九年级数学函数与不等式讲义

越努力，越幸运!—— ——九年级数学函数与不等式讲义一次函数与方程、不等式结合.解关于x的方程kx+b=0可以转化为：已知函数y=kx+b的函数值为0,求相应的自变量的值。从图象上看，相当于已知直线y=kx+b,确定它与x轴的交点的横坐标。.在直角坐标系中，以方程kx-y+b=0的解为坐标的点组成的图象就是一次函数y=kx+b的图象。.解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围。.解关于x的不等式kx+b>mx+n可以转化为：（1）当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的上方。或（2）求当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方。（不等号为“<”时是同样的道理）考察方向：一次函数中的比较大小问题，主要考察一次函数的交点问题：求解两个一次函数的交点，只需通过将两个一次函数联立，之后通过解答一个二元一次方程组即可。例题1：已知一次函数y="X+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2,0）,则关于x的不等式以X-1）—b>0的解集为（）A、x<—1 B、x>-1 C、x>1 D、x<1随堂练习：1、若直线y=-2X-4与直线y=4x+b的交点在第三象限，则b的取值范围是（）A、-4<b<8b、-4<b<0C、b<-4或b>8 d、-4<b<82、结合正比例函数y=4x的图像回答:当x>1时,y的取值范围是（）A、y=1 B、1Wy<4 C、y=4D、y>4 越努力，越幸运！— ——例题2：如图，直线y=kx+b经过A(3,1)和B(6,0)两点，则不等式0<kx+b<jx的解集为 随堂练习：如图，已知函数丫=3乂+匕和丫=&*—3的图象交于点P(—2,—5),则根据图象可得不等式3x+b>ax—3的解集是 。课后练习：.直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是()。.x>1B.xN1C.x<1D.xW1.已知直线y=2x+k与x轴的交点为(-2,0),则关于x的不等式2x+k<0的解集是()。A.x>-2B.xN-2C.x<-2D.x<-2.已知关于x的不等式ax+1>0(aW0)的解集是x<1,则直线y=ax+1与x轴的交点是()。A.(0,1) B.(-1,0) C.(0,-1) D.(1,0)

越努力，越幸运!—— ——4.已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点(2,0),则不等式x-2三-x+2的解集是。5.直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是，则不等式-3x+9>12的解集是。6.已知关于x的不等式kx-2>0(kW0)的解集是x>-3,则直线y=-kx+2与x轴的交点是7.已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2,则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是二、反比例函数与不等式2例题1：已知一次函数y=x-1和反比例函数ye的图象在平面直角坐标系中交于A、B两点，1 2x当工>匕时，x的取值范围是().A、x>2 B、一1<x<0C、x>2,-1<x<0 D、x<2,x>0随堂练习：k一1、如图，反比例函数y=f和正比例函数y=kx的图象交于A(-1,-3)、B(1,3)两点，1x 2 2k若7>kx,则x的取值范围是A、-1<x<0B、-1<x<1C、A、-1<x<0B、-1<x<1C、x<-1或0<x<1D、-1<x<0或x>1若x1<x2<0<x3,则AJy332、点Alx/yJ,B(x2，y2),C(x3，y3)都在反比例函数y=］的图象上的大小关系是().A、y3<y1<y2 B、y1<y2<y3 C、y3<y2<y1 D、y2<y1<y33、如图，一次函数y1=ax+b(aW0)与反比例函数y=''］上W的图象交于A(1,4)、B(4,1)两点，若y1>y，则x的取值范围是越努力，越幸运!—— ——越努力，越幸运!—— ——二次函数与不等式例题1：设A(—2,y),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=—(x+1)2+m上的三点，则y1,y2,y3的大小关系为()a、y>a、y>y>yb、y>y>yc、y>y>yd、TOC\o"1-5"\h\z1 15 _随堂练习：已知二次函数y=-—x2—7x+，右自变量X分别取x,x,x,且0<x<2 2 1 2 3 1x2<x3,则对应的函数值y/y2,y3的大小关系正确的是( )A、y>y>A、y>y>yB、y<y<yC、y>y>yd、y<y<5、二次函数和不等式、方程的结合(1)最大值或最小值的求法第一步确定a的符号：a>0有最小值，a<0有最大值；第二步求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.y轴与抛物线y=ax2+bx+c的交点为(0,c).(3)与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点(h,ah2+bh+c).(4)抛物线与x轴的交点.二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x『凡是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点一，△*一，抛物线与x轴相交.②有一个交点(顶点在x轴上)一,△=0.「抛物线与x轴相切；③没有交点一、△«一，抛物线与x轴相离.

越努力，越幸运！— ——(5)平行于x轴的直线与抛物线的交点.同(4)一样可能有0个交点，1个交点，2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k,则横坐标是@乂2+匕乂+。=卜的两个实数根.(6)一次函数丫=卜*+9(kW0)的图像L与二次函数y=ax2+bx+c(aW0)的图像G的交y=kx-¥n点，由方程组《 工 的解的数目确定：①当方程组有两组不同的解时OL与G[v=ax"+bx+c有两个交点；②方程组只有一组解时一，L与G只有一个交点；③方程组无解时一」与G没有交点.(7)利用函数图像求不等式的解集，先观察图像，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点坐标写出不等式的解集.注意：观察图像时不要看漏了其中的部分.(1)二次函数的零点的个数以及求解：通过判断\一汇4；印的正负可以得到二次函数零点的个数，注意，前提是需要注意一个函数是否为二次函数，需要判断二次项次数是否为零,点的个数，注意，前提是需要注意一个函数是否为二次函数，需要判断二次项次数是否为零,(2)二次函数和不等式的结合：在x轴上方，则函数大于零；在x轴下方，则函数小于零;在直线上方，说明ax2+bx+c>kx+m；在直线下方，则说明ax2+bx+c<kx+m。例题1：如图，已知抛物线工=—2*2+2,直线y2=2x+2,当x任取一值时，x对应的函数值分别为yr丫2.若y#2,取y「y2中的较小值记为此若丫'，记乂=y^。例如：当x」时，y时，yi=0,y2=4,丫]<丫2，此时M=0。①当x>0时，yi>y2；③使得M大于2的x值不存在；其中正确的是( )A、①② B、①④下列判断:②当x<0时，x值越大,.y值越小④使得M=1的x值电离.C、②③ D、③④ 越努力，越幸运！— ——例题2：二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A、-3 B、3 C、-5 D、9例题3：设二次函数y=x2+bx+c，当x<1时，总有y>0；当1<x<3时，总有y<0。那么c的取值范围是A、c=3 B、c>3 C、1<c<3 D、c<3随堂练习：1、如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解隹旦集是A、-1<A、-1<x<5B、x>5C、x<—1且x>5D、x<—1或x>52、如图所示是二次函数「 图象的一部分，其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为（3，0），则由图象可知，不等式::u•旧的解集是,3、对于二次函数y二1/+后元+「磔羊，，我们把使函数值等于0的实数X叫做这个函数TOC\o"1-5"\h\z 越努力，越幸运！— ——的零点，则二次函数谢+阳-2（m为实数）的零点的个数是（）A、1 B、2 C、0 D、不能确定练习：1、已知二次函数”七• 7；二与x轴有交点，则k的取值范围是 .2、关于x的一元二次方程；V却口没有实数根，则抛物线；上v门的顶点在第 象限；3、抛物线」「I•二日V与丁轴交点的个数为（ ）A、0 B、1 C、2D、以上都不对4、二次函数「：IA-.对于x的任何值都恒为负值的条件是（）A、一B、：・；・・；'•.:C、a<0,A>0D、a<0,A<05、y=x2+kx+1与y=x2-x-k的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k为（）1A、0B、-1 C、2D、746、若方程ax2+bx+c=0的两个根是一3和1,那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（ ）A、x=一3B、x=一2 C、x=一1D、x=17、已知二次函数9 /2pxq的图象与x轴只有一个公共点，坐标为1,0，求p,q的值 —। । 越努力，越幸运!8、画出二次函数y=元2—2元—3的图象，并利用图象求方程x2—2x—3=0的解，说明x在什么范围时x2-2x—3<0.9、如图:求该抛物线的解析式；根据图象回答：当x为何范围时，该函数值大于0.10、二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（-3,0）,B（1,0）,C（0,3），点D在函数图象上，点C、口是二次函数图象上的一对