人教版八年级数学上角平分线的性质

初中数学试卷金戈铁骑整理制作角平分线的性质例1.如图1,在厶ABC中，已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.图1变式1：如图1,在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若ZBEC=70°,则ZA=?图1变式2：如图3,在RtAABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。若BE=2,ZB=15求：AC的长。3.3.例2.如图，四边形ABCD中，AB〃DC,BE、CE分别平分ZABC、ZBCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。例3.已知：如图6所示在AABC中，ZB=60。，ZBAC、ZBCA的角平分线AD、CE相交于0。求证：AC=AE+CD求证：KH〃BC九巩固专练）B求证：KH〃BC九巩固专练）B、直角三角形△ABCA、点P在厶A"内C、点P在&BC夕卜如A、锐角三角形如果三角形两角的平分线的交点落在三角1.2.例4.如图所示，设BP、CQ是AABC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。AC=10O°，两腰AB、AC的垂直平分线交于点卩，则（）、点P在△ABC底边上、点P的位置与厶ABC的边长有关形两边的垂直平分线的交点恰好落在第三边上，则这个三角形是（）、钝角三角形D、等边三角形形内部，则这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、以上都正确已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且ZEAF=100°,ZEBF=70°，则ZAEB等于（）A、95°B、15°C、95°或15°D、170°或30°如图2,四边形ABCD中，AD〃BC，若ZDAB的平分线AE交CD于E,连接BE,且BE恰好平分ZABC，则AB的长与AD+BC的长的大小关系是（）A、AB>AD+BCB、AB=AD+BCC、ABVAD+BCD、无法确定如图，△ABC中，AD为ZBAC的平分线，DE丄AB,DF丄AC,E、F为垂足，在以下结论中:①△ADE^AADF；②△BDE^ACDF；③厶ABD^^ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；⑥BD=CD.其中TOC\o"1-5"\h\z正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.41如图，△ABC中，ZC=90°,BD平分ZABC交AC于D,DE是AB的垂直平分线，DE=于BD,且DE=1.5cm,则AC等于()A.3cmB.7.5cmC.6cmD.4.5cm&如图，△ABC中，ZCAB=120°,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,则ZEAF等于()A.40°B.50°C.60°D.80°将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC,BD为折痕，则ZCBD的度数为（）C.90°D.95°A.60°B.75°C.90°D.95°A.60°B.75°把16个边长为a的正方形拼在一起，如图，连接BC,CD,贝^BCD是（）A.A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.任意三角形B档（提升精练）已知线段AB和它外一点P,若PA=PB，则点P在AB的；若点P在AB的，则PA=PB.已知：AABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P.求证：点P在BC的垂直平分线上.如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF=12,BF=3，则BC=.如图，RtAABC中，ZC=90°,BD是角平分线，DE丄AB,垂足为E，BC=6，CD=3，AE=4,则DE=,AD=,△ABC的周长是用三角尺画角平分线：如图，ZAOB是一个任意角，在边OA,OB上分别取OM=ON,再分别过M、N作OA,OB的垂线，交点为P,画射线OP,则这条射线即为角平分线.请解释这种做法的道理.你还能举出哪些作角平分线的方法，并说明这种做法的道理.如图，三条公路围成的一个三角形区域，要在这个区域中建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在什么位置？请用尺规作图，找出建造加油站的位置.如图，AABC中，P是角平分线AD，BE的交点.求证：点P在ZC的平分线上.&如图，已知点D是ZABC的平分线上一点，点P在BD上,PA丄AB,PC丄BC,垂足分别为A，C.9.如图，在ZAOB的两边OA,OB上分别取OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于点C.求证：点C在ZAOB的平分线上.10.已知：如图，AD是AABC的角平分线，DE丄AB,DF丄AC,E、F分别为垂足.求证：AD垂直平分EF.如图，已知△ABC中，ZC=90°,ZBAC=2ZB,D是BC上一点，DE丄AB于E,DE=DC.求证：AD=求证：AD=BD.如图，四边形ABCD中，AB=AD,BC=CD,AC,BD相交于E,由这些条件你能推出哪些结论（不再添加辅助线，不再标注字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论）？如图，AABC中，AB=AC,点P、Q、R分别在Ab,BC,AC上，且PB=QC,QB=RC.求证：点Q在PR的垂直平分线上.

C档（跨越导练）如图1,在锐角△ABC中，AB=4巨,ZBAC=45°,ZBAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是。（请至少用三种不同的方法）已知△ABC中，ZB=2ZC,AD平分ZBAC交BC于D,求证:AC=AB+BD如图4,在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点。①AD平分ZBAC,②DE丄AB,DF丄AC,③AD丄EF,以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即:①②t③,①③T②，②③T①。（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题。如图5,以△ABC两边AB、AC为边，向外作等边AABD和等边△ACE,连接BE、CD交于0点，求证：0A平分ZDOE00I)如图6,在等腰RtAABC中，ZACB=90,D为BC的中点，DE丄AB，垂足为E,过点B作BF〃AC交DE的延长线于点F,连接CF.求证：AD丄CF；连接AF,试判断△ACF的形状，并说明理由。如图，AABC中，ZA=90°,AB=AC,BD平分ZABC,CE丄BD于E求证：CE=2BD如图3-①所示，OP是ZMON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。同时请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：图3-®图3-®如图3-②，在△ABC中，ZACB是直角，ZB=60°,AD、CE分别是ZBAC、ZBCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；如图3-③，在△ABC中，如果ZACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。&如图，点D是等边△ABC中BC边所在直线上的一个动点(点D不与B、C重合)，ZADE=60°，DE交厶ABC的外角ZACF的平分线所在直线于点E。求证：DA=DE当点D在直线BC上运动时，探究DA与DE的大小关系，画出图形，给出证明。角平分线的性质参考答案例1.解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，由此△BCE的周长等于AC+BC，进而可以求得BC的长为23.点评：此题是△ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时,(如图2),对应的是厶ACE的周长，它的周长也等于AC+BC•图形变化，但结论不变.变式1答案：ZA=35°.变式2答案：1例2.证明：在BC上截取BF=BA,连接EF.ZABE=ZFBE,BE=BE,则/ABE9AFBE(SAS),ZEFB=ZA;AB平行于CD，贝9:ZA+ZD=180°;又ZEFB+ZEFC=180°，则ZEFC=ZD;又ZFCE=ZDCE,CE=CE,故/FCE9ADCE(AAS),FC=CD.所以，BC=BF+FC=AB+CD.例3.分析：在AC上截取AF=AE。易知AAEO仝AAFO,AZ1=Z2。由ZB=60°,知Z5+Z6=60°,Z1=60°,Z2+Z3=120°。「.Zl=Z2=Z3=Z4=60°，得:AFOC仝ADOC,AFC=DC证明：在AC上截取AF=AEZBAD=ZCAD,AO=AOAAAEO=AAFO(SAS)aZ4=Z2又ZB=60°aZ5+Z6=60°aZ1=60°aZ2+Z3=120°aZ1=Z2=Z3=Z4=60°AAFOC=ADOC(AAS)AFC=DC即AC=AE+CD例4.分析：由已知，BH平分ZABC,又BH丄AH，延长AH交BC于N,则BA=BN,AH=HN。同理，延长AK交BC于M,则CA=CM,AK=KM。从而由三角形的中位线定理，知KH〃BC。证明：延长AH交BC于N,延长AK交BC于MVBH平分ZABCA/ABH=ZNBH又BH丄AHZAHB=ZNHB=90。BH=BH・•・AABH仝ANBH（ASA）・•・BA=BN,AH=HN同理，CA=CM,AK=KM・KH是AAMN的中位线・KH//MN即KH//BC说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。A档（巩固专练）C2.B3.D4.C5.B6.B7.D&C9.C10.BB档（提升精练）答案：垂直平分线上；垂直平分线上.答案：连结PA,PB,PC,PB=PA=PC，所以，点P在BC的垂直平分线上.答案：15.答案：3，5，24答案：提示：0M=0N，0P=0P,・・・RtAOMP^R也ONP（HL）,.・.ZMOP二ZNOP,・：射线OP是ZAOB的平分线.答案：提示：作两个角的平分线，交点即为建加油站的位置.答案：如图，过点P作PM丄AB,PN丄BC,PQ丄AC,垂足分别为M、N、Q.TP在ZBAC的平分线AD上，.PM二PQ.P在ZABC的平分线BE上,APM=PNOAPQ=PN,A点P在ZC的平分线.&答案：△ABP9ACBP,.・.AB=CB，又ZABP=ZCBP,BD=BD,AAABD^ACBD,AAD=CD,ZADB=ZCDB.答案：提示：作CE丄0A于E,CF丄0B于F,OM=ON,0E=0D,ZM0E=ZN0D,.^M0E^ANOD（SAS）,・：S=S，同时去掉S，得S=S，易证，MD=NE,・：CE=CF,△MOE△NOD四边形ODCE△MDC△NEC・•.点C在ZAOB的平分线上.答案：提示：由角平分线的性质定理，可得DE=DF，进而求得ZDEF=ZDFE，ZAEF=ZAFE,所以AE=AF，所以AD垂直平分EF.一11答案：提示：DE=DC，AD=AD，•RtAADE今RtAADC,・.ZEAD=ZDAC=ZBAC,又ZB=—^2^2ZBAC,AZEAD=ZB,AAD=BD.答案：AC平分对角；AC丄BD；AC平分BD；^ABC^^ACD等.答案：提示：AB=AC,AZB=ZC,又PB=QC,QB=RC,.°.ABPQ9ACQR,.°.QP=QR,.°.点Q在PR的垂直平分线上.C档（跨越导练）1.如图1,在锐角△ABC中，AB=4迈,ZBAC=45°,ZBAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是。答案：4（请至少用三种不同的方法）已知△ABC中，ZB=2ZC,AD平分ZBAC交BC于D,求证:AC=AB+BD证法1：截长在AC上截取AE=AB，连接DEVAB=AE,ZBAD=ZEAD,AD=AD.•./ABD9/AED(SAS)•BD=DE,ZB=ZAED•.•ZAED=ZC+ZEDCZB=2ZCAZC=ZEDC.•・CE=DE=BD.•・AC=AE+CE=AB+BD证法2：补短1在AB的延长线上截取BF=BD,连接DF则ZF=ZBDFVZABC=ZF+ZBDF=2ZFZABC=2ZCAZF=ZC又\,ZFAD=ZCAD,AD=AD.•./AFD9/ACD(AAS).•・AC=AF=AB+BF=AB+BD证法3：补短2延长AB到G,使AG=AC，连接DGVAG=AC,ZCAD=ZCAD,AD=AD.•./AGD9/ACD(SAS)AZG=ZCVZABC=ZG+ZBDGZABC=2ZC=2ZGAZC=ZBDG.•・BG=BD.•・AC=AG=AB+BG=AB+BD如图4,在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点。①AD平分ZBAC,②DE丄AB,DF丄AC,③AD丄EF,以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即:①②t③,①③T②，②③T①。试判断上述三个命题是否正确(直接作答)；请证明你认为正确的命题。答案：(1)正确的有①②T③，②③T①错误的有①③T②(2)②③T①证明超过现在学生水平，可用四点共圆证明，也可用下述方法。证明：①②T③：TAD是角平分线.\ZBAD=ZCAD又TDE丄AB,DF丄AC.\ZAED=ZAFD又公共边AD=AD・•・三角形AED与三角形AFD全等.•・AE=AF设AD、EF交点为0又公共边AO=AO，夹角ZAED=ZAFD・•・三角形AEO与三角形AFO全等.\ZAOE=ZAOF又ZAOE+ZAOF=180°.\ZAOE=ZAOF=90°.AD丄EF②③①：设AD、EF交点为0VDE丄AB,DF丄AC且AD丄EF(即AD丄EO,AD丄F0)••・E0、F0分别为直角三角形AED和AFD的高直角三角形中，存在直角三角形AOE与EOD相似直角三角形AOF与FOD相似・•・可得相似边成比例，即OD/OE=OE/OA,OD/OF=OF/OA整理得0E2=0F2=0D*0AOE=OF又TAD丄EF,ZA0E=ZA0F=90。，公共边AO=AO・•・三角形AEO与三角形AFO全等ZEA0=ZFA0，即ZBAD=ZCAD即:AD平分ZBAC如图5,以△ABC两边AB、AC为边，向外作等边AABD和等边△ACE，连接BE、CD交于0点，求证：0A平分ZD0E提示：证厶ADC△ABE,根据对应高相等可得结论。如图6,在等腰RtAABC中，ZACB=90,D为BC的中点，DE丄AB，垂足为E,过点B作BF〃AC交DE的延长线于点F,连接CF.(1)求证：AD丄CF；(2)连接AF,试判断△ACF的形状，并说明理由。证明：(1)因为DE丄AB所以ZFDB=45°又BF〃AC得到△DBF是等腰直角三角形所以BD=BF由AC=BC所以AACD和ACBF全等所以ZCAD=ZFCBZCAD+ZADC=ZFCB+ZADC=90°AD丄CF(2)由于DBF是等腰直角三角形，BE垂直于DF所以DE=EF所以直角三角形ADE和AFE全等AD=AF上面得到AD=CF所以AF=CF三角形ACF为等腰三角形如图，AABC中，ZA=90°,AB=AC,BD平分ZABC,CE丄BD于E求证：CE=2BD证明：延长BA、CE，两线相交于点FTBE±CE.\ZBEF=ZBEC=90°在厶BEF和厶BEC中ZFBE=ZCBE,BE=BE,ZBEF=ZBEC.•.△BEF9ABEC(ASA).•・EF=EC・•・CF=2CEVZABD+ZADB=90°,ZACF+ZCDE=90°又\,ZADB=ZCDE.\ZABD=ZACF在厶ABD和AACF中ZABD=ZACF,AB=AC,ZBAD=ZCAF=90°.•.△ABD9AACF(ASA).•・BD=CF.•・BD=2CE如图3-①所示，OP是ZMON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴如图3-②，在△ABC中，ZACB是直角，ZB=60°,AD、CE分别是ZBAC、ZBCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；如图3-③，在△ABC中，如果ZACB不是直角，而