2020版数学（理）攻略大课标通用精练第二章3-第三节函数的奇偶性与周期性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第三节函数的奇偶性与周期性A组基础题组1。下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同，且与其在（-∞，0)上的单调性也相同的是(）A。y=1x B。y=log2｜x｜ C.y=1-x2 D。y=x3答案C函数y=—3｜x｜为偶函数,在（-∞，0）上为增函数，选项A的函数为奇函数,不符合要求；选项B的函数是偶函数,但其单调性不符合要求;选项D的函数为非奇非偶函数,不符合要求；只有选项C符合要求.2.已知函数f(x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=log3(x+1)+a，则f（—8）=（)A。—3-a B。3+a C。—2 D.2答案C因为函数f（x)为R上的奇函数，所以f(0）=a=0,f(—8)=-f（8)=-log3(8+1）=-2。3.如果f（x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（)A。y=x+f（x） B.y=xf（x) C。y=x2+f（x） D.y=x2f(x）答案B因为f（x)是定义在R上的奇函数，y=x为奇函数,所以y=xf（x）一定为偶函数。4。已知函数f(x）=x3+sinx+1(x∈R）,若f（a)=2，则f(-a）的值为()A.3 B。0 C.—1 D。-2答案B设F(x）=f（x）—1=x3+sinx,显然F(x)为奇函数,又F(a）=f(a)—1=1,所以F(-a）=f(—a)-1=-1，所以f（-a)=0。故选B.5.函数f（x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f（x)=x-1，则不等式xf(x)>0在［-1,3］上的解集为()A。（1，3） B.(—1,1）C。(-1,0)∪(1,3) D。（-1，0）∪（0，1）答案Cy=f(x)的图象如图。当x∈(-1，0）时,由xf（x）>0得x∈(-1,0）；当x∈(0,1）时,由xf(x)〉0得x∈⌀.当x∈（1,3)时,由xf（x）>0得x∈(1，3）。故x∈(-1,0）∪（1,3)。6.若偶函数y=f(x）在R上是周期为6的周期函数，且满足f（x）=(x+1)(x-a）（-3≤x≤3)，则f(-6)=。

答案-1解析∵f(x）=（x+1）（x-a）（—3≤x≤3）,∴f（x)=x2+（1—a)x-a(-3≤x≤3）,∵y=f（x）为偶函数,∴1—a=0.∴a=1,f(x）=(x+1)（x-1)（—3≤x≤3).易得f(-6)=f(-6+6）=f（0)=-1。7.（2019甘肃兰州模拟)已知偶函数f(x）在区间［0，+∞)上单调递增，则满足f(2x-1)〈f13的x的取值范围是答案1解析∵f（x)是偶函数,∴其图象关于y轴对称，又f（x）在［0,+∞）上单调递增,∴f(2x—1）〈f13⇔｜2x-1|〈13⇔138。已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x)—g(x)=12x，则f(x)=答案2解析在f(x）—g(x)=12x中，用(-x)替换x,得f(-x)—g(-x）=2x,由于f（x),g(x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(—x）=-f(x),g(—x)=g(x）,因此—f（x）-g（x)=2联立方程组得f(x)=2-9。判断下列函数的奇偶性：(1）f（x）=(x+1）1-(2）f（x)=loga(x+x2+1）(a>0且a解析（1）由1-x1+x≥0，所以f（x）的定义域为(—1，1］，不关于原点对称,所以f（x)既不是奇函数也不是偶函数。(2）易知函数的定义域为R，因为f（-x)+f（x)=loga[—x+(-x)2+1]+log=loga(x2+1—x)+loga（=loga［（x2+1-x)（=loga(x2+1—x2）=loga1=0，即f(—x)=-f（x)，所以f(x）为奇函数.10.设函数f(x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f32+x=-f3(1）证明y=f（x）是周期函数,并指出其周期；(2)若f(1)=2,求f（2）+f（3）的值。解析（1)证明:由f32+x=-f且f(—x）=—f(x),知f(3+x)=f3=-f32所以y=f(x)是以3为周期的周期函数.（2）因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f(0）=0，且f（-1)=—f(1）=—2,又3为y=f(x)的一个周期,所以f(2）+f（3）=f(—1)+f(0）=—2+0=—2。B组提升题组1.已知函数f（x）的定义域为R，当x∈[-2，2］时，f(x)单调递减,且函数f（x+2)为偶函数.则下列结论正确的是()A。f(π）<f（3)<f（2) B。f（π)<f（2)〈f（3）C.f（2)<f(3)〈f（π) D.f(2）〈f（π）<f（3）答案C因为函数f(x+2）为偶函数，所以函数f（x)的图象关于直线x=2对称，又当x∈［—2,2］时,f（x）单调递减,所以当x∈［2，6］时,f（x)单调递增,f（2）=f(4-2),因为2<4—2〈3〈π，所以f(2）〈f（3)〈f(π).2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)=x3-x,则函数y=f（x）的图象在区间［0，6]上与x轴的交点个数为（）A.6 B.7 C.8 D。9答案B因为当0≤x〈2时,f(x）=x3—x，又因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数,且f(0)=0,所以f（6）=f（4)=f（2)=f(0)=0.又因为f（1)=0，所以f（3)=f（5）=0。故函数y=f(x）的图象在区间［0，6］上与x轴的交点个数为7.3。设f（x）是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1+x）=f（1-x)，当-1≤x≤0时,f(x)=-x.（1）判断f（x）的奇偶性;(2)求函数f(x）在区间［—1,2］上的表达式。解析（1）∵f(1+x）=f(1—x),∴f(-x）=f(2+x)。又f(x+2）=f(x)，∴f(—x）=f（x）。又f(x)的定义域为R,∴f（x）为偶函数.(2)当x∈[0,1］时,-x∈［-1,0］,则f(x）=f(-x）=x;当1≤x≤2时，-1≤x—2≤0,f（x）=f(x-2)=—(x-2)=-x+2.故f（x)=-4.设f(x）的定义域为（—∞，0)∪（0,+∞）,且f(x）是奇函数,当x>0时,f（x）=x1（1)求当x〈0时,f（x)的解析式；（2）解不等式f（x)〈-x8解析（1)因为f（x）是奇函数，所以当x〈0时，f(x）=—f（—x）,—x〉0，又因为当x〉0时，f（x)=x1所以当x〈0时,f(x）=-f（-x）=—-x1-（2)当x〉0时，f（x)〈-x8，即x1-所以11-3x〈—18，所以3x-1<8，解得x〈2,所