新教材人教a版选择性必修第二册5.3.1函数的单调性课件

第五章一元函数的导数及其应用导数在研究函数中的应用5．函数的单调性[课程目标]1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导

数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数

的单调区间．1．函数的单调性与其导函数正负的关系在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调________；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调_________；如果恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间上是____________．递增递减常数函数[研读]对函数的单调性与其导函数正负的关系的两点说明：(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍单调递增(单调递减的情形完全类似).(2)f(x)单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化得________，其图象比较_________(向上或向下).即|f′(x)|越大，则函数f(x)的切线的斜率越大，函数f(x)的变化率就越大；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较平缓．较快陡峭

判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调

递增．(

)(2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(

)(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对

值越大．(

)××√(1)已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的(

)D(2)已知函数f(x)与其导函数f′(x)的图象如图所示，则满

足f′(x)<f(x)的x的取值范围为(

)D[规律方法]函数图象的单调性可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象上升；符号为负，图象下降．看导函数图象时，主要是看图象在x轴上方还是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性．解决问题时，一定要分清是函数图象还是其导函数图象．(1)在同一坐标系中作出三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)及

其导函数的图象，下列一定不正确的序号是(

)A．①②B．①③C．③④D．①④C(2)已知函数f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如下图所示，则f(x)的图象是(

)A【解析】(1)当f′(x)>0时，y＝f(x)是递增的；当f′(x)<0时，y＝f(x)是递减的．故①②中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；而③中导函数为负的区间内相应的函数不递减，故错误；④中导函数为负的区间内相应的函数不递减，故错误．(2)由函数f′(x)的图象可知在(－2，－1)上，f′(x)>0，f′(x)逐渐变大，故函数f(x)单调递增，增加速度越来越快；在(－1，0)上，f′(x)>0，f′(x)逐渐变小，故函数f(x)单调递增，增加速度越来越慢；在(0，1)上，f′(x)<0，f′(x)逐渐变小，函数f(x)单调递减，递减速度越来越快；在(1，2)上，f′(x)<0，f′(x)逐渐变大，函数f(x)单调递减，递减速度越来越慢．故选A.

求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－lnx；[规律方法](1)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f′(x)；③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间．(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象过点P(1，2)，且在点P处的切线斜率为8.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．

讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)lnx(a≥0)的单调性．[规律方法](1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影

响进行分类讨论；(2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确

定导数为0的点和函数的间断点．解：方法一：直接法．f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，不合题意．当a－1>1，即a>2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知(1，4)⊆(1，a－1)且(6，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7，故实数a的取值范围为[5，7].方法三：转化为不等式的恒成立问题．f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1，4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1，4)上恒成立，即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2<x＋1<5，所以当a≥5时，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1.因为x＋1>7，所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．综上知5≤a≤7，故实数a的取值范围为[5，7].[规律方法]1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．2．恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max；(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.[－1，1]1．函数f(x)＝x＋2lnx(

)A2．已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为(

)A．(－2，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－2，－1)∪(1，2)【解析】因为f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，所以在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上f′(x)>0.C3．函数f(x)＝3＋xlnx的单调递减区间是(

)BC5．若函数f(x