苏北四市2022届高三第二学期开学模拟考试数学（解析板）

苏北四市2022届高三第二学期开学模拟考试数学I一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1．已知集合，，则__．答案：解析：由题意得，所以。2．复数为虚数单位）的共轭复数为__．答案：解析：由题意得，所以共轭复数为。开始输入xx≤0y←log2开始输入xx≤0y←log2x输出y结束y←2xNY（第5题图）答案：2000解析：由题意得乙生产线生产了件产品。4．已知函数是奇函数，则的值为__．答案：-2解析：由于为奇函数，所以当时，由题意得=5．阅读右面的流程图.若输入x的值为8，则输出y的值为__．答案：3解析：由题意得，若输入x的值为8，走的是右侧分支，所以输出y的值为3。6．若x,y满足条件的最大值等于．答案：25解析：提示，根据二次规划，在直角坐标系中画图得出x,y的取值区域，令，得出使得一次函数在y轴截距最大的点，代入求得。7．已知，，且，则=__．答案：解析：由题意得8．先后投掷一颗质地均匀的骰子两次，得到其向上的点数分别为，，设向量，则满足的概率为__．答案：解析：，所以的取值共有13种，分别为所以满足条件的概率为9．已知数列是等差数列，且，若，则的最大值__．答案：25解析：因为数列是等差数列，所以。10．已知，为正实数，函数在上的最大值为，则在上的最小值为__．答案：解析：11．设是实数．若函数是定义在上的奇函数，但不是偶函数，则函数的递增区间为__．答案：解析：由题意得f（-x）=-f（x），即：|-x+a|-|-x-1|=-|x+a|+|x-1|，∴a=1或-1．

a=-1，f（x）=0是偶函数不对，a=1时，分情况讨论可得，，所以函数f（x）的递增区间为12.设SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0为过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0的倾斜角,若当SKIPIF1<0最大时,直线SKIPIF1<0恰好与圆SKIPIF1<0相切,则SKIPIF1<0.答案：解析：当同向时，取最大值，所以，所以直线的方程为，直线SKIPIF1<0恰好与圆SKIPIF1<0相切，所以。13．已知函数，，若函数有6个不同的零点。则实数的范围是.答案：解析：画出函数的函数图象，可以知道必须有两个解才能使有6个不同的零点，且的两个解必须满足，所以有，解得。14．已知且满足，则的最小值为.答案：解析：将上述等式写成两个函数为，目标函数的物理含义就是两个函数的最短距离，找出函数的切线与直线平行那个点为（3，3+3ln3）,该点到直线的距离为则的最小值为二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）在斜三角形中，角A、B、C的对边分别为a、b、c（1）若，求的值；（2）若，求的值.解：（1）由正弦定理，得．从而可化为．………………3分由余弦定理，得．整理得，即.………7分（2）在斜三角形中，，所以可化为，即．…………10分故．整理，得，………………12分因为△ABC是斜三角形，所以sinAcosAcosC，所以．…………14分16．（本小题满分14分）A（第16题）BCDD1C1BA（第16题）BCDD1C1B1A1M（1）；（2）.证明：（1）取线段的中点，连结、，因为，，所以，．……………3分又，平面，所以平面．而平面，所以.…………7分（2）因为，平面，平面，所以平面．…………………9分又平面，平面平面，…………11分所以．同理得，A（第16题）BCA（第16题）BCDD1C1B1A1M17．（本小题满分14分）如图，现有一个以为圆心角、湖岸与为半径的扇形湖面.现欲在弧上取不同于的点，用渔网沿着弧(弧在扇形的弧上)、半径和线段(其中)，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若.（1）用表示的长度；（2）求所需渔网长度(即图中弧、半径和线段长度之和)的取值范围．解：(1)由CD∥OA，∠AOB＝eq\f(π,3)，∠AOC＝θ，得∠OCD＝θ，∠ODC＝eq\f(2π,3)，∠COD＝eq\f(π,3)－θ.在△OCD中，由正弦定理，得CD＝eq\f(2,\r(3))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))6分(2)设渔网的长度为f(θ)．由(1)可知，f(θ)＝θ＋1＋eq\f(2,\r(3))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))…8分所以f′(θ)＝1－eq\f(2,\r(3))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))，因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，所以eq\f(π,3)－θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，令f′(θ)＝0，得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＝eq\f(\r(3),2)，所以eq\f(π,3)－θ＝eq\f(π,6)，所以θ＝eq\f(π,6).θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))eq\f(π,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))f′(θ)＋0－f(θ)极大值所以f(θ)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(π＋6＋2\r(3),6))).故所需渔网长度的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(π＋6＋2\r(3),6)))…14分18．（本小题满分16分）已知椭圆的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆相交于，两点,设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.解:（1）依题意，由已知得，，由已知易得,解得.…………………3分则椭圆的方程为.…………………4分(2)=1\*GB3①当直线的斜率不存在时，由解得.设，，则为定值……………6分=2\*GB3②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：.将代入整理化简，得……7分依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，，则，.………9分又，， 所以…………………10分…………………15分综上得为常数2.………16分19．（本小题满分16分）已知函数，并设，（1）若图像在处的切线方程为，求、的值；（2）若函数是上单调递减，则①当时，试判断与的大小关系，并证明之；②对满足题设条件的任意、，不等式恒成立，求的取值范围．解：（1）因为，所以，…………2分又因为图像在处的切线方程为，所以，即，解得，．…………4分（2）①因为是上的单调递减函数，所以恒成立，即对任意的恒成立，…………6分所以，所以，即且，令，由，知是减函数，故在内取得最小值，又，所以时，，即．…………10分②由①知，，当时，或，因为，即，解得，或，所以，而，所以或， 不等式等价于，变为或恒成立，，…………………12分当时，，即，所以不等式恒成立等价于恒成立，等价于，……………14分而，因为，，所以，所以，所以，所以，所以．………16分20．(本小题满分16分)数列是公差为的等差数列，它的前项和记为，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为．若，且存在不小于的正整数，使．（1）若，，，，求．（2）若，，试比较与的大小，并说明理由；（3）若，是否存在整数，使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：（1），即，，．………3分（2）依题意，，且，显然．又，所以，………6分设，它是关于的二次函数，它的图象的开口向上，它的对称轴方程，故是上的增函数，所以当时，即，所以．………9分（3）依题意：，由得：，即，，………12分所以，因为，故，且，且为奇数则其中时，是整数，故，且．………16分第Ⅱ卷（附加题共40分）21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分。B．选修4—2矩阵与变换已知二阶矩阵A有特征值及对应的一个特征向量和特征值及对应的一个特征向量，试求矩阵A．解：设矩阵，这里，因为是矩阵A的属于的特征向量，则有①，………4分又因为是矩阵A的属于的特征向量，则有②，………6分根据①②，则有…………………8分从而因此，………………10分C．选修4—4参数方程与极坐标在极坐标系中，设直线与曲线相交于，两点，求线段中点的极坐标．解：（方法1）将直线化为普通方程得，，将曲线化为普通方程得，,……4分联立并消去得，，解得，，所以AB中点的横坐标为，纵坐标为，……8分化为极坐标为．……10分（方法2）联立直线与曲线的方程组……2分消去，得，解得，，……6分所以线段中点的极坐标为，即．……10分（注：将线段中点的极坐标写成的不扣分．）D．选修4—5不等式证明选讲已知正数，，满足，求证：．证明：…………4分（当且仅当时等号成立）．…………10分

22．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．（1）求，的值；（2）过点作垂直于轴，为垂足，直线与抛物线的另一交点为，点在直线B（第22题）yxOACPM上．若，，的斜率分别为，，，且，求点的坐标．B（第22题）yxOACPM解：（1）将点代入，得，……2分将点代入，得，因为，所以．……4分（2）依题意，的坐标为，直线的方程为，联立并解得，……6分所以，代入得，，……8分从而直线的方程为，联立并解得．……10分23．（本题满分10分）设，在集合的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较大元素相加，和记为，较小元素之和记为．（1）当时，求的值；（2）求证：对任意的，