数学新设计人教a版必修五讲义第一章解三角形1-2（二）

§1.2应用举例(二)学习目标正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题(重、难点)；2.能运用正弦、余弦定理解决测量角度的实际问题(重、难点).预习教材P13－15完成下列问题：知识点相关术语名称术语意义图示仰角与俯角在同一铅直平面内，目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α，坡度为i，则i＝eq\f(h,l)＝tan__α坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比【预习评价】1.如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离CD和由C点，D点观察A的仰角α，β，即可求建筑物高度AB.试把这一问题抽象成数学模型(已知测角仪器的高是h).提示问题的本质如图，已知∠AEC为直角，CD＝m，用α，β，m表示AE的长，所得结果再加上h.2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD.试把本问题抽象成数学模型.提示问题本质是：如图，已知三棱锥D­ABC，DC⊥平面ABC，AB＝m，用α，β，m，γ表示DC的长.方向1底部可到达【例1－1】济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1m)解如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端.依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2m，则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD中，根据正弦定理，eq\f(BD,sin60°)＝eq\f(AB,sin∠ADB).∴BD＝eq\f(AB·sin60°,sin20°)＝eq\f(15.2·sin60°,sin20°)≈38.5(m).在Rt△BCD中，CD＝BDsin80°＝38.5·sin80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38m.方向2底部不可到达【例1－2】如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m).即山的高度为800(eq\r(3)＋1)m.规律方法准确地画出图形，将已知数据反映到图形中，从而将测量高度问题转化为纯粹的数学图形问题，然后再解三角形求解.【训练】如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB＝20m，在A点处测得P点仰角∠OAP＝30°，在B点处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h.(结果保留两个有效数字)解在Rt△AOP中，∠OAP＝30°，OP＝h.∴OA＝OP·eq\f(1,tan30°)＝eq\r(3)h.在Rt△BOP中，∠OBP＝45°，∴OB＝OP·eq\f(1,tan45°)＝h.在△AOB中，AB＝20，∠AOB＝60°，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos60°，即202＝(eq\r(3)h)2＋h2－2×eq\r(3)h×h×eq\f(1,2)，解得h2＝eq\f(400,4－\r(3))≈176.4，∴h≈13m.即旗杆的高度h约为13m.【探究1】一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了40eq\r(2)海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程(海里)分别为()A.北偏东80°，20(eq\r(6)＋eq\r(2))B.北偏东65°，20(eq\r(3)＋2)C.北偏东65°，20(eq\r(6)＋eq\r(2))D.北偏东80°，20(eq\r(3)＋2)解析由题意，在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40eq\r(2).根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝402＋(40eq\r(2))2－2×40×40eq\r(2)×eq\f(\r(2)－\r(6),4)＝3200＋1600eq\r(3)，∴AC＝20(eq\r(6)＋eq\r(2)).根据正弦定理eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sin105°)，∴∠CAB＝45°，∴此船航行的方向和路程(海里)分别为北偏东65°，20(eq\r(6)＋eq\r(2)).故选C.答案C【探究2】一艘向正东航行的船，看见正北方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的北偏西30°，另一灯塔在船的北偏西15°，则这艘船的速度是每小时()A.5海里 B.5eq\r(3)海里C.10海里 D.10eq\r(3)海里解析设两个灯塔分别为C，D，则CD＝10，由题意，当船在B处时，∠ABC＝60°，∠CBD＝∠CDB＝15°，即CD＝BC＝10.在直角三角形CAB中，AB＝BCcos60°＝10×eq\f(1,2)＝5，则这艘船的速度是eq\f(5,\f(1,2))＝10海里/时，故选C.答案C【探究3】两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离分别为a海里、2a海里，灯塔A在观察站的北偏东35°，灯塔B在观察站的南偏东25°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A.3a海里 B.eq\r(7)a海里C.eq\r(5)a海里 D.eq\r(3)a海里解析依题意知∠ACB＝180°－25°－35°＝120°，在△ABC中，由余弦定理知AB＝eq\r(a2＋4a2－2·a·2a·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(7)a.即灯塔A与灯塔B的距离为eq\r(7)a(海里).故选B.答案B规律方法与距离问题和高度问题不同，角度问题求解的方向为角，但解决角度问题的关键仍在于将实际问题转化为具体的解三角形问题，即确定所求角，找出三角形中已知的边和角，从而利用正、余弦定理将这些边、角联系起来求解.课堂达标1.在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的()A.北偏西34°27′ B.北偏东55°33′C.北偏西55°33′ D.南偏西34°27′解析由方向角的概念，B在A的北偏西34°27′.答案A2.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有()A.d1>d2 B.d1<d2C.d1>20m D.d2<20m解析仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即d1<d2.答案B3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东5° B.北偏西10°C.南偏东5° D.南偏西10°解析由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°.答案B4.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________.解析甲楼的高为20tan60°＝20×eq\r(3)＝20eq\r(3)(米)；乙楼的高为20eq\r(3)－20tan30°＝20eq\r(3)－20×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(40\r(3),3)(米).答案20eq\r(3)米、eq\f(40,3)eq\r(3)米5.为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度.解在△ABT中，∠ATB＝21.4°－18.6°＝2.8°，∠ABT＝90°＋18.6°，AB＝15(m).根据正弦定理，eq\f(15,sin2.8°)＝eq\f(AT,sin（90°＋18.6°）)＝eq\f(AT,cos18.6°)，AT＝eq\f(15×cos18.6°,sin2.8°).塔的高度为AT·sin21.4°＝eq\f(15·cos18.6°,sin2.8°)·sin21.4°≈106.19(m).即塔高约为106.19m.课堂小结1.在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较烦琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式.2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.3.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.基础过关1.从A处望B处的俯角为α，从B处望A处的仰角为β，则α，β的关系为()A.α>β B.α＝βC.α＋β＝90° D.α＋β＝180°解析由仰角和俯角的概念得α＝β.答案B2.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为()A.500eq\r(2)m B.200mC.1000eq\r(2)m D.1000m解析由图可知，∠BSA＝360°－75°－150°＝135°，∴∠ABS＝30°，在△ABS中，eq\f(AS,sin30°)＝eq\f(AB,sin135°)，∴AB＝eq\f(AS·sin135°,sin30°)＝eq\f(1000×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝1000eq\r(2)，∴BC＝1000eq\r(2)·sin45°＝1000m.答案D3.在静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(5,12)π解析设水流速度与船速的合速度为v，方向指向对岸.则由题意知，sinα＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2)，又α∈(0，eq\f(π,2))，∴α＝eq\f(π,6).答案C4.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析设两条船所在位置分别为A，B两点，炮台底部所在位置为C点，在△ABC中，由题意可知AC＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3)(m)，BC＝eq\f(30,tan45°)＝30(m)，C＝30°，AB2＝(30eq\r(3))2＋302－2×30eq\r(3)×30×cos30°＝900，所以AB＝30(m).答案305.如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从C点到B点历时14s，则这辆汽车的速度为________m/s(精确到0.1，参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(5)≈2.236.)解析由题意，AB＝200m，AC＝100m，由余弦定理可得BC＝eq\r(40000＋10000－2×200×100×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2))))≈279.79m，这辆汽车的速度为279.79÷14≈20.0m/s.答案6.飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海波25000米，速度为3000米/分，飞行员先在点A看到山顶C的俯角为30°，经过8分钟后到达点B(假设飞机还未飞过山顶)，此时看到山顶C的俯角为60°，则山顶的海拔高度为多少米？(参考数据：eq\r(2)＝1.414，eq\r(3)＝1.732，eq\r(6)＝2.449)解在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝30°，AB＝BC＝24000米.根据正弦定理，BC·sin60°＝24000×eq\f(\r(3),2)＝12000eq\r(3)≈20784米.所以，山顶C的海拔高度为25000－20784＝4216米.7.在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200eq\r(3)m以后测得山峰的仰角为4θ，求该山峰的高度.解如图所示，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600，BC＝DC＝200eq\r(3).在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝eq\f(6002＋（200\r(3)）2－（200\r(3)）2,2×600×200\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，所以2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300(m).即山峰高度为300m.能力提升8.甲船在B岛的正南A处，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是()A.eq\f(150,7)min B.eq\f(15,7)hC.21.5min D.2.15h解析设经过x小时时距离为s，则在△BPQ中，由余弦定理知PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ·cos120°，即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6x·(－eq\f(1,2))＝28x2－20x＋100，∴当x＝eq\f(5,14)h时，s2最小.即当航行时间为eq\f(5,14)h＝eq\f(150,7)min时，s最小.答案A9.在一座20m高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为()A.20(1＋eq\f(\r(3),3))m B.20(1＋eq\r(3))mC.10(eq\r(6)＋eq\r(2))m D.20(eq\r(6)＋eq\r(2))m解析如图所示，AB为观测台，CD为水塔，AM为水平线.依题意得AB＝20，∠DAM＝45°，∠CAM＝60°，从而可知MD＝20，AM＝20，CM＝20eq\r(3)，∴CD＝20(1＋eq\r(3))(m).答案B10.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.解析根据图示，AC＝100eq\r(2).在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(AM,sin60°)⇒AM＝100eq\r(3).在△AMN中，eq\f(MN,AM)＝sin60°，∴MN＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m).答案15011.某次台风中心最大风力达到12级以上，大风、降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断，某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是________米.解析如图，AB＝20，A＝45°，B＝75°，∴C＝60°，由正弦定理得eq\f(20,sin60°)＝eq\f(BC,sin45°)，∴BC＝eq\f(20·sin45°,sin60°)＝eq\f(20·\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq\f(20\r(6),3)(米).答案eq\f(20\r