新教材人教b版必修第二册5.1.2数据的数字特征学案

5．数据的数字特征学习目标1.理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释．知识点一最值、平均数、中位数、百分位数、众数1．一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．2．平均数如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，简记为eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i.如果x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为aeq\x\to(x)＋b.3．中位数如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称eq\f(xn＋xn＋1,2)为这组数的中位数．4．百分位数设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取eq\f(xi＋xi＋1,2)为p%分位数．特别地，规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)．5．众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．知识点二极差、方差与标准差1．极差一组数据中最大值减去最小值所得的差称为这组数据的极差．2．方差如果x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，则方差可用求和符号表示为s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2.此时，如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.3．标准差方差的算术平方根称为标准差．标准差描述了数据相对于平均数的离散程度，一般用s表示．s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).1．中位数是一组数据中间的数．(×)2．众数是一组数据中出现次数最多的数．(√)3．一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．(√)4．一组数据10,11,9,8,6,12,4的25%分位数是6.(√)一、利用概念求平均数、中位数、百分位数、众数例1(1)某射手在一次训练中12次射击的成绩分别为，,,,,,,,,,,，则该射手12次射击的成绩的75%分位数是()A．B．C．D．答案C解析将这12个数从小到大排列：,,,，，,,,,,,，因为这组数据有12个数，且12×75%＝9，所以这组数据的75%分位数为eq\f(x9＋x10,2)＝eq\f(＋,2)＝9.7.(2)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数分别为甲：18192020212223313135乙：11171921222424303032则这10天甲的日加工零件的平均数为________；乙的日加工零件的众数与中位数分别为________和________．答案2424与3023解析甲每天加工零件的个数分别为18,19,20,20,21,22,23,31,31,35，所求平均数为eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,10)×(18＋19＋20＋20＋21＋22＋23＋31＋31＋35)＝24.乙每天加工零件的个数分别为11,17,19,21,22,24,24,30,30,32，故众数为24与30.中位数为eq\f(1,2)×(22＋24)＝23.反思感悟平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．跟踪训练1(1)十名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()A．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>c>a答案B解析从小到大排列此数据为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.平均数为eq\f(1,10)(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝；数据17出现了三次，17为众数；在第5位、第6位均是15，故15为中位数．所以这组数据的平均数是，中位数是15，众数是17.(2)近年来，某市私家车数量持续增长，2014年至2018年该市私家车数量依次为15,19,22,26,30(单位：万辆)，则该组数据的中位数是________，10%分位数是________，20%分位数是________．答案221517解析将这组数据从小到大排列后，22处于最中间的位置，故这组数据的中位数是22.∵5×10%＝，∴该组数据的10%分位数是15，∵5×20%＝1，∴该组数据的20%分位数是eq\f(15＋19,2)＝17.二、极差、方差、标准差的计算及应用例2甲、乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．解(1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，所以乙机床加工零件的质量更稳定．延伸探究在本例中，若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？解甲的数据为99＋10,100＋10,98＋10,100＋10,100＋10,103＋10，平均数为100＋10＝110，方差为eq\f(1,6)[(109－110)2＋(110－110)2＋(108－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(113－110)2]＝eq\f(7,3).反思感悟在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定．跟踪训练2某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：甲组：60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；乙组：85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；(2)哪一组的成绩较稳定？解(1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，平均分为eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,10)×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，方差为seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，标准差为s甲＝eq\r(s\o\al(2,甲))＝eq\r(119)≈(分)．乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，平均分为eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,10)×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝(分)，方差为seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,10)×[(85－)2＋(95－)2＋(75－)2＋(70－)2＋(85－)2＋(80－)2＋(85－)2＋(65－)2＋(90－)2＋(85－)2]＝，标准差为s乙＝eq\r(s\o\al(2,乙))＝eq\r()≈(分)．(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定．从(1)中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定．1．2019年某高一学生下学期政治考试成绩为79798484868487909097则该生政治考试成绩的平均数和众数依次为()A．8584 B．8485C．8684 D．8486答案C解析由题意可知，平均数eq\x\to(x)＝eq\f(79＋79＋84＋84＋86＋84＋87＋90＋90＋97,10)＝86，众数为84.2．某地铁运行过程中，10个车站上车的人数统计如下：70,60,60,50,60,40,40,30,30,10，则这组数据的众数、极差的和为()A．120B．165C．160D．150答案A解析这组数据的众数是60，极差为70－10＝60，它们的和为120.3．计算eq\i\su(i＝1,3,)(2i＋1)等于()A．6B．9C．10D．15答案D解析eq\i\su(i＝1,3,)(2i＋1)＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋(2×3＋1)＝3＋5＋7＝15.4．国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：甲乙丙丁平均成绩eq\x\to(x)8方差s2则应派________参赛最为合适．答案丙解析由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适．5．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均数为1，则样本方差为________．答案2解析由题意知eq\f(1,5)(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1.所以样本方差为s2＝eq\f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.1．知识清单：(1)数据的数字特征的计算方法．(2)数据的数字特征的应用．2．常见误区：(1)数据同时增加或减少相同的数，平均数变化，方差不变．(2)方差、标准差的计算．1．(多选)下列说法中，正确的是()A．数据2,4,6,8的中位数是4,6B．数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是eq\f(8×5＋7×3,11)答案BCD解析数据2,4,6,8的中位数为eq\f(4＋6,2)＝5，显然A是错误的，B，C，D都是正确的．2．下列关于50%分位数的说法正确的是()A．50%分位数不是中位数B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%C．它一定不小于25%分位数D．一定是数据中的某个数答案C解析由百分位数的意义可知选项A，B，D错误．3．某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示：读书时间(小时)7891011学生人数610987则该班学生一周读书时间的平均数、众数、40%分位数分别是()A．9,8, B．9,8,8C．,9,8 D．9,8,9答案A解析该班学生一周读书时间的平均数为eq\f(6×7＋10×8＋9×9＋8×10＋7×11,6＋10＋9＋8＋7)＝9，众数为8.因为该班共有学生40人，40×40%＝16，所以该班学生一周读书时间的40%分位数为eq\f(8＋9,2)＝8.5.4．若一组数据a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这组数据的方差是()A．3B．4C．5D．6答案C解析x2－5x＋4＝0的两根是1,4.当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4；当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1.所以a＝1，b＝4，则方差为s2＝eq\f(1,4)×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.5．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：甲：78109886乙：91078778则下列判断正确的是()A．甲射击的平均成绩比乙好B．甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数C．乙射击的平均成绩比甲好D．甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差答案D解析甲命中的环数的平均数为eq\x\to(x甲)＝eq\f(1,7)(7＋8＋10＋9＋8＋8＋6)＝8，乙命中的环数的平均数为eq\x\to(x乙)＝eq\f(1,7)(9＋10＋7＋8＋7＋7＋8)＝8，所以甲、乙射击的平均成绩相等，故A，C均错误；甲射击的成绩的众数是8，乙射击的成绩的众数是7，所以甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，故B错误；甲射击的成绩的极差为10－6＝4，乙射击的成绩的极差为10－7＝3，所以甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差，故选D.6．若五个数1,2,3,4，a的平均数是3，则a＝________，这五个数的标准差是________．答案5eq\r(2)解析由eq\f(1＋2＋3＋4＋a,5)＝3，得a＝5，由s2＝eq\f(1,5)[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2，得标准差s＝eq\r(2).7．数据8,12,15,18,21,23,23,23,28,33,34,35的80%分位数是________．答案33解析这组数据有12个数，因为12×80%＝，所以这组数据的80%分位数是x10＝33.8．某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程，现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如下表：甲811141522乙67102324用seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差，则seq\o\al(2,1)＝__________，seq\o\al(2,2)＝__________，并由此可判断成绩更稳定的班级是__________班．答案2262甲解析根据表中数据，计算甲班的平均数为eq\x\to(x1)＝eq\f(1,5)×(8＋11＋14＋15＋22)＝14，乙班的平均数为eq\x\to(x2)＝eq\f(1,5)×(6＋7＋10＋23＋24)＝14；甲班的方差为seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,5)×[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22，乙班的方差为seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,5)×[(6－14)2＋(7－14)2＋(10－14)2＋(23－14)2＋(24－14)2]＝62，所以seq\o\al(2,1)<seq\o\al(2,2)，由此可判断成绩更稳定的班级是甲班．9．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：每天丢弃旧塑料袋个数2345户数6161513(1)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数、众数和中位数；(2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差．解(1)平均数eq\x\to(x)＝eq\f(1,50)×(2×6＋3×16＋4×15＋5×13)＝eq\f(185,50)＝3.7.众数是3，中位数是4.(2)这50户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为s2＝eq\f(1,50)×[6×(2－)2＋16×(3－)2＋15×(4－)2＋13×(5－)2]＝eq\f(1,50)×＝0.97.所以标准差s≈0.985.10．在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：分数(分)5060708090100人数(人)甲组251013146乙组441621212已经计算得到两个组成绩的平均数都是80.请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．解(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组的成绩好一些．(2)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)×[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴甲组的成绩比乙组的成绩稳定，故甲组好些．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80.其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人，从这一角度来看，甲组的成绩总体较好．(4)从成绩统计表来看，甲组的成绩大于等于90分的有20人，乙组的成绩大于等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数比甲组多．同时乙组得满分的比甲组得满分的多6人．从这一角度来看，乙组的成绩较好．11．在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：,,,,,,9.7.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()A．, B．,C．, D．,答案D解析去掉最高分和最低分，余下的数为，，,,，其平均数eq\x\to(x)＝eq\f(3×＋＋,5)＝，s2＝eq\f(1,5)×(2＋2＋2＋2＋2)＝0.016.12．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9，(x，y∈N)，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为()A．4B．3C．2D．1答案A解析由这组数据的平均数为10，方差为2可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，因为不要直接求出x，y，只要求出|x－y|，设x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8得t2＝4；所以|x－y|＝2|t|＝4.13．一组数据的平均数是，方差是，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是()A．, B．,C．, D．,答案D解析设这组数据分别为x1，x2，…，xn，由其平均数为，方差是，则有eq\x\to(x1)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)＝，方差seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]＝，若将这组数据中每一个数据都加上60，则数据为x1＋60，x2＋60，…，xn＋60，则其平均数为eq\x\to(x1)＝eq\f(1,n)[(x1＋60)＋(x2＋60)＋…＋(xn＋60)]＝，方差为seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,n)[(x1＋60－)2＋(x2＋60－)2＋…＋(xn＋60－)2]＝，故选D.14．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，方差是eq\f(1,2)，那么另一组数据2x1－1,2x2－1,2x3－1,2x4－1,2x5－1的平均数、方差分别是()A．5,2B．3，eq\f(1,2)C．5，eq\f(1,2)D．3,2答案A解析因为数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，方差是eq\f(1,2)，所以eq\x\to(x)＝3，eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,)(xi－3)2＝eq\f(1,2)，因