循环冗余校验码(CRC)的基本原理

循环冗余校验码(CRC)的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫(N,K)码。对于一个给定的(N,K)码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2R，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过C(x)*2R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。几个基本概念1、多项式与二进制数码多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，

以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1,无此幂次项对应0。可以看

出：x的最高幂次为R,转换成对应的二进制数有R+1位。多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。如生成多项式为G(x)=XM+XA3+X+1，可转换为二进制数码11011。而发送信息位1111,可转换为数据多项式为C(x)=XA3+XA2+X+1o2、生成多项式是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。应满足以下条件：a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。b、当被传送信息(CRC码)任何一位发生错误时，被生成多项式做模2

除后应该使余数不为0。c、 不同位发生错误时，应该使余数不同。d、 对余数继续做模2除，应使余数循环。将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料査到常用的

对应于不同码制的生成多项式如图9所示：NK码距dG(x)多项式G(x)743x3+x+11011743x3+x2+11101734x4+x3+x2+111101734x4+x2+x+11011115113x4+x+1100111575x8+x7+x6+x4+111101000131263 x5+x2+110010131215x10+x9+x8+x6+x5+x3+11110110100163573 x6+x+1100001163515x12+x10+x5+x4+x2+1101000011010110411024x16+x15+x2+111000000000000101图9常用的生成多项式3、模2除（按位除）模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位移位做下一位的模2减。步骤如下：a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。b、除数右移一位，若余数最高位为1,商为1,并对余数做模2减。若余

数最高位为0,商为0,除数继续右移一位。c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。【例】1111000除以1101：1011 商1111000--一被除数1101 除数010000110101010111 余数CRC码的生成步骤1将X的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2R3、用生成多项式(二进制数)对信息码做模2除，得到R位的余数。4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x3+x+1o4位的原始报文为1010，

求编码后的报文。解：1、将生成多项式G(x)=x3+x+1转换成对应的二进制除数1011o2、 此题生成多项式有4位(R+1),要把原始报文C(x)左移3(R)位变成10100003、 用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除：1001——商10100001011 除数10001011011——余数(校验位)5、编码后的报文(CRC码)：1010000+0111010011CRC的和纠错在接收端收到了CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除若得到余数为0,则码字无误。若如果有一位出错，则余数不为0,而且不同位出错，其余数也不同。可以证明，余数与出错位的对应关系只与码制及生成多项式有关，而与待测碼字(信息位)无关。图10给出了G(x)=1011,C(x)=1010的出错模式，改变C(x)(码字)，只会改变表中码字内容，不改变余数与出错位的对应关系。收到的CRC码字余数出错位位 A7A6A5码A4A3A2A1正确1010011000无错误1010010101000110101111011011100001111100110010011001010100011110111101 1234567图10(7,4)CRC码的出错模式(G(x)=1011)如果循环码有一位出错，用G(x)作模2除将得到一个不为0的余数。如果对余数补0继续除下去，我们将发现一个有趣的结果；各次余数将按图10顺序循环。例如第一位出错，余数将为001,补0后再除，第二次余数为010,以后依次为100，011…，反复循环，这就是“循环码”名称的由来。这是一个有价值的特点。如果我们在求出余数不为0后，一边对余数补0继续做模2除，同时让被检测的校验码字循环左移。图10说明，当出现余数(101)时，出错位也移到A7位置。可通过异或门将它纠正后在下一次移位时送回A1。这样我们就不必像海明校验那样用译码电路对每一位提供纠正条件。当位数增多时，循环码校验能有效地降低硬件代价，这是它得以广泛应用的主要原因。通信与网络中常用的CRC在数据通信与网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，

而后采用CRC码产生r位的校验位。它只能检测出错误，而不能纠正错误。一般取r=16，标准的16位生成多项式有CRC-16=x16+x15+x2+1和

CRC-CCITT=x16+x15+x2+1。一般情况下，r位生成多项式产生的CRC码可检测出所有的双错、奇数位错和突发长度小于等于r的突发错以及(1-2-(r-1))的突发长度为r+1的突发错和(1-2-r)的突发长度大于r+1的突发错。例如，对上述r=16的情况，就能检测出所有突发长度小于等于16的突发错以及99・997%的突发长度为17的突发错和99・998%的突发长度大于17的突发错。所以CRC码的检错能力还是很强的。这里，突发错误是指几乎是连续发生的一串错，突发长度就是指从出错的第一位到出错的最后一位的长度(但是，中间并不一定每一位都错)。【例1】某循环冗余码(CRC)的生成多项式G(x)=x3+x2+1，用此生成

多项式产生的冗余位，加在信息位后形成CRC码。若发送信息位1111和

1100则它的CRC码分别为_A_和_B_。由于某种原因，使接收端收到了

按某种规律可判断为出错的CRC码例如码字_C__D_和_E—(1998

年试题11)供选择的答案A：①1111100 ②1111101 ③1111110 ④1111111B：①1100100②11001011100111③1100110④C〜E：①0000000②0001100③0010111⑤1000110⑥10011111011000⑦1010001⑧解：AG(x)=1101,C(x)=1111C(x)*23£(x)=1111000^1101=1011余111得到的CRC码为1111111BG(x)=1101,C(x)=1100C(x)*23£(x)=1100000寺1101=1001余101

得到的CRC码为1100101C〜E：TOC\o"1-5"\h\z分别用G(x)=1101对①〜⑧作模2除①0000000学1101余000 ②1111101骨1101余001③0010111罟1101余000 ④0011010^1101余000 ⑤1000110寺1101余000⑥1001111^1101余100 ⑦1010001寺1101余000 ⑧1011000害1101余100所以_C_、_D_和_E_的答案是②、⑥、⑧【例2】计算机中常用的一种检错码是CRC，即_A_码。在进行编码过程中要使用_B_运算。假设使用的生成多项式是G(X)=X4+X3+X+1，原始报文为11001010101,则编码后的报文为_C_。CRC码_D_的说法是正确的。在无线电通信中常采用它规定码字长为7位•并且其中总有且仅有3个

“1”这种码的编码效率为_E_。供选择的答案：A：①水平垂直奇偶校验 ②循环求和 ③循环冗余 ④正比率B：①模2除法 ②定点二进制除法 ③二一十进制除法 ④循环移位法

C：①1100101010111110010101011100Dy可纠正一位差错②110010101010011C：①1100101010111110010101011100Dy可纠正一位差错④110010101010101②可检测所有偶数位错④可检测所有小④（④可检测所有小④（log235）/7于、等于校验位长度的突发错E：①3/7 ②4/7 ③log23/log27解：从前面有关CRC的论述中可得出： A：③循环冗余 B：①模2除法C：G(x)=11011,C(x)=11001010101,C(x)*24寺G(x)=

110010101010000寺11011余0011得到的CRC码为②110010101010011D：从前面有关通信与网络中常用的CRC的论述中可得出：④可检测所有

小于、等于校验位长度的突发错E：定比码又叫定重码，是奇偶校验的推广。在定比码中，奇数或偶数的性质保持不变，然而附加一种限制，每个字中1的总数是固定的。