勾股定理复习 (2) 教学设计

勾股定理复习教学目标：【基本目标】进一步理解勾股定理及其逆定理，能用它们解决问题.【教学重点】用勾股定理及逆定理解决问题.【教学难点】用勾股定理的逆命题证明几何问题.一、知识框图，整体建构lT勾股定理|直角三角形-应用T勾股定.的逆定理|~~|反证法|二、知识梳理，快乐晋级本章通过问题的形式来梳理知识，以加深对基础知识的理解，对基本方法的把握.问题1：勾股定理与逆定理的内容是什么？问题2：勾股定理与逆定理的证明方法是怎样的，它们各体现什么样的数学思想？你是怎样理解的？问题3：如何判定一个三角形是直角三角形？问题4：反证法的步骤是什么？【教学说明1教师提出的问题以小组竞赛的形式回答，教师根据回答的情况,做必要的讲解与说明.三、典例精析，升华旧知例1(1)下列命题中正确的是()A.1.5,2,2.5是勾股数B.至少有一个角大于60°的反面是至多有一个角大于60°C.边长为3a,4a,5a的三角形是直角三角形D.直角三角形的两边是3和4,它的面积是6(2)如图，每个小正方形的边长为1,点A、B、C是小正方形的顶点，则NABC二.用卮第(2)题图第(3)题图(3)如图，长方形ABCD中，AB=15cm,点E在AD上，且AE=9cm,连结EC将长方形沿BE翻折，点A恰好落在EC上的点A'处，则A'C二cm.【答案】(1)C45°提示：连结AC,由勾股定理的逆定理证明NACB=90°,AB=BO5即可.8由条件知ABA'C^ACDE,AAZC=DE,在RtZXCDE中，设A'C=x,VA/E=AE,ACE=9+x,VCE2=CD2+DE2,(9+x)2=x2+152,解得x=8(cm).例2如图圆柱形的玻璃杯，高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是多少厘米？解：画出全半侧面的展开图,如图，则EF=9cm,AE=4cm,CM=4cm,取点A关于直线EF的对称点A',贝ijA'E=4cm,连结A'C交EF于P,则PA+PC最短，作GC_LEN于G,在RtZXA'GC中，AP+PC=，9?+12?=15(cm).【教学说明】本例是“将军饮马”的数学模型与用勾股定理求立体图形表面两点间最短距离的有机融合.注意以处理这两个数学模型的方法讲解.例3在RtZ\ABC中，己知两直角边a与b的和为pcm,斜边长为qcm,求这个三角形的面积.角军：=a+b=p,c=q,・，.a2+2ab+b2-(a+b)2-p1,1+必二/(勾股定理).2ab-p'-q2Srsbc=cm2)•【教学说明】因为RtZ\ABC的面积等于」ab,所以只要求出ab就可以完成2本道题.分析己知条件可知a+b=p,c=q,再联想到勾股定理a'bJc2,则这个问题就可以化归到一个代数问题上解决，由a+b=p,a2+b2=q2,求出ab.例4如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，你能算出水池的深度吗？【教学说明】对这类问题求解，关键是恰当的选择未知数，然后找到一个直角三角形，建立起它们之间的联系，列出方程，最终求解方程即得所求，设水池深为x米，BC=x米，AC=(x+l)米，因为池边长为4米，所以BA'=2米，在Rt△A'BC中，根据勾股定理得x?+22=(x+l)2解得x=L5.TOC\o"1-5"\h\z例5如图所示，ZXABC中，AB=26,BO20,BC边上的中线AD=24,卜求AC./\解：因为AD是边BC上的中线，且BC=20,/IARD(所以BD=DC=~yBC=\O.因为AD2+BD2=576+100=676,AB2=262=676,AD2+BD2=AB\所以NADB=90。，即AD_LBC.(勾股逆定理)在RtA.4DC中,AC=v'W+DC2=历+1()2=26(勾股定理)【教学说明】要求AC的长度，首先确定AC所在的aACD,而关键是要判断出AADC是直角三角形，由于AB=26,BC=20,可得BD=10,而又知中线AD=24,所以可以先通过勾股定理判断出AABD是口△,这样就可以得到NADC=90°,从而再应用勾股定理求出AC的长.B例6已知，如图，在四边形ABCD中，ZABC=90°,CD1AD于点D,且CD2+AD2=2AB2.⑴求证AB=BC;/‘一二二三(2)当BE_LAD于点E时，试证明：BE=AE+CD./“乜解：由条件CD?+ADJ2AB2,并结合图形，WCD2+AD2=AC2,又AC?=AB[+BC?(连结AC),从而2ABJAB2+BC?,有BOAB(勾股定理功不可没)；(2)过C作CF±BE于F,由AB=BC,ZABE=ZBCF,ZAEB=ZCFB,知△ABE—BCF,有BF=AE,且CD=FE,.•.BE=BF+EF=AE+CD.【教学说明】本题将全等三角形与勾股定理有机结合，注意由其平方条件联想勾股定理..四、师生互动，课堂小结这节课你有什么收获？还有什么疑惑？复习到哪些数学思想方法？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师总结归纳.课后作业完成练