，如果∠1+∠3＝180°，那么AB与CD平行吗，请说明理由．类型一、平行公理及推论【例题5】在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为：()A．1个B．2个C．3个D．4个【变式训练1】下列命题中正确的有（）①相等的角是对顶角；②若a∥b，b∥c，则a∥c；③同位角相等；④邻补角的平分线互相垂直． A．0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个类型二、两直线平行的判定【例题6】下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（） A． B． C． D．【变式训练1】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是()A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°【例题7】如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．【变式训练1】已知，如图，BE平分ABD，DE平分CDB，且1与2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由．【变式训练1】已知，如图，ABBD于B，CDBD于D，1+2=180°，求证：CD//EF．分层提分分层提分 题组A基础过关练 一．选择题（共10小题）1．（2021春•诸暨市期末）如图所示，下列条件能判断a∥b的有（）A．∠1+∠2＝180° B．∠2＝∠4 C．∠2+∠3＝180° D．∠1＝∠32．（2021•乐平市一模）如图，下面哪个条件能判断DE∥BC的是（）A．∠1＝∠2 B．∠4＝∠C C．∠1+∠3＝180° D．∠3+∠C＝180°3．（2021春•上思县期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD（）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°4．（2021春•柘城县期末）如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（）①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A＝∠DCE；④∠D+∠ABD＝180°．A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④5．（2021春•奉化区校级期末）下列图形中，能由∠1＝∠2得到AB∥CD的是（）A． B． C． D．6．（2021春•埇桥区期末）如图，点E在BC的延长线上，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是（）A．∠D+∠DAB＝180° B．∠B＝∠DCE C．∠1＝∠2 D．∠3＝∠47．（2021春•奉化区校级期末）如图，在平移三角尺画平行线的过程中，理由是（）A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行8．（2021春•上城区校级期中）下列四个说法中，正确的是（）A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．不相交的两条直线是平行线 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行9．（2021春•拱墅区月考）如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：（1）∠1＝∠5；（2）∠2+∠7＝180°；（3）∠4＝∠7；（4）∠3＝∠6；其中能判定a∥b的条件的序号是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（3）（4）10．（2021春•拱墅区月考）下列说法中，正确的是（）（1）在同一平面内，不相交的两条直线是平行线；（2）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；（3）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（4）若直线a⊥b，b⊥c，则直线a与c平行．A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（3）（4）二．填空题（共7小题）11．经过直线外一点，一条直线与这条直线平行．12．下列说法中：（1）在同一平面内，经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）两个相等的角是对顶角；（3）一个锐角的补角一定比这个角的余角大90°；（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；（5）三条直线两两相交，一定有三个交点．正确的说法是．（填入你认为正确的说法的序号）13．（2021春•奉化区校级期末）如图，当∠1＝70°，∠2＝80°时，b至少转度时，b∥a．b至少转度时，b⊥a．14．（2021春•召陵区期末）如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件：（1）∠3＝∠4；（2）∠1＝∠2；（3）∠A＝∠DCE；（4）∠D+∠ABD＝180°．能判断AB∥CD的有个．15．（2021•柳南区校级模拟）如图，下列条件中：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；则一定能判定AB∥CD的条件有（填写所有正确的序号）．16．（2020春•涟源市期末）如图，两直线a，b被第三条直线c所截，若∠1＝50°，∠2＝130°，则直线a，b的位置关系是．17．（2018秋•柯城区校级期末）如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠2＝∠6；②∠1＝∠3；③∠1＝∠7；④∠4+∠5＝180°；其中能判定a∥b的条件序号是．三．解答题（共4小题）18．（2018春•婺城区期末）如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，请问BD与CE平行吗？并说明理由．19．（2017春•诸暨市期末）如图所示，已知∠D＝∠B，∠A＝∠C，试说明ED∥BF的理由．20．（2017春•庆元县校级期中）如图，直线AB，CD被EF所拦截，若已知∠1＝∠2．∵∠2＝∠3（），又∵∠1＝∠2（）∴∠＝∠根据（）∴∥．21．（2017•益阳模拟）如图，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°．求证：AB∥CD．题组B能力提升练一．选择题（共3小题）1．（2019春•江北区校级期中）如图，若∠3＝∠4，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3且∠2＝∠4 C．∠1+∠3＝90°且∠2+∠4＝90° D．∠1+∠2＝90°2．（2019春•市中区期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE3．（2021春•奉化区校级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）符合条件的其它所有可能度数为（）A．60°和135° B．45°、60°、105°、135° C．30°和45° D．以上都有可能二．填空题（共5小题）4．（2021春•奉化区校级期末）如图，有下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠5；④∠B+∠BAD＝180°．其中能得到AB∥CD的是（填写编号）．5．（2018春•台州期中）如图，添加一个条件（不再添加字母），使得AB∥CD，你添加的条件是．6．（2017春•杭州期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变△ACD的位置（其中A点位置始终不变），使三角形ACD的一边与三角形AOB的某一边平行时，写出∠BAD的所有可能值．7．（2014春•衢州期中）如图，点E在BC的延长线上，要使AB∥CD，需添加的条件是．（写出一个即可）8．（2009•萧山区校级模拟）如图所示，用两个相同的三角形按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是．三．解答题（共2小题）9．（2018春•江都区期末）如图，AD∥BC，∠EAD＝∠C，∠FEC＝∠BAE，∠EFC＝50°（1）求证：AE∥CD；（2）求∠B的度数．10．（2017春•泰顺县校级月考）根据要求完成下列填空：如图，直线AB，CD被EF所截，若已知∠1＝∠2，说明AB∥CD的理由．∵∠2＝∠3（），又∵∠1＝∠2（