向量空间的基

向量空间的基第一页，共十五页，2022年，8月28日

定义5.1.1

非空集合称为域上的向量空间

(vectorspace)或线性空间(linearspace),如果关于

加法（记作“+”）运算构成一个交换群，并且对每个

,在中可惟一地确定一个元素(称为

与的标量乘法)，使得对所有的，,以

下四个条件都满足：

(M1);

(M2);

第二页，共十五页，2022年，8月28日(M3);

(M4).

向量空间中的元素称为向量(vector).域中的元素称为标量或者纯量(scalar).

注在高等代数课程中,我们涉及到的向量空

间（或线性空间）的基域都是数域,是无限域,且是

特征为零的域,但我们这里的基域可以是一般的域,

它可以是有限域,且域的特征也可以是素数.

第三页，共十五页，2022年，8月28日

例1集合是域上的

向量空间,其加法运算和标量乘法运算分别为

例2设是素数,则是一个域.系数在

上的一元多项式环是上的向量空间.

例3复数域是实数域上的向量空间,运算

是通常的复数的加法和乘法运算.

第四页，共十五页，2022年，8月28日

例4域上的所有矩阵的集合关于

如下矩阵的加法和标量乘法运算构成

上的向量空

间

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例5

（这个例子是例3的推广.虽然它看上去

很平常,但却是域论中最重要的例子之一）设是域，

是的子域,那么是上的向量空间.向量空间

的运算就是域中的运算.因此,根据第三章定理

3.6.5,每个域都可看成是某个素域上的向量空间.

定义5.1.2

设是域上的向量空间，是的

非空子集.如果关于的运算也构成上的向量空

间,则称为的子空间．

第六页，共十五页，2022年，8月28日

例6

集合是上

的由所有系数在域上的多项式组成的向量空间

的子空间.

例7

设是域上的向量空间，是

中的向量(它们不必互不相同),那么子集

称为的由张成的子空间.形如

的元素称为

的线性组

第七页，共十五页，2022年，8月28日合．如果，那么我们称张成

．一般地,设是的任一非空子集.如果中任一

元素都是中有限多个元素的线性组合,则称张成第八页，共十五页，2022年，8月28日

定义5.1.3

向量组称为在上线性

相关(linearlydependent),如果存在不全为零的元

,使得.如果

向量组在上不是线性相关的,则称为在上线性无

关(linearly

independent).

例8设,则中的向量组

，，在上是线性无关的.因为假

设存在,使得

第九页，共十五页，2022年，8月28日那么,于是.

定义5.1.4

设是上的向量空间.是的

一个非空子集.如果中任一有限子集都在线性无

关,且张成,则称为的基.

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例9集合

是上的向量空间

.则我们可以证明

是的基.首先我们来证明是线性无关的.

假设有

,使得

第十一页，共十五页，2022年，8月28日那么有

所以,,从而线性无关.其次,中任何

元素都具有形式

因此,生成,即是的基.

第十二页，共十五页，2022年，8月28日

定理5.1.1

如果和都

是域上向量空间的基,那么．

证假设.不妨设.

由于

张成,所以可设,且这些

不全为零,对的顺序适当重排后可

设,则张成.

设,

则中至少有

一个不为零,设,

则张成．继续

第十三页，共十五页，2022年，8月28日这样下去,有张成.

但此时是

的线性组合,矛盾! □

定义5.1.5

如果一个向量空间具有一个含

个元素的基,则称的维数(dimension)是.零空

间称为是由空集张成的,并规定它的维数是0.

可以用集合论的方法证明每个向量空间都有基.

以有限多个元素为基的向量空间(包括零空间)称为

有限维向量空间(finitedimensionalvectorspace),否

第十四页，共十五页，2022年，8月28日则称为无限维向量空间

(infinitedime