新教材人教b版必修第三册7.1.1角的推广课件

第七章三角函数1.了解任意角的概念,能正确区分正角、负角和零角.2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.3.掌握终边相同的角的含义及其表示方法,并能解决有关问题.4.体会数学抽象的过程,加强直观想象与数学运算能力的培养.任意角的概念与弧度制7.1.1角的推广1|角的相关概念一条射线绕其端点按照①逆时针方向旋转而成的角称为正角,按照②顺时针方向

的始边与终边③重合.这样定义的角,由于是旋转生成的,所以也常称为转角.这样,

我们就把角的概念推广到了任意角.α,β是任意两个角.我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边对应的角为④

α+β.

角的减法可以转化为角的加法,即α-β=⑤

α+(-β).第七章三角函数1.为了方便起见,通常将角放在平面直角坐标系中来讨论,并约定:角的顶点与

坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上.这时,角的终边在第几象限,就把这个

角称为第几象限角.如果终边在⑦坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.2|终边相同的角3|象限角所有与角α终边相同的角组成一个集合,这个集合可记为⑥

S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同,k=0时对应元素为α.(1)终边在第一象限的角:{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}.(2)终边在第二象限的角:{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}.(3)终边在第三象限的角:{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}.(4)终边在第四象限的角:{α|k·360°-90°<α<k·360°,k∈Z}.第七章三角函数°角是第四象限角.

(√)2.终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.

(√)3.终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍.(√)4.终边相同的角的表示不唯一.

(√)5.终边与始边重合的角是零角.

(✕)判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.第七章三角函数1|任意角的概念在花样滑冰比赛中,运动员的动作是那么优美!尤其是原地转身和空中翻转的动作

让我们叹为观止.运动员在原地转身的动作中,仅仅几秒内就能旋转十几圈,甚至二

十几圈,因此,花样滑冰美丽而危险.第七章三角函数第七章三角函数问题1.他们顺时针旋转两圈半是多大的角度?提示:顺时针旋转两圈半，即-(2×360°+180°）=-900°.2.若是逆时针旋转两圈半呢?提示:应为900°.1.理解角的概念的关键与技巧:(1)关键:正确理解象限角、锐角、直角、钝角、平角、周角等概念;(2)技巧:判断一种说法正确需要证明,而判断一种说法错误只要举出反例即可.2.确定任意角的度数关键看终边旋转的方向和圈数.(1)表示角时,箭头的方向代表角的正负,因此箭头不能丢掉;顺时针旋转形成负角常

常被忽视.

边重合的角不一定是零角,只有没做任何旋转,始边与终边重合的角才是零角.3.要求符合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已知角α终边相

同的角的一般形式α+k·360°(k∈Z),再依条件构建不等式求出k的值.第七章三角函数拔高问题α+k·360°(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式的关键是什么?提示:关键是确定k,可以用观察法(角的绝对值较小),也可用除法.第七章三角函数思路点拨:根据旋转方向和旋转量,画出图形,利用角的运算求∠AOC的度数.解析画出简图如图,由图和已知可得∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+(-30°)=60°.所以∠AOC的度数为60°.

1.(★☆☆)平行于x轴且方向与x轴正方向相同的射线OA绕端点O逆时针旋转90°到射线OB的位置,接着再顺时针旋转30°到OC的位置,求∠AOC的度数.解题模板角的概念推广后,确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小,画

图分析有助于培养直观想象的数学素养.第七章三角函数2.(★★☆)已知角α=2020°.(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<720°.思路点拨:把任意角化为β+k·360°(k∈Z且0°≤β<360°)的形式,利用观察法(角的绝对值较小)

或除法确定k的值.解析(1)2020°除以360°,商为5,余数为220°,∴k=5,β=220°,∴α=5×360°+220°.又β=220°是第三象限角,∴α为第三象限角.(2)由(1)知α=5×360°+220°,所以θ=n·360°+220°(n∈Z).当n=-2时,θ<-360°,不满足题意;当n=-1时,θ=-140°,满足题意;当n=0时,θ=220°,满足题意;当n=1时,θ=580°,满足题意;当n=2时,θ>720°,不满足题意.综上,角θ的值为-140°,220°,580°.第七章三角函数3.(★★☆)你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1.25小时,你应如何将它校准?思路点拨:一要注意旋转的大小,二要注意旋转的方向.解析将分针按顺时针方向旋转360°×

=30°;将分针按逆时针方向旋转360°×1.25=450°.第七章三角函数问题OB上的角?提示:先求∠xOB=90°+40°=130°,再写终边落在射线OB上的角,为k·360°+130°,k∈Z.φ的范围?提示:由题图可知k·360°+130°≤φ≤k·360°+180°,k∈Z.2|区域角的表示如图，将圆O放在平面直角坐标系中，圆心与原点重合.第七章三角函数1.求终边在某条直线上的角的集合的策略:(1)若所求角β的终边在某条射线上,则集合的形式为{β|β=k·360°+α,k∈Z};(2)若所求角β的终边在某条直线上,则集合的形式为{β|β=k·180°+α,k∈Z}.2.区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步:(1)按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界;(2)由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°到360°范围内的角α和β,并将该

范围内的区域角表示为{x|α<x<β},其中β-α<360°;(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍,即得区域角的范围.第七章三角函数例已知角α的终边在如图所示的阴影部分内(不包括边界),求角α的取值范围.

解析

题图中阴影在第一、三象限,根据象限角的表示可知角α的取值范围是{α|k·

360°<α<k·360°+90°,k∈Z}∪{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}={α|2k·180°<α<2k·180°+90°,k∈Z}∪{α|(2k+1)·180°<α<(2k+1)·180°+90°,k∈Z}={α|n·180°<α<n·180°+90°,n∈Z}.第七章三角函数拔高问题3.对顶区域的角如何表示?提示:对顶区域,先写出在0°~180°范围内始边、终边对应的角,再加上k·180°(k∈Z),

即得对顶区域角的范围.第七章三角函数1.(★★☆)写出终边在如图所示的直线上的角的集合.

思路点拨:分别表示图中四个终边上角的集合,再求并集即可.第七章三角函数解析在0°~360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个,即45°和225°,因此,终边在直线y=x上的角的集合为S1={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}={β|β=45°+n·180°,n∈Z}.同理,可得终边在直线y=-x上的角的集合S2={β|β=135°+n·180°,n∈Z}.故所求角的集合为S={β|β=45°+n·180°,n∈Z}∪{β|β=135°+n·180°,n∈Z}={β|β=45°+2n·90°,n∈Z}∪{β|β=45°+(2n+1)·90°,n∈Z}={β|β=45°+m·90°,m∈Z}.第七章三角函数延伸探究:(★★☆)已知角β的终边在如图所示的阴影部分内,求角β的取值范围.

解析在x轴上方的阴影部分的角的集合为A={β|k·360°+45°≤β<k·360°+135°,k

∈Z}={β|2k·180°+45°≤β<2k·180°+135°,k∈Z}.在x轴下方的阴影部分的角的集合为B={β|k·360°+225°≤β<k·360°+315°,k∈Z}={β|k·360°+180°+45°≤β<k·360°+180°+135°,k∈Z}={β|(2k+1)·180°+45°≤β<(2k+1)·180°+135°,k∈Z}.所以阴影部分内角β的取值范围是A∪B={β|2k·180°+45°≤β<2k·180°+135°,k∈Z}∪{β|(2k+1)·180°+45°≤β<(2k+1)·180°+135°,k∈Z}={β|n·180°+45°≤β<n·180°+135°,n∈Z}.第七章三角函数2.(★★★)若角α是第一象限角,问角(1)2α,(2)

,(3)

各是第几象限角?第七章三角函数解析(1)∵α是第一象限角,∴k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z).

(*)∴k·720°<2α<k·720°+180°(k∈Z).故2α是第一或第二象限角或是终边重合于y轴的非负半轴的角.(2)由(*)得k·180°<

<k·180°+45°(k∈Z).①当k为偶数时,令k=2n(n∈Z),得n·360°<

<n·360°+45°(n∈Z),这表明

是第一象限角.②当k为奇数时,令k=2n+1(n∈Z),得n·360°+180°<

<n·360°+(180°+45°)(n∈Z),这表明

是第三象限角.综合①②知,

是第一或第三象限角.(3)解法一:由(*)得k·120°<

<k·120°+30°(k∈Z).①当k=3n(n∈Z)时,n·360°<

<n·360°+30°(n∈Z),这表明

是第一象限角.第七章三角函数②当k=3n+1(n∈Z)时,n·36