专题5 函数的基本性质-奇偶性、单调性、周期性-备战2022年高考数学45天核心考点专题训练（解析版）

备战2022年高考数学核心考点专题训练专题5函数的基本性质-奇偶性、单调性、周期性一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）已知函数f(x)=lnx2−2ln(x2A.函数f(x)为奇函数

B.函数f(x)的值域为(−∞,−1]

C.当x>0时，函数f(x)的图象关于直线x=1对称

D.函数f(x)的增区间为(−∞,−1)，减区间为(0,1)【答案】D【解析】

由f(−x)=ln(−x)2−2ln[(−x)2+1]=lnx2−2ln(x2+1)=f(x)，

可知函数f(x)为偶函数；不妨设x>0，此时fx=2lnx−2lnx2+1=2lnxx2+1，

由xx2+1=1x+1x≤12x⋅1x=12(当且仅当x=1时取“=”)，

由0<xx已知函数f(x)=x4−x2，则错误的是(A.f(x)的图象关于y轴对称 B.方程f(x)=0的解的个数为2

C.f(x)在(1,+∞)上单调递增 D.f(x)的最小值为−14【答案】B【解析】解：因为函数f(x)=x4−x2，满足f(−x)=x4−x2=f(x)，所以函数是偶函数，所以A正确；

令f(x)=0即x2(x+1)(x−1)=0，解得：x=0，1，−1，函数f(x)有3个零点：0；−1；1，所以方程f(x)=0的解的个数为3，所以B不正确；

令t=x2，g(t)=t2−t=(t−12)2−14，x>1时，

函数t=x2，g(t)=已知函数f(x)=cosxsin2x，给出下列命题：①∀x∈R，都有f(−x)=−f(x)成立；②存在常数T≠0,∀x∈R恒有f(x+T)=f(x)成立；③fx的最大值为239④y=fx在[−π6以上命题中正确的为(

)A.①②③④ B.②③ C.①②③ D.①②④【答案】D【解析】解：对于①，∀x∈R，f(−x)=cos(−x)sin(−2x)=−cosxsin2x=−f(x)，f(x)为奇函数，①正确；

对于②，∀x∈R，由f(x+2π)=cos(x+2π)sin2(x+2π)=cosxsin2x=f(x)，f(x)为周期函数，②正确；

对于③，f(x)=2sinxcos2x=2sinx(1−sin2x)=2sinx−2sin3x，

令t=sinx，t∈[−1,1]，则y(t)=2t−2t3，

令y'=2−6t2=0，得t=±33，且y(−1)=0，y(33)=439为最大值，③错误；

对于函数，则下列结论正确的是(

)A.函数f(x)在[1,+∞)上为增函数 B.函数f(x)的最小正周期为4

C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)无最小值【答案】A【解析】画出函数fx=x3+1,x>12sinπ2x,x⩽1，的图象，如图．

观察图象可得：

函数f(x)在[1,+∞)上为增函数，故A正确；

函数f(x)的不是周期函数，故B错；

函数f(x)的图象不关于原点对称，不是奇函数，故C错；

函数f(x)已知函数fx=ln1+x1−x+x+1，且f(a)+f(a+1)>2，则a的取值范围是(A.(−12,+∞) B.(−1,−12) C.【答案】C【解析】解：令

，

因为是−1,1上的增函数，

所以函数Fx是−1,1上的增函数．

又因为，

所以函数Fx是−1,1上的奇函数．

由fa+fa+1>2得fa−1+fa+1−1>0，

即Fa+Fa+1>0，

所以Fa+1>F−a已知函数f(x+1)是偶函数，当1<x1<x2时，[f(x2)−f(x1)](x2−x1)>0恒成立，设a=f−A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c【答案】A【解析】解：∵当1<x1<x2时，[f(x1)−f(x2)](x1−x2)>0恒成立，

∴当1<x1<x2时，f

(x2)−f

(x1)>0，

即f

(x2)>f

(x1)，

∴函数f(x)在(1,+∞)上为单调增函数，

∵函数f(x+1)是偶函数，

∴函数f(x)关于已知定义在R上的函数f(x)，若函数y=f(x+2)为偶函数，且f(x)对任意x1，，都有f(x2)−f(x1)x2−x1<0A.−12,34 B.−2,−1 C. 【答案】A【解析】解：因为函数y=fx+2为偶函数，

所以函数fx的图象关于x=2对称，

因为fx对任意x1，x2∈2,+∞x1≠x2，都有fx2−fx1x2−x1<0，

所以函数fx设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)(    )A.是偶函数，且在(12,+∞)单调递增

B.是奇函数，且在(−12,12)单调递减

C.是偶函数，且在【答案】D【解析】【试题解析】解：由2x+1≠02x−1≠0，得x≠±12．

又f(−x)=ln|−2x+1|−ln|−2x−1|

=−(ln|2x+1|−ln|2x−1|)=−f(x)，

∴f(x)为奇函数；

由f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|

=ln|2x+1||2x−1|=ln|2x+12x−1|，

∵2x+12x−1=2x−1+22x−1=1+22x−1

=1+22(x−12)=1+1x−12．

可得内层函数设函数f(x)满足对∀x∈R，都有f(4−x)=f(x)，且在(2,+∞)上单调递增，f(4)=0，g(x)=x4，则函数y=f(x+2)g(x)的大致图象可能是(

)A. B.

C. D.【答案】B【解析】解：令h(x)=f(x+2)，F(x)=h(x)g(x)=x4h(x)，

因为f(4−x)=f(x)，

故y=f(x)的图象关于直线x=2对称，

故h(x)=f(x+2)的图象关于y轴对称，即h(−x)=h(x)，

故F(−x)=x4h(−x)=F(x)，故F(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除AD．

因为y=f(x)在(2,+∞)上单调递增，故h(x)在(0,+∞)为增函数，

因为f(4)=0，故h(2)=0，

故0<x<2时，h(x)<0，故F(x)<0，故排除C，

设f(x)是定义在R上的函数，g(x)=f(x+1).若函数g(x)满足下列条件：①g(x)是偶函数；②g(x)在区间[0,+∞)上是增函数；③g(x)有一个零点为2，则不等式(x+1)f(x)>0的解集是

(

)A.(3,+∞) B.(1,+∞)

C.(−∞,−1)∪(1,+∞) D.(−∞,−1)∪(3,+∞)【答案】A【解析】解：由g(x)=f(x+1)，可得g(x−1)=f(x)，即f(x)为g(x)向右平移一个单位得到．

故由g(x)是偶函数，可得f(x)关于直线x=1对称；

又由g(x)在区间[0,+∞)上是增函数，可得f(x)在区间[1,+∞)上是增函数；

由g(x)有一个零点为2，可得f(x)有一个零点为3．

结合图象可得f(x)>0的解集为−∞,−1∪3,+∞，f(x)<0的解集为−1,3，

又因为y=x+1过点(−1,0)且单调递增，所以由(x+1)f(x)>0的解集为：3,+∞．

故选A．

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x−1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)=(12)1−x，给出下列结论：①对任意x∈R②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)=(12)x−3【答案】①②④【解析】解：由题意，函数fx对任意的x∈R恒有fx+1=f可得fx+2=f[f(x+1)+1]=f[(x+1)−1]=fx，所以①由x∈0,1时，f(x)=12因为函数fx是定义在R上的偶函数，可得x∈−1,0时，函数f(x)为单调递减函数，又由函数的周期为2，可得函数f(x)在1,2上递减，在2,3上递增，所以②正确；由②可得，当x=2时，函数取得最小值，最小值为f2=f0当x=3时，函数取得最大值，最大值为f3=f1根据函数的周期性，可得函数的最大值为1，最小值为12，所以③不正确；当x∈3,4时，则4−x∈(0,1)，可得f4−x=f(2−x)=f(−x)=fx=(故答案为：①②④．已知函数f(x)=|x2−2ax+b|(x∈R)，给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)=f(2)时，f(x)的图象关于直线x=1对称；③若a2−b≤0，则f(x)在[a,+∞)上是增函数；④若a>0，在[−a,a]上f(x)有最大值|a2−b|其中正确的命题序号是________．【答案】③【解析】解：对于①，当且仅当a=0时，函数f(x)=|x2−2ax+b|为偶函数，①错误；

对于②，当a=0，b=−2时，满足f(0)=2=f(2)，

此时函数图象不关于直线x=1对称，②错误；

对于③，当a2−b≤0时，(−2a)2−4b=4(a2−b)≤0，

所以f(x)=x2−2ax+b，则f(x)在[a,+∞)上是增函数，③正确；

对于④，当a=1，b=4时，满足a>0，此时f(x)=|x2−2x+4|在已知函数fx=x3+x，关于x的不等式fmx2+2+f−x【答案】m<18【解析】解：f(−x)=(−x)3−x=−f(x)，

∴函数f(x)是奇函数，

f(x)=x3+x，则函数f(x)在R上单调递增，

∵f(mx2+2)+f(−x)<0，

∴f(mx2+2)<−f(−x)=f(x)，

∴mx2+2<x在区间[1,5]上有解，

即m<x−2x2在区间[1,5]上有解，

令gx=x−2x2，x∈1,5，则只需要m<gmaxx即可，

gx=x−2x2设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈恒有fx+1=fx−1，已知当x∈0,1时，f(x)=121−x，则下列命题：①对任意x∈，都有fx+2=fx；②函数f(x)在1,2上递减，在2,3上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是其中正确命题的序号有_________．【答案】①②④【解析】解：由f(x+1)=f(x−1)，

可得f(x+2)=f[(x+1)+1]=f[(x+1)−1]=f(x)，故①正确；

当x∈[0,1]时，f(x)=(12)1−x为增函数，

由f(x)为R上的偶函数，可得x∈[−1,0]时，f(x)为减函数，

结合函数的周期为2，可得函数f(x)在(1,2)上是减函数，

在(2,3)上是增函数，故②正确；

当x为奇数时，函数f(x)的最大值是1，

当x为偶数时，函数的最小值是12，故③错误；

当x∈(3,4)时，x−4∈(−1,0)，可得f(x−4)=(12)1+x−4三、解答题（本大题共4小题，共30分）如果函数y=fx的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得fx+a=f−x成立，则称此函数具有“Pa性质”．

(1)判断函数y=sinx是否具有“Pa性质”，若具有“Pa性质”，求出所有a的值；若不具有“Pa性质”，请说明理由．

(2)已知y=fx具有“P0性质”，且当x≤0时fx=x+m2，求y=fx在0,1上的最小值．

(3)设函数y=gx具有“P±1性质”，且当−【答案】解：(1)由sin(x+a)=sin(−x)得sin(x+a)=−sinx，

根据诱导公式得a=2kπ+π，k∈Z，

所以y=sinx具有“P(a)性质”，其中a=2kπ+π，k∈Z；

(2)y=f(x)具有P(0)性质，则有f(x)=f(−x)，

设x> 0，则−x<0，f(x)=f(−x)=(x−m)2，

所以f(x)=(x+m)2,x≤0(x−m)2,x>0,

当m≤0时，函数在[0,1]单调递增，所以最小值为f(0)=m2，

当m≥1时，函数在[0,1]单调递减，所以最小值为f(1)=(1−m)2，

当0<m<1时，函数在[0,m]单调递减，在[m,1]单调递增，

所以最小值为f(m)=0；

(3)因为y=gx具有“P(±1)性质”，

所以g(1+x)=g(−x)，g(−1+x)=g(−x)，

所以y=gx的函数图象关于直线x=±12对称，

且g(x+2)=g(1+1+x)=g(−1−x)=g(x)，

从而得到y=g(x)是以2为周期的函数，

又设12≤x≤32，则−12≤1−x≤12，

g(x)=g(x−2)=g(−1+x−1)=g(−x+1)=|−x+1|=|x−1|=g(x−1)，

根据函数y=g(x)在一个周期上的解析式得到，

y=g(x)是以函数f(x)=loga(Ⅰ)当a=3时，求函数f(x)的定义域；(Ⅱ)若g(x)=f(x)−loga(2+ax)，判断g(x)(Ⅲ)是否存在实数a，使函数f(x)在[2,3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(Ⅰ)由题意得f(x)=log3(2−3x)，

∴2−3x>0，即x<23，

∴函数f(x)的定义域为(−∞,23)；

(Ⅱ)易知g(x)=loga(2−ax)−loga(2+ax)，

∵2−ax>0且2+ax>0，

∴−2a<x<2a，定义域关于原点对称．

又∵g(x)=loga(2−ax)−loga(2+ax)=loga2−ax2+ax，

∴g(−x)=loga2+ax2−ax=−loga2−ax2+ax=−g(x)，

∴g(x)为奇函数．

(3)令μ=2−ax，∵a>0，a≠1，

∴μ=2−ax在[2,3]上单调递减，

又∵函数已知函数f(x)对任意实数x、y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时，f(x)<0，且f(1)=−2．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)在区间[−3,3]上的最大值；(3)若f(x)<m2−2am+2对所有的x∈−1,1,a∈【答案】解：(1)取x = y = 0，则f(0 + 0)= 2f(0)，

∴f(0)= 0，

取y = −x，则f(x−x)= f(x)+ f(−x)=f(0)=0，

∴f(−x)= − f(x)对任意x∈R恒成立，∴f(