新教材人教b版选择性必修第三册 5.5数学归纳法 作业

2021-2022学年新教材人教B版选择性必修第三册5.5数学归纳法作业一、选择题1、整数列{an}满足an+1-an-1<3n+，an+2？an>3n+1-，a2=3，则a2018=？A.B.C.D.2、假设n=k时成立,当n=k+1时,证明,左端增加的项数是A.1项B.k﹣1项C.k项D.2k项3、用数学归纳法证明“”，则当时，应当在时对应的等式的两边加上A．B．C．D．4、用数学归纳法证明，则当时，等式左边应在的基础上加上（）A.B.C.D.5、已知函数f(x)满足f(a＋b)＝fA．fB．，f(1)＝3，则＋＋＋＝（)．A．2 B．4C．12 D．246、已知数列的各项均为正整数，其前项和为，若且，则()A．4740B．4725C．12095D．120027、证明等式时，某学生的证明过程如下（1）当n=1时，，等式成立；（2）假设时，等式成立，即，则当时，，所以当时，等式也成立，故原式成立.那么上述证明（）A．过程全都正确 B．当n=1时验证不正确C．归纳假设不正确 D．从到的推理不正确8、在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列,那么,位于表中的第n行、第（n+1）列的数是（）第1列第2列第3列第1行123第2行246第3行3692-n+12-n2+n2+n+29、用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（）A． B．C． D．10、大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第20项为（）A．200 B．180 C．128 D．16211、用数学归纳法证明“，”，则当时，应当在时对应的等式的两边加上（）A.B.C.D.12、已知点列如下：，，，，，，，，，，，，，则的坐标为（）A．B．C．D．二、填空题13、观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610正方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是__________.14、已知△ABC的三边长为有理数，求证：(1)cosA是有理数；(2)对任意正整数n，cosnA是有理数．15、观察分析下表中的数据：多面体面数（）顶点数（)棱数（)三棱锥569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.16、；；；；照此规律，当时，__________．三、解答题17、（本小题满分10分）某同学在一次研究性学习中，发现以下五个式子的值都等于同一个常数.（1）（2）（3）（4）（5）（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明该结论.18、（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式，并写出推理过程；(2)令，，试比较与的大小，并给出你的证明.19、（本小题满分12分）已知数列的前项和，通项公式，数列的通项公式为.（1）若，求数列的前项和及的值；（2）若，数列的前项和为，求、、的值，根据计算结果猜测关于的表达式，并用数学归纳法加以证明；（3）对任意正整数，若恒成立，求的取值范围.参考答案1、答案C解析由,可得：，又且{an}为整数列，所以，.故选：C点睛：数列通项的求法：归纳法、递推公式法、通项与前n项和的关系、两边夹的方法.本题就是通过两边夹的方法来定通项，,又{an}为整数列，可得：，然后通过累加得方式求a2018.2、答案D详解：时，不等式为，时，不等式为，左边增加的项数为，故选D．点睛：本题考查数学归纳法，考查数学归纳法中最重要的一步，从归纳假设的到要证的之间的关系，其中增加的项数特别重要，如果写错了，要么不能证明，要么证明的过程不符合数学归纳法的思想，在解题时一定要注意．3、答案A解析当时，等式左端，当时，等式左端，增加了项．故选A．4、答案D详解：当n=k时，等式左端=1+2++k2，当n=k+1时，等式左端=1+2++k2+（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）++（k+1）2，增加了2k+1项．即（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）++（k+1）2故答案为：（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）++（k+1）2点睛：此题主要考查数学归纳法的问题，属于概念考查题，这类题型比较简单多在选择填空中出现，属于基础题目．5、答案D解析由f(a＋b)＝fA．fB．，令a＝b＝n，得f2(n)＝f(2n)，f(2)＝f2(1)故原式＝＋＋＋＝2f(1)＋＋＋＝8f(1)＝24．6、答案B解析先寻求数列周期，再根据周期求和.详解因此选B.点睛由前几项归纳数列通项的常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.7、答案A详解：考查所给的证明过程：当时验证是正确的，归纳假设是正确的，从到的推理也是正确的，即证明过程中不存在任何的问题.本题选择A选项.点睛：本题主要考查数学归纳法的概念及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8、答案C解析由表格可以看出第n行第一列的数为n，观察得第n行的公差为n，∴第n0行的通项公式为an=n0+（n-1）n0，∵为第n+1列，∴可得答案为n2+n考点：归纳推理9、答案C解析因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了，故选C.考点：数学归纳法.10、答案A解析由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，可得偶数项的通项公式：，即可得出．详解由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，可得偶数项的通项公式：，则此数列第20项＝2×102＝200.故选：A．点睛本题考查了数列递推关系、通项公式、归纳法，属于基础题．11、答案A解析当时，等式左端，当时，等式左端，增加了项．故选A．12、答案D解析每个点横坐标与纵坐标和为2,3,4,5，的依次有1,2,3,4，;又因为，因此的横坐标与纵坐标和为12，为，选D．考点：归纳13、答案F+V-E=2解析三棱柱中；五棱锥中；正方体中；由此归纳可得.14、答案(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosA＝是有理数．(2)用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数．①当n＝1时，由(1)知cosA是有理数，从而有sinA·sinA＝1－cos2A也是有理数．②假设当n＝k(k≥1)时，coskA和sinA·sinkA都是有理数．当n＝k＋1时，由cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·sinkA)·cosA，由①及归纳假设，知cos(k＋1)A与sinA·sin(k＋1)A都是有理数．即当n＝k＋1时，结论成立．综合①②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数．解析15、答案解析对三棱锥，5+8-9=2，对五棱锥，6+6-10=2，对立方体，6+8-12=2，可归纳得.16、答案详解：所以归纳可得点睛：本题考查了归纳推理的简单应用，属于简单题。17、答案（Ⅰ）常数为；（Ⅱ）详见解析.（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，推广出的三角恒等式为直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．详解：（Ⅰ）选择（3）∵∴该常数为（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，推广出的三角恒等式为证明如下：左边右边所以等式成立点睛：本题主要考查两角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的应用，考查归纳推理以及计算能力，属于中档题．解析18、答案（Ⅰ）；（Ⅱ），证明见解析．试题解析：（Ⅰ）在中，令，可得，即，当时，，∴，∴，即，设，则，即当时，，又，∴数列是首项和公差均为1的等差数列．于是，∴（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以，由①-②，得∴，则于是只要比较与的大小即可，（1）当时，，此时，即，（2）猜想：当时，，下面用数学归纳法证明：①当时，不等式成立；②假设时，不等式成立，即；则当时，，所以当时，不等式成立，由①和②可知，当时，成立，于是，当时，，即．另证：要证，只要证：，只要证：，由均值不等式得：，所以，于是当时，，即．项和；2.数列与不等式的证明；3.数学归纳法的应用．方法点睛此题主要考查数列、数学归纳法等方面的内容，属于中高档题．在求数列的通项公式中，常利用数列的通项与前项和之间的关系来进行求解，若得到的关系式相对复杂的可构造新的数列，使得到新的数列是等差数列或等比数列，再利用等差数列或等比数列的通项公式进行求解；求数列的前项和有很多种方法，本题解答过程中采用了错位相减法，错位相减法适用于数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列之积，亦是教材（人教A版）中用于推导等比数列的前项和公式的方法．解析19、答案（1），；（2），，，；证明见解析（3）.（2）求出，可求，，的值，猜想的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明。（3）问题转化为，对于任意正整数恒成立，设，利用导数求出函数的最