黄冈中学2022年春自主招生人教版数学模拟模拟试题（附答案）

黄冈中学2022年春自主招生模拟试题数学试题（考试时间：120分钟总分120分）一、选择题（每题3分，共24分）1.一元二次方程x2+bx+c=0的一实根是另一实根的2倍，则以下结论错误的是（）≥0 ≤0 ≥0 =9c2.关于x的不等式组，只有4个整数解，则a的取值范围是（）≤a≤ ≤a≤ C.-5<a≤ D.-5≤a<3.双曲线y=(k<0)上有A，B两点，直线AB交y轴于点D，交x轴于点C，且OD=OC，若A（，1），则点B的坐标为（）A.（-1，） B.（-1，） C.（-1，） D.（-1，）4.已知函数f(x)=x2+λx,p,q,r为△ABC的三边，且P<q<r，若所有的正整数p,q,r都满足f(p)<f(q)<f(r),则λ的取值范围是（）A.λ>-2 B.λ>-3 C.λ>-4 D.λ>-55.如图，△ABC的面积为60，点D在BC上，BD=2CD，连接AD点E为AD中点，连接BE并工交AC于点，则△AEF的面积为（）A.2 B.4 C.5 D.8第5题图6.记Sn=a1+a2+…+an,令Tn=，称Tn为a1，a2…，an这列数的“理想数”．已知a1，a2，…，a500的“理想数”为2022，那么8，a1，a2，…，a500的“理想数”为（）第5题图A.2022 C.2022 D.20227.如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直线AD交BC于点E，F是OE的中点，如果BD∥CF，BC=，则线段CD的长为（）第7题图A.2 B. C. D.第7题图8.已知x,y,z，a,b均为非零的实数，且满足，，，，则a的值为（）A.2 D.-1二、填空题（每题3分，共24分）9.已知a+b+c=0,a2+b2+c2=6,那么a4+b4+c4的值为_________10.用三种边长相等的正多边形地转铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为．第12题图11.将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为．第12题图12.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，顶点B在的比例函数y=上，点A在反比例函数上，C，D在x轴上，则平行四边形ABCD的面积是_______.13.设[x]表示不超过的最大整数（例如：[2]=2，[]=1），则方程3x-2[x]+4=0的解为________.14.使不等式|2x|+k<x有解的实数k的取值范围是______.15.如图，⊙O中，直径AB=10，C，D是上半圆eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))上的两个动点，弦AC与BD交于点E，则AE·AC+BE·BD=__________第15题图16.如图所示，点A、C都在函数y=的图象上，点B，D都在x轴上，且使得△OAB，△BCD都是等腰直角三角形，则D点的坐标为________第15题图三、解答题第16题图17.（8分）已知实数x,y满足(2x+1)2+y2+(y-2x)2=,求x+y.第16题图18.(8分)设m是不小于-1的实数，关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等的实数根x1,x2（1）若，求m的值.（2）求的最大值.19.（8分）如图，已知△ABC，D是BC的延长线上的点，F是AB延长线上的点，∠ACD的平分线交BA的延长线于点E，∠FBC的平分线交AC的延长线于点E，∠FBC的平分线交AC的延长线于点G，若CE=BC=BG，求∠ABC.20.（8分）如图，已知A，B两点的坐标分别为A（0，），B（2，0），直线AB与反比例函数y=的图象交于点C和点D（-1，a）．

（1）求直线AB和反比例函数的解析式．

（2）求∠ACO的度数．21.（9分）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC的中点O为圆心，AC长为半径作⊙O，交BC于点E，过O作OD∥BC交O于点D，连结AE、AD、DC．（1）求证：D是eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AE))的中点；（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；（3）若=，且AC=4，求CF的长.22.（9分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数，以x为自变量，以y为函数值变量的函数可以记作y(x).（1）当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式;（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）f(x)=x·v(x)可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）23.（10分）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点的坐标分别为A(3,0),B(0,4),以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD，记旋转角为α，∠ABO为β。

（I）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；

（Ⅱ）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系；

（Ⅲ）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出即如果即可）。（12分）如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，且经过点（2，-3a），对称轴是直线x=1，顶点是M.（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设直线y=-x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；

（4）当E是直线y=-x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论）．

黄冈中学2022年春自主招生模拟试题数学答题卡一、选择题(每小题3分，共24分)题号12345678答案二、填空题(每小题3分，共24分)9. 10. 11. 12.13.14. 15.16. 三、解答题（共72分）17.（8分）18.（8分）（8分）（8分）

21.（9分）22.(9分)

23（10分）.24.（12分）

黄冈中学2022年春自主招生模拟试题数学试题参考答案（考试时间：120分钟总分120分）一、选择题（每题3分，共24分）1、B2、C3、A4、D5、B6、C 7、C8、A二、填空题（每题3分，共24分）9、18 10、 11、 12、513、-4或或14、 15、100 16、（4,0）解答题解：由（2x+1）2+y2+（y-2x）2=13，得（3x+1）2+3（x-y）2=0，则3x+1＝0，x−y＝0，解得x＝-1/3，y＝-1/3，故x+y=-2/3．解：方程有两个不相等的实数根，解：设∠ABC的度数是x度，∵CE=BC，∴∠DCE=2x度，

∵∠ACD的平分线交BA延长线于点E，∴∠DCA=4x度，

∴∠BCG=4x度，∵BC=BG，∴∠G=4x度，∴∠BAC=3x度，

∴∠FBG=7x度，∵∠FBC的平分线交AC延长线于点G，

∴∠DBG=7x度，∴7x+7x+x=180，解得x=12．20、解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（0，），B（2,0）代入解析式得，解得，∴直线AB的解析式为将D（-1，a）代入得：a=，∴点D坐标为（-1，）将D（-1，）代入y=中得，m=-，所以反比例函数的解析式为y=。（2）解方程组得：，，∴C点坐标为（3，），过点C作CM⊥x轴于点M，则在Rt△OMC中，CM=，OM=3，∴∴∠COM=30°，在Rt△AOB中，，∴∠ABO=60°，∴∠ACO=∠ABO-∠COB=30°21、（1）证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=90°，

∴AE⊥BC，∵OD∥BC，∴AE⊥OD，

∴D是弧AE的中点；（2）证明：方法一：如图，延长OD交AB于G，则OG∥BC，∴∠AGD=∠B∵∠ADO=∠BAD+∠AGD，又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠DAO=∠B+∠BAD；

方法二：

如图，延长AD交BC于H，

则∠ADO=∠AHC，∵∠AHC=∠B+∠BAD，

∴∠ADO=∠B+∠BAD，又∵OA=OD，

∴∠DAO=∠B+∠BAD；（3）∵AO=OC，∴S△OCD=S△ACD，∵∴，

∵∠ACD=∠FCE，∠ADC=∠FEC=90°，

∴△ACD∽△FCE，

∴，即：，∴CF=2．22、（Ⅰ）；（2）当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；

当时，

当且仅当，即时，等号成立。

所以，当在区间[20，200]上取得最大值.

综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.23、解：（1）过点D作DM⊥OA，有旋转的性质可知，AD=AO=3，在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB=，在Rt△ABO中由三角函数得：，在Rt△AMD中，由三角函数得：，，∴OM=OA-AM=，∴点D的坐标为（，）（2）由题意得，∠BAC=，∵AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，∴=180°-ABC-∠ACB=180°-2∠ABC，∵BC//x轴，所以∠OBC=90°，∴=90°-∠ABC，∴24、解：（1）由题