新教材苏教版必修第二册13.2.3第3课时距离直线与平面所成的角作业

第13章立体几何初步13.2基本图形位置关系13.2.3直线与平面的位置关系第3课时距离、直线与平面所成的角基础过关练题组一距离问题1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,BC=2,BB1=3,则点B到上底面A1B1C1D1的距离为 () 2 2.(2020江苏宜兴官林中学高一阶段检测)已知平面α外两点A,B到平面α的距离分别是2和4,则AB的中点P到平面α的距离是 () 或1 3.(2021江苏徐州第三中学高一月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为C1D1,AB的中点,AB=4,则MN到平面BCC1B1的距离为.

4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中:(1)求证:A1A∥平面BB1D1D;(2)若AB=4,AD=3,求A1A到平面BB1D1D的距离. 深度解析题组二直线与平面所成的角5.下列说法正确的是 (易错)A.平面的斜线与平面所成的角θ的取值范围是θ<90°B.直线与平面所成的角α的取值范围是0°<α≤90°C.若两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线互相平行D.若两条直线互相平行,则这两条直线与同一个平面所成的角相等6.(2021江苏江阴第一中学高一期中)已知空间中不过同一点的两条直线m,n及平面α,则“m,n与平面α所成的角相同”是“m∥n”的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1B与平面ABCD所成的角是 ()° ° ° °8.(2021江苏海门中学高一期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1与平面AA1C1所成角的余弦值是 ()A.22 B.32 C.339.(2021山东临清第一中学高一期中)如图,四棱锥P-ABCD中,底面四边形ABCD为菱形,∠DAB=π3,△ADP为等边三角形(1)求证:AD⊥PB;(2)若AB=2,BP=6,求直线PB与平面ABCD所成的角.深度解析能力提升练题组一距离问题1.(多选)(2021福建福州高二期末,)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别是所在棱的中点,则下列结论正确的是 ()A.点C1,D1到平面PMN的距离相等B.PN与QM为异面直线C.∠PNM=90°D.平面PMN截该正方体的截面为正六边形2.(2020湖南株洲二中高三一模,)如图,直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,CD=2,AB=BC=1,E是CD的中点,将△ADE沿AE所在直线翻折成四棱锥D'-AECB,则点C到平面ABD'距离的最大值为 ()A.12 B.22 C.3.(2021江苏姜堰中学高一期中,)如图所示,AB是☉O的直径,PA⊥平面ABC,C为圆周上一点,AB=5cm,AC=2cm,则B到平面PAC的距离为.

4.(2020江苏张家港塘桥高级中学高一阶段测试,)已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是AB,AD的中点,GC垂直于四边形ABCD所在的平面,且GC=2,则点B到平面EFG的距离为.深度解析

5.(2020江苏新海高级中学高一下期中,)如图,在四棱锥P-ADCB中,PA⊥平面ADCB,AD⊥AB,AB∥CD,AB=AD=AP=12CD=2,E为PC的中点.(1)求证:BE⊥平面PCD;(2)求直线AB到平面PCD的距离.题组二直线与平面所成的角6.(多选)()如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中正确的是 ()A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角7.(2020浙江宁波镇海中学高二期中,)如图,线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且AB=7,AC=BD=24,CD=25,则直线CD与平面α所成角的正弦值为 ()A.12325 B.1325 C.78.(2020江苏徐州第一中学高一阶段测试,)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,若点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成角的大小为α,则sinα的最小值为 ()A.33 B.63 C.229.(2021江苏高邮中学高一期中,)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,O,M分别是AD,PB的中点,AD∥BC,AB=BC=CD=OP=1,DA=2,OP⊥平面ABD.(1)求证:PD∥平面OCM;(2)求CP与平面PAD所成角的余弦值.

答案全解全析第13章立体几何初步13.2基本图形位置关系13.2.3直线与平面的位置关系第3课时距离、直线与平面所成的角基础过关练1.D∵BB1⊥平面A1B1C1D1,∴BB1的长度为点B到平面A1B1C1D1的距离,故点B到上底面A1B1C1D1的距离为3.故选D.2.C若A,B在α同侧,如图①,则P到α的距离为3;若A,B在α异侧,如图②,则P到α的距离为PO'-OO'=3-2=1.故AB的中点P到平面α的距离为3或1.3.答案2解析连接BC1,易知MN∥BC1,∵BC1⊂平面BCC1B1,MN⊄平面BCC1B1,∴MN∥平面BCC1B1.∴MN与平面BCC1B1的距离等于N到平面BCC1B1的距离,又N到平面BCC1B1的距离为NB=12AB=2∴MN到平面BCC1B1的距离为2.4.解析(1)证明:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥BB1,又BB1⊂平面BB1D1D,AA1⊄平面BB1D1D,所以A1A∥平面BB1D1D.(2)由(1)知A1A∥平面BB1D1D,则直线A1A上任意一点到平面BB1D1D的距离都相等.如图,过点A作AH⊥BD交BD于H,易知BB1⊥平面ABCD,因为AH⊂平面ABCD,所以BB1⊥AH.因为BB1∩BD=B,所以AH⊥平面BB1D1D,即AH的长为直线A1A到平面BB1D1D的距离.在△ABD中,AB=4,AD=3,则BD=5.由等面积法得AH=AB×ADBD=4所以A1A到平面BB1D1D的距离为125解题模板当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离都相等,都是线面距离.所以求线面距离的关键是选准恰当的点,转化为点面距离.DA中,平面的斜线与平面所成的角θ的取值范围是0°<θ<90°;B中,直线与平面所成的角α的取值范围为0°≤α≤90°;C中,这两条直线可能平行,也可能相交或异面;D中说法正确.易错警示注意几类角的范围:①异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°;②直线与平面所成的角α的范围是0°≤α≤90°;③斜线与平面所成的角β的范围是0°<β<90°.6.B如图,当m,n与平面α所成的角相同,即∠1=∠2时,m,n不平行;当m∥n时,m,n与平面α所成的角相同.故选B.7.A易知AA1⊥平面ABCD,∴∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角,易得∠A1BA=45°.8.A如图,连接B1D1,交A1C1于O,则A1C1⊥B1D1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1,∴AA1⊥B1D1.∵AA1∩A1C1=A1,AA1,A1C1⊂平面AA1C1,∴B1D1⊥平面AA1C1,∴∠B1A1O是直线A1B1与平面AA1C1所成的角,此角大小为45°,余弦值为22故选A.9.解析(1)证明:取AD的中点E,连接BE,PE,BD.因为四边形ABCD为菱形,且∠BAD=π3所以△ADB为等边三角形,所以BE⊥AD.因为△PAD为等边三角形,所以PE⊥AD.因为PE⊂平面PBE,BE⊂平面PBE,且PE∩BE=E,所以AD⊥平面PBE.又因为PB⊂平面PBE,所以AD⊥PB.(2)因为△PAD,△BAD为等边三角形,且边长为2,所以PE=BE=3,又PB=6,所以PE2+BE2=PB2,所以PE⊥EB.因为PE⊥AD,AD∩BE=E,所以PE⊥平面ABCD,所以∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角.在直角△PBE中,PE=BE,所以∠PBE=π4故直线PB与平面ABCD所成的角为π4解题模板求直线与平面所成的角的关键是寻找过斜线上一点与平面垂直的垂线,垂足与斜足的连线即为直线在平面内的射影,斜线与其在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角.能力提升练1.ACD对于选项A,设C1D1与平面PMN所成的角为θ,由C1M=D1M,可得C1Msinθ=D1Msinθ,即点C1,D1到平面PMN的距离相等,故A正确;连接NQ,对于选项B,连接NQ,M,N,P,Q分别是所在棱的中点,所以NQ∥PM,M,N,P,Q四点共面,所以PN与QM共面,故B不正确;对于选项C,设正方体的棱长为2,则PN=2,PM=22,NM=A1N2+A1M2=1+1+4=6,所以PN2+NM2=PM2,所以∠对于选项D,取CC1的中点E,BC的中点F,连接PF,FE,ME,NQ,AC,A1C1,A1B,CD1,则PF∥AC∥A1C1∥QM,ME∥D1C∥A1B∥NP,所以N,P,F,E,M,Q共面,则平面PMN截该正方体的截面为正六边形,故D正确.故选ACD.2.B由翻折过程可得,在如图所示的四棱锥D'-AECB中,底面AECB是边长为1的正方形,侧面D'EA中,D'E⊥AE,且D'E=AE=1.∵AE⊥D'E,AE⊥CE,D'E∩CE=E,∴AE⊥平面D'CE.作D'M⊥CE于点M,MN⊥AB于点N,连接D'N,则由AE⊥平面D'CE,D'M⊂平面D'CE,可得D'M⊥AE,∵CE∩AE=E,∴D'M⊥平面AECB.又AB⊂平面AECB,∴D'M⊥AB.∵MN⊥AB,D'M∩MN=M,∴AB⊥平面D'MN.在△D'MN中,作MH⊥D'N于点H,则易知MH⊥平面ABD'.又由题意可得CE∥平面ABD',∴MH的长即为点C到平面ABD'的距离.在Rt△D'MN中,D'M⊥MN,MN=1,设D'M=x,则0<x≤D'E=1,∴D'N=1+x由D'M·MN=D'N·MH可得x=1+x2·∴MH=x1+x2=11+1x2≤22,当x综上可得点C到平面ABD'距离的最大值为223.答案21cm解析因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,又由AB是☉O的直径,C为圆周上一点,可得AC⊥BC,因为PA∩AC=A,且AC,PA⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC,所以BC的长为点B到平面PAC的距离.在直角△ABC中,AB=5cm,AC=2cm,可得BC=AB2-AC24.答案2解析如图,连接EG,FG,EF,BD,AC,设EF,BD分别交AC于点H,O,连接GH.∵四边形ABCD是正方形,E,F分别是AB,AD的中点,∴EF∥BD,H为AO的中点.∵EF⊂平面EFG,BD⊄平面EFG,∴BD∥平面EFG.∴点B到平面EFG的距离等于直线BD到平面EFG的距离.过点O作OK⊥GH,垂足为K,∵EF∥BD,AC⊥BD,∴EF⊥AC.易证GF=GE,又H为EF的中点,∴GH⊥EF.∵GH∩AC=H,∴EF⊥平面GHC.∵OK⊂平面GHC,∴OK⊥EF.∵OK⊥GH,且GH∩EF=H,GH,EF⊂平面GEF,∴OK⊥平面GEF.∴OK的长度即为O(B)到平面EFG的距离.∵正方形ABCD的边长为4,∴AC=42,HO=2,HC=32,在Rt△HCG中,HG=(32)易证△HKO∽△HCG,∴OK=HO·GCHG=2×222=21111,即点解题模板求点到平面的距离的关键是找到符合题意的三角形,然后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离.5.解析(1)证明:取PD的中点F,连接AF,EF.因为E为PC的中点,所以EF是△PCD的中位线,所以EF∥CD且EF=12又AB∥CD且AB=12CD所以EF∥AB且EF=AB.所以四边形ABEF是平行四边形,所以BE∥AF.因为AD=AP,F为PD的中点,所以AF⊥PD.因为AD⊥AB,AB∥CD,所以AD⊥CD.因为PA⊥平面ADCB,CD⊂平面ADCB,所以PA⊥CD.又AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD.因为AF⊂平面PAD,所以CD⊥AF.又PD∩CD=D,所以AF⊥平面PCD.又BE∥AF,所以BE⊥平面PCD.(2)因为AB∥CD,CD⊂平面PCD,AB⊄平面PCD,所以AB∥平面PCD.所以直线AB到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离.由(1)得AF⊥平面PCD,则AF的长等于点A到平面PCD的距离.在Rt△PAD中,AD=AP=2,所以AF=12PD=12×22故点A到平面PCD的距离为2,即直线AB到平面PCD的距离为2.6.ABCA正确,因为SD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥SD.因为四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD,因为BD∩SD=D,BD,SD⊂平面SBD,所以AC⊥平面SBD,因为SB⊂平面SBD,所以AC⊥SB.B正确,因为AB∥CD,CD⊂平面SCD,AB⊄平面SCD,所以AB∥平面SCD.C正确,设AC与BD的交点为O,连接SO,如图,由AC⊥平面SBD得SA与平面SBD所成的角为∠ASO,SC与平面SBD所成的角为∠CSO,易知∠ASO=∠CSO,故SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角.D不正确,AB与SC所成的角是∠SCD(或其补角),而DC与SA所成的角是∠SAB(或其补角),易知∠SCD≠∠SAB.故选ABC.7.D如图,作DE⊥α,垂足为E,连接EA,EB,∵AB⊂α,BE⊂α,∴DE⊥AB,DE⊥BE,又BD⊥AB,BD∩DE=D,BD,DE⊂平面BDE,∴AB⊥平面BDE.∵BE⊂平面BDE,∴AB⊥BE.∵AC⊥α,∴AC∥DE,即A,C,D,E共面,作EF∥CD,交AC于F,则四边形CDEF是平行四边形,∴EF=CD=25.∵AC⊥α,AE⊂α,∴AC⊥AE,即∠FEA是直线EF与平面α所成的角.设DE=h,在Rt△AEF中,252=242-h2+72+(24-h)2,解得h=12,∴AF=24-12=12,sin∠FEA=1225∴直线CD与平面α所成角的正弦值为1225故选D.8.B如图,连接AC,OC1,AC1,OA1,由已知,可得BD⊥CC1,BD⊥AC,因为CC1∩AC