高三复习：三角函数模型及解三角形应用举例(含解析答案)

§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确与未知，理清量与量之间的关系．(2)依据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．依据题意选择正弦定理或余弦定理求解．将三角形问题复原为实际问题，留意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．题型一测量距离、高度问题1(2023·江苏)AC处有两种A沿直线步行到CA沿索道乘缆车到BC.AAC50m/min.2minABB1min后，BC.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/minAC1260m，经测量cos 12 cos 3.A＝13， C＝5AB的长；②问：乙动身多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？C3题型二测量角度问题2A45°A处(3－1)海BA75°A2海里C103海里/小时的速度追截走私船，10海里/B30°方向逃跑．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．题型三利用三角函数模型求最值例3 如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边相互垂直的十字形，其中y>x>0.θ的函数；θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？变式如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.80.8米，且60OAOAθOBB点与地h.hθ间关系的函数解析式；OA开头转动，经过tOBht之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？课堂练习：

0 △ABC，CO，A(1，sinα)，B(cosα，1)，α∈到达最大值时，α＝ .

，2，则当△OAB的面积某人向正东方向走xkm后向右转150°，然后朝方向走3km，结果他离动身点恰好是3km，那么x的值为 ．如下图位于A处的信息中心得悉在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心马上把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C处的乙船现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于 ．4.8 三角函数模型及解三角形应用举例作业如图为一半径是3m的水轮，水轮的圆心O距离水面2m．水轮每分钟旋转4圈水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2(ω>0，A>0)，则ω＝ ，A＝ .甲乙两楼相距20米从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 ．ABBC与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30mCA60°，求AB.A处得悉后，45°10nmileC处，并测得渔船正105°10nmile/hB靠拢，我海军舰艇马上以103nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．π5.某运输装置如下图，其中钢构造ABDAB＝BD＝l，∠B＝3的AB上可滑动的点C使CDC不与AB，CD可伸缩(当CDABD随之绕D在同一平面内旋转)，DD→C→AA物从DCv，从CA3v.为了使运送t最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB＝θ的大小．θtθ的函数(vl的式子表示)；t最小时，CAB的什么位置？6某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇动身时，轮船位于O30°20A30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．假设期望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？假设小艇的最高航行速度只能到达30海里/(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确与未知，理清量与量之间的关系．(2)依据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．依据题意选择正弦定理或余弦定理求解．将三角形问题复原为实际问题，留意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．题型一测量距离、高度问题1(2023·江苏)AC处有两种A沿直线步行到CA沿索道乘缆车到BC.AAC50m/min.2minABB1min后，BC.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/minAC1260m，经测量cos 12 cos 3.A＝13， C＝5AB的长；②问：乙动身多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？3C33(1)答案30＋30解析12 3 2 1

6－

PB

2×60－cos45°sin30°＝30( 6＋ 2)，

sin30°＝sin15°，∴PB＝

＝6－ 242∴树的高度为PB·sin45°＝30( 6＋ 2)×22＝(30＋30 3)m.13 (2)解①在△ABC中，由于cosA＝12，cosC＝3，13 13 sinA＝5，sinC＝13 从而sinB＝si[A＋＝sinAC)＝5 3 12 4 63＝sinA＝5 3 12 4 6313×5＋13×5＝65.AB AC由正弦定理sinC＝sinB，得AC 1260 4AB＝ ×sinC＝ ＝1040(m)．sinB 63×565AB的长为1040m.②假设乙动身t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t) 12＝200(37t2－70t＋50)，

×13由于0 1040，即0≤t≤8，≤t≤130故当t故当t＝37min

时，甲、乙两游客距离最短．BC AC③由正弦定理sinA＝sinB，得BC＝AC×sinA＝1260 5＝500(m)．sinB 63×1365乙从B动身时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3

500－710

3，解得1250

v 625，≤v 50≤

43≤

≤14所以为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3min，乙步行的速度应掌握在1250，625(单位：m/min)范围内．题型二测量角度问题2A45°A处(3－1)海BA75°A2海里C103海里/小时的速度追截走私船，10海里/B30°方向逃跑．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．

43

14思维点拨设缉私船t小时后在DBC，再利用正弦定理求出时间．解设缉私船应沿CD方向行驶t小时才能最快截获(在D点)走私船则CD＝10 3t(海里)，BD＝10t(海里)，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝ 6(海里)．又∵ ＝ ，BC AC又∵ ＝ ，sin∠BAC sin∠ABCAC·sin∠BAC 2·sin120° 2∴sin∠ABC＝ BC ＝ 6 ＝2，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，BD CD在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝sin∠CBD，BD·sin∠CBD 10t·sin120° 1∴sin∠BCD＝

＝ 10

＝2.∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，6∴D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝ 6.6∴t＝10小时≈15(分钟)．∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．思维升华测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的根底上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离；(2)用正弦定理或余弦定理解三角形；(3)将解得的结果转化为实际问题的解．题型三利用三角函数模型求最值例3 如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边相互垂直的十字形，其中y>x>0.θ的函数；θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？思维点拨由题图可得：x＝cosθ，y＝sinθ.列出面积函数后，利用三角函数性质求解，留意θ的范围．解(1)设S为十字形的面积，π 4 1 则S＝2xy－x2＝2sinθcosθ－cos2θπ 4 1 (2)S＝2sinθcosθ－cos2θ＝sin2θ－2cos2θ－2＝ 5 1 12sin(2θ－φ)－2，其中tanφ＝2，2当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π时，S最大．2所以，当θ＝π＋φ

φ＝1

时，S最大，最大值为

5－14 2(tan 2) 2 .思维升华三角函数作为一类特别的函数，可利用其本身的值域来求函数的最值．变式如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地0.860OAOA为始θOBBh.hθ间关系的函数解析式；设从OAt秒后到达Oh与t并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解(1)以圆心O为原点，建立如下图的平面直角坐标系，则以OxOB为终边的角为－B(4.8cosπ4.8sinθ2 2)－π2))－π ∴h＝5.6＋4.8sinθ－π 30(2)点A在圆上转动的角速度是π弧度/秒，3030t秒转过的弧度数为πt，3030 2∴h＝5.6＋4.8sinπt－π，t∈[0，＋∞)．30 2到达最高点时，h＝10.4米．30 2 30 2 由sinπt－π＝1，得πt－π＝π，∴t＝30秒，30 2 30 2 ∴缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒．课堂练习：

0 π1．△ABC，CO，A(1，sinα)，B(cosα，1)，α∈到达最大值时，α＝ .π答案2

，2，则当△OAB的面积解析∵S＝1－1

1×sinα－1×1×cosα－1 －cosα)(1－sinα)2×＝＝－2 2sinαcosα＝＝－2 4sin2α.π

2 2(1∴当α＝2时，S取到最大值．3km，那么x的值为 ．3答案 3或2由余弦定理得( 3)2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理，得x2－3 3x＋6＝0，解得x＝ 3或2 3.4．如下图，位于A处的信息中心得悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心马上把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援则cosθ等于 ．答案 2114解析在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20 7.由正弦定理，得AB 21sin∠ACB＝BC·sin∠BAC＝7.7.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝7.cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝ 2114.4.8 三角函数模型及解三角形应用举例作业如图为一半径是3m的水轮，水轮的圆心O距离水面2m．水轮每分钟旋转4圈水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2(ω>0，A>0)，则ω＝ ，A＝ .2π答案15 34解析每分钟转4T＝60＝15.4ω 15T＝2π＝15，∴ω＝2π，A＝3.ω 15甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 ．40答案20 3米、3 3米解析如图依题意有甲楼的高度为AB＝20·tan60°＝20 3(米又CM

1 ＝20

高度为CD＝20 3－20 3＝40 3米)．

tan60° 3 (3 3 (ABBC与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30mCA60°，求AB.解由正弦定理，得 BC

＝ CD ，sin∠BDC sin∠CBD2sin135°所以BC＝30sin30°＝152sin135°

(m)．在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝15 2tan60°＝15 6(m)．所以塔高AB为15 6m.某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处得悉后，马上测出该渔船45°10nmileC105°10nmile/hB103nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．解如下图，设所需时间为t小时，则AB＝10 3t，CB＝10t.在△ABC中，依据余弦定理，则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，可得：(10 3t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°.2整理得：2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－1(舍去)．2所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝10 3，BC＝10.在△ABC中，由正弦定理得：BC ABsin∠CAB＝sin120°，

310×3sin∠CAB

BC·sin120°＝

2＝1＝ AB所以∠CAB＝30°.

10 3 2.所以舰艇航行的方位角为75°.π某运输装置如下图，其中钢构造ABDAB＝BD＝l，∠B＝3的AB上可滑动的点C使CDC不与AB，CD可伸缩(当CDABD随之绕D在同一平面内旋转)，DD→C→AA物从DCv，从CA3v.为了使运送t最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB＝θ的大小．θtθ的函数(vl的式子表示)；πt最小时，CAB的什么位置？π解lsin2π－θ∴BC＝ 3 ，CD＝ 3l，sinθ 2sinθlsin2π－θ∴AC＝AB－BC＝l－

3sinθ ，lsin2π－θAC CD lt

3 ＋ 3l

θ2π．＝3v＋v＝3v－

3vsinθ 2vsinθ(3<

<3)l 3cosθ 3l l (2)t＝6v(1－

sinθ

)＋2vsinθ＝6v＋6v·

sinθ .m(θ)

3－cosθ

θ∈π，2π

，则m′(θ)

1－3cosθ＝ sinθ ，

(3 3)

＝ sin2θ .令m′(θ)＝0，得cosθ＝1，设cosθ＝1，θ∈

π，2π，3 0 3

0 (3 3)θ∈

π，θ)时，m′(θ)<0θ∈(θ

，2π时，m′(θ)>