2019北京四中初二（下）期中数学（教师版）

32/322019北京四中初二（下）期中数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）1.以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（）A.6，7，8 B.2，3，4 C.3，4，6 D.6，8，102.下列各式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.3.下列各式中，运算正确的是（）A.＝－2 B. C. D.4.如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（）A.0.6km B.1.2km C.1.5km D.2.4km5.在平行四边形中，若，则的度数为（）．A. B. C. D.6.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为()A.4 B.8 C.16 D.207.如图，在矩形中，对角线交于点，于点，若，则的度数是（）A. B. C. D.8.如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，若AC＝4，BD＝6，则菱形ABCD的周长为（）A.16 B.24 C.4 D.89.下列命题中，正确的是（）．A.有一组邻边相等四边形是菱形B.对角线互相平分且垂直的四边形是矩形C.两组邻角相等的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形10.矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（）A.1 B. C. D.二、填空题（本题共24分，每小题3分）11.函数y=–1的自变量x的取值范围是_____．12.如图，在数轴上点A表示的实数是_____________．13.如图，在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则的长为________．14.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点A的坐标为，则点的坐标是____．15.如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，则的长为_________．16.我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索的长为尺，根据题意，可列方程为__________．17.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC.其中正确的结论是___________________（填序号）18.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图，．求作：在中截出一个菱形．小敏的作法如下：（1）以点为圆心，长为半径作弧，交于点；（2）以点为圆心，长为半径作弧，交于点；（3）连接．所以四边形就是所求作的菱形．老师说：“小敏的作法正确．”请回答小敏的作图依据：_____________________________________________．三、解答题（本题共46分，第19题10分，第20-24题每题5分，第25题6分，第26题5分）19.计算：（1）（2）20.求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳解答过程．小亮：解：原式小芳：解：原式（1）___________的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：_________；（3）求代数式的值，其中．21.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，求∠DAB的度数．22.如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG．求证：四边形DEFG是平行四边形；23.如图，在中，，点在对角线上，点从点出发以每秒1个单位的速度向点运动，同时点从点出发以相同速度向点运动，到端点时运动停止，运动时间为秒．（1）求证；四边形为平行四边形；（2）求为何值时，四边形为矩形．24.图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）25.在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FGCE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．26.在平面直角坐标系xOy中，M为直线l：x＝a上一点，N是直线l外一点，且直线MN与x轴不平行，若MN为某个矩形的对角线，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为直线l的“伴随矩形”．如图为直线l的“伴随矩形”的示意图．（1）已知点A在直线l：x＝2上，点B的坐标为（3，﹣2）①若点A的纵坐标为0，则以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”的面积是；②若以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”是正方形，求直线AB的表达；（2）点P在直线l：x＝m上，且点P的纵坐标为4，若在以点（2，1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）为顶点的四边形上存在一点Q，使得以PQ为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形，直接写出m的取值范围．附加卷27.已知一个三角形的三边长分别为和．（1）请在右边网格中画出此三角形并使三个顶点均落在格点上；（2）该三角形的面积是________．28.阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求最大值．做法如下：解：由可知，而，当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较和的大小；（2）求最大值和最小值．29.已知是△ABC的中线．（1）如图1，过点作的平行线，过点作的平行线，二者交于点，连接．求证：；（2）如图，设是线段上的一点，过点作的平行线，过点作的平行线，二者交于点，连接．求证：

参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）1.以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（）A.6，7，8 B.2，3，4 C.3，4，6 D.6，8，10【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理逆定理即两短边的平方和等于最长边的平方逐一判断即可．【详解】解：．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，能构成直角三角形，故本选项正确．故选：．【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．2.下列各式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题涉及的知识点是最简二次根式，根据最简二次根式的定义就可以得到答案【详解】解：A.中，能开方开出来，B.=D.=故选：C．【点睛】此题重点考查学生对最简二次根式的理解，抓住最简是解题的关键．3.下列各式中，运算正确的是（）A.＝－2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质以及化简运算法则求解即可．【详解】解：∵＝2，∴选项A不符合题意；∵3－＝2，∴选项B不符合题意；∵2＋≠2，∴选项C不符合题意；∵＝2，∴选项D符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了二次根式的性质以及二次根式的化简和加减运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质以及二次根式的化简和加减运算法则．4.如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（）A.0.6km B.1.2km C.1.5km D.2.4km【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，代入求出即可．【详解】解：，，为的中点，，，，故选：．【点睛】本考考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出是解此题的关键．5.在平行四边形中，若，则的度数为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质邻角互补，对角线相等即可解答；【详解】在平行四边形中，∴，故选:B.【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的角的性质：邻角互补，对角线相等.6.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为()A.4 B.8 C.16 D.20【答案】C【解析】【分析】根据三角形的中位线定理求出BC，再根据菱形的四条边都相等解答．【详解】∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝2EF＝2×2＝4，∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．7.如图，在矩形中，对角线交于点，于点，若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据，求出，进而求出，根据矩形性质证明，推出，即可求出答案．【详解】解：设，则，四边形是矩形，，，，即，，，，四边形是矩形，相等且互相平分，，，，故选：．【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，关键是求出，明确本题中所含的四个等腰三角形．8.如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，若AC＝4，BD＝6，则菱形ABCD的周长为（）A.16 B.24 C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求得菱形ABCD的周长．【详解】∵四边形ABCD菱形，∴BO＝OD＝AC＝2，AO＝OC＝BD＝3，AC⊥BD，∴AB＝＝，∴菱形的周长为4．故选C．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．9.下列命题中，正确的是（）．A.有一组邻边相等的四边形是菱形B.对角线互相平分且垂直的四边形是矩形C.两组邻角相等的四边形是平行四边形D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形【答案】D【解析】【详解】A.有一组邻边相等的四边形是菱形，错误，应该是有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；B.对角线互相平分且垂直的四边形是矩形，错误，应该是对角线互相平分且相等的四边形是矩形，不符合题意；C.两组邻角相等的四边形是平行四边形，错误，应该是两组对角分别相等的四边形是平行四边形，不符合题意；D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，符合题意．故选D．10.矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=PG，再利用勾股定理求得PG=，从而得出答案．【详解】解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，∴∠GFH=∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH=FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH=PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，则GH=PG=×=，故选C．【点睛】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．二、填空题（本题共24分，每小题3分）11.函数y=–1的自变量x的取值范围是_____．【答案】x≥0【解析】【详解】解：根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，可知x≥0，故答案为：x≥0．12.如图，在数轴上点A表示的实数是_____________．【答案】【解析】【分析】如图在直角三角形中的斜边长为，因为斜边长即为半径长，且OA为半径，所以OA=，即A表示的实数是【详解】由题意得，OA=∵点A在原点的左边，∴点A表示的实数是-．故答案为-．【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出线段OA的长是解答本题的关键．13.如图，在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则的长为________．【答案】2【解析】【分析】过点A做AP⊥x轴，根据勾股定理计算即可．【详解】解：过点A作AP⊥x轴于P，

∵点的坐标为，∴OP=1，AP=，∴，故答案为：2．【点睛】平面直角坐标系中，求线段的长一般作x轴或y轴的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解．14.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点A的坐标为，则点的坐标是____．【答案】（0，－5）【解析】【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．详解】解：∵A（12，13），∴OD=12，AD=13，∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AD=13，在Rt△ODC中，，∴C（0，－5）．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，则的长为_________．【答案】【解析】【分析】先根据折叠与矩形性质，证明，再设，在Rt△中，根据勾股定理构造关于的方程，解方程即可．【详解】解：由折叠得，，∵四边形ABCD为矩形，∴，∴，，，设，则，在Rt△中，，解得，的长为．故答案为：【点睛】本题考查了轴对称的性质以及勾股定理．折叠在数学上一般表现为轴对称变换，折叠前后图形全等，即对应边和对应角相等．解题时，结合矩形特点利用勾股定理构造方程，即可求解．本题中证明是解题关键．16.我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索的长为尺，根据题意，可列方程为__________．【答案】x2−（x−3）2＝82【解析】【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．【详解】解：设绳索长为x尺，根据题意得：x2−（x−3）2＝82，故答案为：x2−（x−3）2＝82．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出相应方程是解题的关键．17.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC.其中正确的结论是___________________（填序号）【答案】①②④【解析】【分析】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE后即可证明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得⑤DP=EC．【详解】证明：过P作PG⊥AB于点G，∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，∴GP=EP，在△GPB中，∠GBP=45°，∴∠GPB=45°，∴GB=GP，同理，得PE=BE，∵AB=BC=GF，∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，∴AG=PF，∴△AGP≌△FPE，①∴AP=EF；∠PFE=∠GAP∴④∠PFE=∠BAP，②延长AP到EF上于一点H，∴∠PAG=∠PFH，∵∠APG=∠FPH，∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP⊥EF；③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45，∴当∠PAD=45或67.5或90时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误．∵GF∥BC，∴∠DPF=∠DBC，又∵∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，∴PF=EC，∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，∴⑤DP=EC．∴其中正确结论的序号是①②④．故答案为：①②④．【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．解题关键在于熟练掌握各性质定理.18.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图，．求作：在中截出一个菱形．小敏的作法如下：（1）以点为圆心，长为半径作弧，交于点；（2）以点为圆心，长为半径作弧，交于点；（3）连接．所以四边形就是所求作的菱形．老师说：“小敏的作法正确．”请回答小敏的作图依据：_____________________________________________．【答案】有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．【解析】【分析】由作法得，先证明四边形为平行四边形，然后利用可判断四边形为菱形．【详解】解：由作法得，四边形为平行四边形，，，，四边形为平行四边形，∵，平行四边形为菱形．故答案为：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．【点睛】本题考查了几何作图，菱形的判定定理．决此类题目的关键是根据数学定义、定理，结合图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．本题关键是熟知菱形的定义和判定定理．三、解答题（本题共46分，第19题10分，第20-24题每题5分，第25题6分，第26题5分）19.计算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同；（2）根据二次根式的乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同．【详解】解：(1)＝(2)＝【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号．20.求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．小亮：解：原式小芳：解：原式（1）___________的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：_________；（3）求代数式的值，其中．【答案】（1）小亮；（2）；（3）2025．【解析】【分析】（1）由知，据此可得，从而做出判断；（2）根据二次根式的性质可得答案；（3）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得．【详解】解：（1），∴1-a<0，则，所以小亮的解法是错误的，故答案为：小亮；（2）错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质，故答案为：；（3）当时，，∴原式．【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质．21.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，求∠DAB的度数．【答案】135º．【解析】【分析】在直角△ABC中，由勾股定理求得AC的长，在△ACD中，因为已知三角形的三边的长，可用勾股定理的逆定理判定△ACD是不是直角三角形．【详解】解：∵∠B=90°，AB=BC=2，∴AC==2，∠BAC=45°，又∵CD=3，DA=1，∴AC2+DA2=8+1=9，CD2=9，∴AC2+DA2=CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴∠DAB=45°+90°=135°．22.如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG．求证：四边形DEFG是平行四边形；【答案】详见解析【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可．【详解】证明：∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC．∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DG=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形．【点睛】本题考查的是中点四边形、平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．23.如图，在中，，点在对角线上，点从点出发以每秒1个单位的速度向点运动，同时点从点出发以相同速度向点运动，到端点时运动停止，运动时间为秒．（1）求证；四边形为平行四边形；（2）求为何值时，四边形为矩形．【答案】（1）见解收析；（2）当或时，四边形为矩形【解析】【分析】(1)由题意证明，，得出CE=AF，AE=CF，即可证明.(2)根据矩形的判定只需要让一个角是直角的平行四边形即可得出矩形,由此思路计算即可.【详解】（1）在中，∵，∴．由题意知，．在与中，，∴，∴，同理可得,∴，∴四边形为平行四边形．（2）当或时，四边形为矩形．理由如下：由平行四边形的性质知，要使是直角，只需，则．∵，∴，∴，即．此时或．【点睛】本题考查平行四边形的判定和矩形的判定,关键在于灵活运用条件.24.图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）（1）求1路车从A站到D站所走路程（精确到0.1）；（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复）【答案】（1）9.7；（2）图形见解析．【解析】【分析】（1）先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长，再相加求得所走的路程的近似值；（2）根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可．【详解】（1）根据图1可得：，，CD=3∴A站到B站的路程=≈9.7；（2）从A站到D站的路线图如下：【点睛】考点：作图—应用与设计作图；勾股定理的应用．25.在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FGCE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．【答案】(1)见解析；(2)45°；(3)见解析【解析】【分析】（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F即可;（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可直接求得；（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形,由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．【详解】（1）证明：如图1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC，ABCD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，∴∠CEF=∠F．∴CE=CF．（2）解：连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG与△DCG中，∵，∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG，∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGA+∠DGA=90°，∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG=45°．（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．∵ADGF，ABDF，∴四边形AHFD为平行四边形∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°∴△DAF为等腰三角形∴AD=DF，∴CE=CF，∴平行四边形AHFD为菱形∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF在△BHD与△GFD中，∵，∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．26.在平面直角坐标系xOy中，M为直线l：x＝a上一点，N是直线l外一点，且直线MN与x轴不平行，若MN为某个矩形的对角线，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为直线l的“伴随矩形”．如图为直线l的“伴随矩形”的示意图．（1）已知点A在直线l：x＝2上，点B的坐标为（3，﹣2）①若点A的纵坐标为0，则以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”的面积是；②若以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”是正方形，求直线AB的表达；（2）点P在直线l：x＝m上，且点P的纵坐标为4，若在以点（2，1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）为顶点的四边形上存在一点Q，使得以PQ为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形，直接写出m的取值范围．【答案】（1）①以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”AMBN的面积为2；②直线AB的表达式为y＝﹣x+1或y＝x﹣5；（2）m的范围为﹣7≤m≤﹣1或1≤m≤7．【解析】【分析】（1）①根据“伴随矩形”的定义画出图形即可解决问题；②根据题意，当以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形时，点A的坐标为（2，-1）或（2，-3），利用待定系数法即可解决问题；（2）如图3中，求出经过特殊位置时当P坐标即可解决问题：当Q1坐标为（-2，-1）时，可得P1（-7，4）；当Q2坐标为（2，1）时，可得P2（-14）；当Q3坐标为（2，-1）时，可得P3（7，4）；当Q4坐标为（-2，1）时，可得P4（1，4）；再结合图象即可解决问题；【详解】（1）①如图1中，∵A（2，0），B（3，﹣2）．∴以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”AMBN的面积＝1×2＝2．②如图2中，根据题意，当以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形时，点A的坐标为（2，﹣1）或（2，﹣3）．可得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+1或y＝x﹣5．（2）如图3中，当Q1坐标为（﹣2，﹣1）时，可得P1（﹣7，4）；当Q2坐标为（2，1）时，可得P2（﹣14）；当Q3坐标为（2，﹣1）时，可得P3（7，4）；当Q4坐标为（﹣2，1）时，可得P4（1，4）；观察图象可知：在以点（2，1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）为顶点的四边形上存在一点Q，使得以PQ为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形时，m的范围为﹣7≤m≤﹣1或1≤m≤7．【点睛】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、正方形的性质、“伴随矩形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点解决问题，属于中考压轴题．附加卷27.已知一个三角形的三边长分别为