新教材人教a版选择性必修第二册5.3.2第1课时函数的极值课件

第五章一元函数的导数及其应用导数在研究函数中的应用5．函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值[课程目标]1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必

要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值．1．极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.f′(x)<0f′(x)>02．极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧________，右侧____________，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．____________、__________统称为极值点，__________和________统称为极值．f′(x)>0f′(x)<0极大值点极小值点极大值极小值[研读](1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数

值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．(3)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的极值点一定在区间内取

得，f(a)，f(b)一定不是极值．解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)

是__________；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)

是__________．极大值极小值[研读]可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数y＝f(x)在一点的导数值为零是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件”．可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)符号不同．如果在x0的两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点．

判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)函数的极大值一定大于极小值．(

)(2)函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．(

)(3)函数f(x)＝x3＋ax2－2x＋5必有2个极值．(

)××√

求下列函数的极值：

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

从表中可以看出，

当x＝1时，函数f(x)有极小值，

为f(1)＝3，f(x)无极大值．[规律方法]求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用使函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．求函数f(x)＝x2e－x的极值．解：函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝2xe－x＋x2e－x·(－x)′＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上单调递增，在(a－2，－2a)上单调递减，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.[规律方法]

求解含参数的函数的极值问题，要根据f′(x)＝0的两根x1，x2是否相等进行分类讨论．已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R).(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数y＝f(x)的极值．

已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0).若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．解：因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1，所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以由y＝f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.作出y＝f(x)的大致图象如图所示，因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合y＝f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3，1).[规律方法](1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和

极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以

利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．A2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(

)A．(－1，2)B．(－3，6)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)既有极大值又有极小值，所以方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.D3．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如下，若f(x)在x＝x0处有极值，则x0的值为(

)A．－3 B．0C．3 D．7【解析】由f′(x)的图象知在x＝0附近的左侧，f′(x)>0，在x＝0附近的右侧，f′(x)<0，所以0是极值点．虽然有f′(7)＝0，但在7的两侧，f′(x)<0，7不是极值点．故选B.B4．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是(

)A．(2，3) B．(2，＋∞)C．(3，＋∞) D．(－∞，3)【解析】因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值．又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0，解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个单调递增区间是(3，＋