第五章习题课

x2x22 令xsect,dxsecttantdt,2五 x2t x t2五 原式分

344

32 32 3costdtsint -2x4311x43110 令xsin2t,dx2sintcos x0t x1t 1sin原式分

6

26sintdt6(1cos2t 3 302cost0

(1sin2t) -3

2 0 0

3cos2tsin2t 原式第五

sec24 3tan2t4 4 3tan213定 13定3 arctantant303 36-4xsin

4 cos2x4 原第

0

1

x0章 4xdcos0章x4x4

4sec0 ln(secxtanx)

2-521x3ex20

原

11x2ex2d(x2

11x2dex22 2x2ex2e2 1

ex2d(x2 20ee2 分01 -612arcsin原式xarcsin原式xarcsin2 1x2解22第1x2解22第五 五 积 积11x211x20

2(1x2)2d(1x20 3 -700 2e2

2220e 2e2xdsin0 e2xsinx2

2sinxde20e22e2定0定

sin

22e2xdcos0 e2e2xcosx222cosxde2 e242e2

2e20

15

-8例 1sin 1sin |sinxcosx| 五2 2

x x 积

2(sinxcosx)

2(cosxsinx 22 22 22

222-9设fx)

xex2

x

4求 f(x4

1x f(x

f(t 章

11cos分

2tet2010

tdt

12et2dt2 2

1 tan

1et

2

-10

设fx)2为周期的奇函数，且fxxex0x7

求0f7 7 第

f(x)dx0f(x)dx f(f(章 1xexdxf(章0定分 xex1分0

1e0eex

10-11sinx,0x x例3 f(x)0，x0 求（x)x

f(t x 章在(,)内的表达式章 分 当x0时分

(x)

0dt0x

时,x

sin

1cos x时

(x)

2sin

1dt1x -12 x(x)

1cos

0x,,22第1x2第

2-13例4 f(x)为连续函数，证明 f(t)(xt)dt0(0f

f xx五xx

f(u)du)dt(t

f0

xf(u)dutf(t 分x xxf(t)dttf(t分x x0(xt)f(tx-14 sin3

cos3例5

2 d

2 sin sin

sin32 2 sin 2五 解令t,2五章

ddt,0t2 t sin sin2

sin3(t sin

020

t)cos(t

cos3 0costsin0

2 cos2 cos-15 sin3 sin3cos322 d

2 sin

sin2(cos2sincossin20五第五

(1sincos0 (

1sin2) -16例

fxlnt 求fxf1x11 x 1ln f )x x第五u

1xlnx

u(1

ulnudu

xtlnt

1 u

1 11xxf(x)f(1)xx

dt

tlnt

lnxxlnx

11

11 -17例7f2x)

xf(t)costdt,求f 1sin2 2f(x)f(x)f(x)cosx1sin2第

f(x)

2(1sin2五 f(x)f(x)f定

f(t)dt

2

1sin2 -18xx例8

f(x)

3tt2t

dt在区间01] f(x)第

3xx2x

x 因此f(x)在区间[0,1]是单调增加的，所以最小值章f(0 定

3t

dt3

2t

dt5

t

t

t3ln(t2

t1)13 3

arctan3

3(t3 39 39

-19 反常积

1a1dx(a例9讨论反常积分0(ax

p

0aa11a1

dxln(ax)0 0五 p 0(ax)五

dx

(p1)(a

0a11a11p所以p1时，反常积分发散，p1值为a11p

-20例10

xa)xx

2xe2xdx,求0 第

xa)xx

lim(1

xa

xa2ax)2a

e2a 定积

2xe2xdxxe2x01e2x

e2xdx0 e2a1

a1ln2-21例11

x (x21)(x2 (

2 (x21)(x22第 x

1, dx

1 x0t章定

xt 0

t (x21)(x2

(t

2