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文档简介

关于二元泰勒公式第1页，共16页，2023年，2月20日，星期二一、二元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式:推广多元函数泰勒公式第2页，共16页，2023年，2月20日，星期二记号(设下面涉及的偏导数连续):

一般地,

表示表示第3页，共16页，2023年，2月20日，星期二定理1.的某一邻域内有直到n+1阶连续偏导数,为此邻域内任一点,则有其中①②①称为f

在点(x0,y0)的n

阶泰勒公式,②称为其拉格朗日型余项

.第4页，共16页，2023年，2月20日，星期二证:令则利用多元复合函数求导法则可得:第5页，共16页，2023年，2月20日，星期二一般地,由的麦克劳林公式,得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.第6页，共16页，2023年，2月20日，星期二说明:(1)余项估计式.因f

的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界

M,则有第7页，共16页，2023年，2月20日，星期二(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:(3)若函数在区域D

上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上定理1第8页，共16页，2023年，2月20日，星期二例1.

求函数解:的三阶泰勒公式.因此,第9页，共16页，2023年，2月20日，星期二其中第10页，共16页，2023年，2月20日，星期二时,具有极值二、极值充分条件的证明的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数定理2

(充分条件)第11页，共16页，2023年，2月20日，星期二证:由二元函数的泰勒公式,并注意则有所以第12页，共16页，2023年，2月20日，星期二其中,,

是当h→0,k→0时的无穷小量,于是(1)当AC－B2＞0

时,必有A≠0,且A

与C

同号,可见,从而△z＞0,因此第13页，共16页，2023年，2月20日，星期二从而△z＜0,(2)当AC－B2＜0

时,若A,C不全为零,无妨设A≠0,则时,有异号;同号.可见△z

在(x0,y0)邻近有正有负,第14页，共16页，2023年，2月20日，星期二++－若A＝C

＝0,则必有B≠0,不妨设B＞0,此时可见△z

在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当AC－B2＝0

时,若A≠0,则若A＝0,则

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