2022届河北省部分学校高三下学期5月联考数学试题（解析版）

2022届河北省部分学校高三下学期5月联考数学试题

一、单选题

1.设加eR,若4=-l+2i与Z?="+加的虚部相等，则z「z?=（）

A.-6-iB.2+2iC.3-iD.-6+2i

【答案】D

【分析】由题意得出加的值后计算

【详解】依题意可得%=2,则z「Z2=（—l+2i）（2+2i）=-6+2i.

故选：D

2.已知集合4=[€冲2-4》一540},B={-1,0,1,2},则（）

A.{-1,0,1,2}B.0C.{0,1,2}D.{1,2,3}

【答案】C

【分析】根据集合的交集运算即可求解.

【详解】解：A={xe/v|x2-4x-5<0）={xe^|-l<x<5}={0,l,2,3,4,5）,

AnB={0,l,2},

故选：C.

3.双碳,即碳达峰与碳中和的简称,2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，

2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研窕与推广，到2060

年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%,新型动力电池随之也迎来了蓬勃

发展的机遇.Peakerf于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A.h）,放电时间f（单位：

h）与放电电流/（单位：A）之间关系的经验公式C=/"1,其中〃=1°832为&必

2

常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流/=10A时，放电时间f=57h,则当放电

电流/=15A,放电时间为（）

A.28hB.28.5hC.29hD.29.5h

【答案】B

【分析】根据题意求出蓄电池的容量C,再把/=15A代入，结合指数与对数的运算性

质即可得解.

【详解】解：根据题意可得C=57/0",

则当/=15A时，

57/0"=15"1,

所以t=57・(|)=57(|『=57{|)争=28.5h，

即当放电电流/=15A,放电时间为28.5h.

故选：B.

-TJ%)=g,则sin(2-2a)(l+tana)1+tan=(

4.已知sinIH)

141472

A.B.—D.

~999

【答案】A

【分析】由两角差的正切公式展开tan■(TTf-a)可求得(l+tana)[l+tan7(Tf-⑶]的值，由诱

44

导公式、余弦的二倍角公式变形可求得sin(J-2a),从而可求得结论.

O

【详解】

兀

tan—tana

711-tana

(1+tana)[\+tan(----a)]=(1+tana)1+4----------=(l+tana)(l+)=2,

4几

1+tan—tana1+tan«

47

TV

y-a

sin(^-2a)=-cos(--2a+^)=-cos(4-2a)=2sin2(y-a)-l=2x(—)2-1=--,

714

所以原式=_^*2=_蓑

故选：A.

5.游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大，被戏称为“王者农药”.某市青少年健

康管理委员会对该市下学年度青少年上网打《王者荣耀》的情况进行统计，作出如下人

数变化的走势图.

根据该走势图，下列结论正确的是()

A.这半年中，青少年上网打《王者荣耀》的人数呈周期性变化

B.这半年中，青少年上网打《王者荣耀》的人数不断减弱

C.从青少年上网打《王者荣耀》人数来看，10月份的方差小于11月份的方差

D.从青少年上网打《王者荣耀》人数来看，12月份的平均值大于1月份的平均值

【答案】D

【分析】根据走势图，逐一分析各个选项，即可得答案.

【详解】对于A：由走势图可得，青少年上网打《王者荣耀》的人数没有周期性变换，

故A错误；

对于B：从2月开始，青少年上网打《王者荣耀》的人数上升，故B错误；

对于C：去年10月份波动较大，方差大，去年11月波动较小，方差小，故去年10月

份的方差大于11月份的方差，故C错误，

对于D：由走势图可得，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，故D正确；

故选：D

6.已知a=侬，/>=log,7,c=ln27,则“，b,。的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】利用黑函数和对数函数的单调性判断.

3

【详解】解：因为2=我<。=@<历=3,ft=log37<log;（9=2,c=in27>Ine=3,

所以b<a<c,

故选：B.

7.已知三棱锥P—ABC,其中PA_L平面ABC,N84C=120。，PA=AB=AC=2,则

该三棱锥外接球的表面积为（）

A.12万B.16乃C.20万D.24乃

【答案】C

【分析】根据余弦定理、正弦定理，结合球的性质、球的表面积公式进行求解即可.

【详解】根据题意设底面的外心为G,。为球心，所以OGJ_平面A6C,因为B4JL

平面

所以OG//PA,设。是心中点，因为OP=OA,所以£>O_LR4,

因为P4_L平面ABC,AGu平面ABC,所以AG_LP4,因此OD//AG,

因此四边形OD4G是平行四边形，故OG=AD=；PA=1,

由余弦定理，得

BC=ylAB2+AC2-2ABACcosl20,=^4+4-2x2x2x(-l)=273,

由正弦定理，得2AG=M=AG=2,

T

所以该外接球的半径R满足a=(OG)2+(AG)2=5=S=4TR2=20%,

故选：C.

【点睛】关键点睛：运用正弦定理、余弦定理是解题的关键.

8.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反

射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线后:£-耳=1（。>0/>0）

的左、右焦点分别为6，B，从尸2发出的光线经过图2中的4,8两点反射后，分别经

4

过点C和。，且cos/a4c=-不ABA.BD,则E的离心率为（）

A.亨B.fC当

【答案】B

【分析】结合题意作出图形，然后结合双曲线的定义表示出〃耳打入，进而利用勾股定

理即可得到10片=402,从而可求出结果.

【详解】由题意知延长。,OB则必过点耳,如图:

AF—AF=2a

由双曲线的定义知i2

BF}-BF2=2a

44

又因为cosNB4C=-y,AB工BD,所以co$N耳设则

fAF=5m-2a

43=4皿34=3根，因此17一,从而5加一2。+3〃?-2。=4相，所以。=加，又

[88=3m-2a

因为期2+862=百居2,所以(3犷+/=(24,即10A2=4C2,即《=乎，

故选：B.

二、多选题

9.已知数列｛可｝的前〃项和为S,,,且满足4=1,生=2,an+l=4a„-3a„_t,则下面说

法正确的是()

A.数列｛。用为等比数列B.数列｛。川-3q｝为等差数列

3"-1n

C.勺=3""+1D.S“=+—

42

【答案】ABD

【分析】由已知递推式可得4a〃=3(a“—4i)或a,向-3。“=q-3，*，从而可得数列

为公比为3的等比数列，数列｛。,用-3%｝为常数列，从而可求出进而可

分析判断

【详解】根据题意得

a“+i=4a“-3a,ina“+|+她=(%+4)a“_3a,i=仕+4)(凡一11^勺_],令

k=-y~7nz2+4k+3=0nZ=-l或％=-3,所以可得：。“+|-=3(。“一a“_J或

%+4

a“+L3a“=a“-3a“T，所以数列应“一总为公比为3的等比数列，故选项A正确;

数列-3%｝为常数列，即为公差为0的等差数列，故选项B正确;

所以%-a“=lx3「且.—3a“=一1

.i

解得V空，所以c错误,

所以s“=4+a2+---+an

3°+1

+，.+

222

=；（3°+夕+…+3"一|）+]

11一3〃n

=—x------+一

21-32

=芝匚+己，所以D正确,

42

故选：ABD.

22

10.已知椭圆M:二十/=1（〃＞人＞0）的左、右焦点分别为1（-6,0）,乙（石,0）,过

a~

点心的直线与该椭圆相交于A,B两点,点P在该椭圆上，且|阴、1,则下列说法正

确的是（）

A.不存在点户，使得/耳尸6=90。B.满足△白尸工为等腰三角形的点P有2

个

若。，则%%邛

C4"=60D.|P制-|Pg|的取值范围为[-26,26|

【答案】CD

【分析】根据条件求得椭圆的方程，然后结合椭圆图像及性质逐一判断即可

【详解】根据题意:可得C=G，|A@的最小值为1,所以|AB|=£-=1,

2

0i]a=2,b=l,c=y/i,所以椭圆方程土+y2=l

当P为该椭圆顶点时，此时/后尸❷=120。,

所以存在点P,使得/月2工=90。，故A错误；

当点P在椭圆的上，下顶点时，满足△耳P鸟为等腰三角形,

又因为2-石4归国42+百，内用=2百，

所以满足归国=|可用的点尸有两个，

同理,满足归耳|=|耳闾的点P有两个,故B错误.

若/片”=60。，则S』F="tan竺=正，

423

所以C正确.

因为|「制一|P段=|P周-(2a-|P用)=2俨用-4,

分析可得|PK|e[2-6,2+G],|P用-|PR|e[-2G,2G],

所以D正确.

故选:CD.

11.若过点尸(1,为最多可作出M〃wN)条直线与函数”x)=(x-l)e*的图象相切，则

()

A.2+«<3

B.当〃=2时，2的值不唯一

C.而可能等于-4

D.当〃=1时，2的取值范围是‘8,-鼻口网

【答案】ACD

【分析】由题设切点为(%,(x°-l)e"),进而得2=-”(/-2%+1),再构造函数

g(x)=-ex(x2-2x+l),将问题转化为y=g(x)与y=4的交点个数问题，再数形结合求

解即可.

【详解】解：不妨设切点为5,(%-1)小),因为尸(x)=xe不

所以切线方程为y~^=x°e­(x-1),

所以(x。—l)e""—2=xoe'"(x0—1),整理得2=—e"(x：—2x0+1),

所以令g(x)=—e'(x2—2x+l),则g(x)=—el(x_—1),

所以，令g'(x)=O得x=±l.

所以，当X<-1或X>1时，g'(x)<0,g(x)<0,当时，g'(x)>0,

4

因为，当x趋近于F时，g(x)趋近于0,g(-D=—,g(0)=7,g(D=O,当x趋近

e

于+<»时，g(X)趋近于7,

所以，函数g(x)的图像大致如图,

，4、1212

当”=3时，义€—一,0,所以4+〃<3,--<力?<0,<-4,故2〃可能等于-4,C

IeJee

正确：

当

当”=1时，Ae(―co,——)kj{0),显然4+〃<3,故D正确；

e

综上，2+n<3,A正确.

故选：ACD

12.在正方体ABCO-AZG。中，点E为线段BQ上的动点，则()

A.直线。E与直线AC所成角为定值B.点E到直线AB的距离为定值

C.三棱锥E-48。的体积为定值D.三棱锥£一48。外接球的体积为定值

【答案】AC

【分析】A.易证AC_L平面DQ8B,判断：B.由点E与R重合和与巴重合时判断；C.由三

棱锥％判断；D.由平面A8。，得到三棱锥E-48。外接球的球心

。在AG判断.

【详解】如图所示:

A.因为ACJ.82AC，R。，又BDcD、D=D,所以AC,平面。。84，又DEu平面

平面RDB4，AC±DE,则直线DE与直线4c所成角为定值，故正确；

B.当点E与A重合时，点E到直线AB的距离夜°,当点E与4重合时，点E到直线

AB的距离。，故错误；

C.因为三棱锥/认8。=匕《初，且点A到面E8。的距离为定值，"ESD为定值，故体积

为定值，故正确；

D.易知AG，平面A田。，所以三棱锥E-A8。外接球的球心。在AG上，当点E移

动时;球心。的位置改变，则球的半径R改变，所以外接球体积不为定值，故错误；

故选：AC

三、填空题

13.2022年北京冬奥会的某滑雪项目中有三个不同的运动员服务点，现需将10名志愿

者分配到这三个运动员服务点处，每处需要至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方

法一共有种.

【答案】22050

【分析】由题意可得分配到三个运动员服务点处的志愿者数目为2,4,4或3,3,4,

然后根据分类加法原理和分步乘法原理可求得结果

【详解】根据题意得，这10名志愿者分配到三个运动员服务点处的志愿者数目为2,4,

4或3,3,4,

「204「4

所以不同的安排方法一共=22050,

A?

故答案为：22050

14.设a=1.946+2.066,若+则整数"的值为

【答案】129

【分析】依题意可得1.946+2.066=（2—0.06）"+（2+0.06）6,写出二项式的展开式，即可

得到〃的近似值，即可得解;

【详解】解：因为1.94,+2.06,=(2-0.06)6+(2+0.06)6

=2X(26+C>24X0.062+C^X22X0.064+C^X2°X0.066)

®2X(26+C^X24X0.062)=129.728,所以〃=129.

故答案为：129

15.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学

史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对

1+2+3+L+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后

对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数

/(x)=-^-=,设数列｛““｝满足%=/(0)+/(_1)+八2)+…+/(七，+"l)(〃eN*),若

2+V2nnn

存在〃eN”使不等式n2+4n-2履“+2740成立，贝必的取值范围是.

［答案］］「芋49、

【分析】根据题意先求/(x)+/(l-x),然后利用倒序相加法求凡，则由

1>/八一r4B1、+4〃+27(/2+1)~+2(〃+1)+24241、.

〃-+4A〃―2%%+27工0可得女之----------=-——-——-——-----=(〃+1)+——+2,求

Z7+1〃+1〃+1

24

出(〃+1)+—；+2的最小值即可求得人的取值范围

2X

【详解】因为=

2)+\/2

由z、2・2'-x2122、⑪、

所以/(冗)+/(I-X)=---产H;----p==---十H----7==---产H----产=1,

2'+>/22'-'+722*+应2+V2-2'2'+^22，+及

由=/(0)+/(-)+/(-)+••.+f(R+/(1)(〃eN*),

nnn

n—1/7—21

a“=/(D+/(-)+/(-)+-••+/F)+/(0),

nnn

n+1

所以2a“=〃+1,所以〃〃=-^―,

所以由"2+4〃-2如“+2740,得“2+4”一2h但+2740,

2

/+4〃-%(〃+1)+27W0,

/+4〃+27工k(n+1),

匚匚I、17+4〃+27(〃+1)~+2(〃+1)+2424

所以攵N----------=-——-----——----=(〃+1)+——+2,

H+1几+1〃+1

令g(x)=(%+1)---r,(xeN")则当0<x<2>/6-1,gW递减,当x>2^6一1时，g(x)

x+\

递增,

因为8(4)=5+-r=-r公(3)=4+亍=10,

554

49

所以g(x)min=g(4)=不，

所以％咤49+2=］59，

-49、

即&的取值范围是

「、

故答案为：歹49，”J

四、双空题

16.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距200km.飞行员为了避开某一区域的雷

雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成。角的方向飞行，飞行到C地，再

沿与原来的飞行方向成45。角的方向继续飞行60夜km到达终点，则4,C两地之间的

距离为km,tanO=

a

【答案】20病y

【分析】由余弦定理求出AC,即可求出cosA,再根据同角三角函数的基本关系计算

可得；

【详解】解：由余弦定理得AC?=A4+BC'-ZAB-BCcosB

=2002+(60&『-2x200x60&cos45°=23200,

所以AC=20而km.由余弦定理得

2002+（20V58）2-（60V2）2

AB-+AC1-BC27

cosA=

2ABAC2x200x20758

则sin。=sinA=71-cos2A=~^=,故tan6=包0=2.

V58cos。7

3

故答案为：20\/58;—

五、解答题

17.已知函数〃x)=Asin(s+e)(A>0,ty>0,|e|<；),且〃x)图象的相邻两条对称

轴之间的距离为请从条件①、条件②、条件③中任意选择两个作为已知条件作答.

条件①："X）的最小值为-2；

条件②：的图象的一个对称中心为（普，。）;

条件③：的图象经过点（葛,-1）.

（1）求/（x）的解析式；

（2）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,A.,a=/（A）,求

周长的最大值.

TT

【答案】⑴/（x）=2sin（2x+?）

O

⑵2+2#+2贬

【分析】（1）若选①②，由①得A=2,再根据正弦函数的图象的对称中心可求出*,即

可得解;

若选①③，由①得A=2,再根据正弦函数的图象经过点（葛可求出即可得解;

若选②③，根据正弦函数的图象的对称中心可求出根据正弦函数的图象经过点

手,-1）求出A,即可得解.

（2）根据a=求出。=2,再根据余弦定理得儿,再根据基本不等式

儿4（警）2,即可得解.

【详解】（1）因为/（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为所以g=即7=万，

所以。=?=竺=2,所以/(x)=Asin(2x+s),

T7t

、兀57t

若选①②，贝ijA=2,2X—+(p=k兀，keZ,即8=%兀---,ksZ,

126

TTTT

因为1夕1＜彳，所以9=:，

26

冗

所以f(x)=2sin(2x+z)；

6

若选①③，则A=2,2sin(2x—+^)=-1,gpsin(^+^)=-l,

632

mALII兀r-Lr、i7/r5413%..5%11%/口兀

因为1例＜大，所以_7_＜_^_+。＜-^-,所以丁+。=-得。=/，

2636366

TT

所以/(x)=2sin(2x+w)；

o

若选②③，2x区+夕=氏万，kjZ,即。=女兀一型，keZ,

冗IT71

因为1例＜7，所以夕=/，此时/(*)=Asin(2x+w),

266

因为/(学)=-1,所以Asin(2x----1—)=-1,即Asin-----=—1,所以A=2,

6666

TT

所以/(x)=2sin(2x+w)

6

IT

(2)由(1)知，.f(x)=2sin(2x+：),

因为A=g，所以a=/(g)=2sin(W+m)=2,

o636

/Q

因为〃2=b2+C2-2bc-cosA，所以4=S+C)2-26C-26C^-,

(6+C)2-4

所以(2+百)A=3+C)2—4,即bc=

2+6

因为儿W(容儿当且仅当6=c时，取等号,

所以粤誓■'所以"CW2#+20,

所以4+6+CW10+46，即AABC周长的最大值为2+2#+2拒.

18.如图，在五面体ABCDE中，△A8C是边长为2的等边三角形，四边形88E为直

角梯形，DE//BC,ZBCD=9CP,CD=DE=\,AD=45.

(1)若平面AOEfl平面ABC=/,求证：DE///；

(2)若瓯=两，求平面ACF与平面仞£所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

05a

31

【分析】(1)由线面平行的判定可得。£//平面4BC,再由线面平行的性质即可证结论.

(2)取8C的中点0,连接A。，E0,由已知及线面垂直判定有CD,平面ABC,进

而可得EO_L平面A8C,构建空间直角坐标系并确定相关点坐标，求出面ACF、面AED

的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.

【详解】(1)由。E〃8C,DEa面ABC,8Cu面ABC,

所以。E//平面ABC,又面ADECl面ABC=/,£>£u平面A£>E,

所以。E〃/.

(2)取BC的中点O,连接AO,EO.

由C£)2+CA2=A£)2,则COL4C,又CDLBC,AC^BC^C,

所以CD,平面ABC,

由CO//DE,CO=DE,则四边形COED是平行四边形，

所以EO//CD,则EO_L平面ABC.

如图建立空间直角坐标系。-孙z，则A(>/3,0,0),£>(0,1,1),£(0,0,1),C(0,l,0),B(0,-1,0),

设平面ACF的法向量为说=(Xi，M，Z1),又AF=(-6,-/,g),4。=(-百,1,0),

—yfix,V.H—z.=0_

则’22，若X|=1,即,”=(1,6,3JJ).

-瓜1+必=0

设平面AEO的法向量为3=（々，必，Z2）,又荏=（-石,0,1）,诙=（0,-1,0）,

则卜用+了,若”1,即分=（1,0,如，

所以cos<疝E>=旭，平面ACF与平面ADE所成锐二面角的余弦值为曲.

3131

19.已知数列｛%｝满足4=2,%=8,4,+2=4”“+|-3””.

⑴证明:数列｛--凡｝是等比数列;

（2）若舟=1I」2/,）\，求数列出的前〃项和

bgKl+%）/ogXl+an+2）

【答案】（1）证明见解析

(-1)"2

(2)7；=

5+2广4

【分析】（1）由递推关系式可得4+2-。向=3（“,出-4）,由等比数列定义可得结论;

（2）利用等比数列通项公式和累加法可求得死，由此可得

瓦=（T）"7一v+7一v，分别在〃为偶数和〃为奇数的情况下，利用裂项相消法

15+1）5+2））

和（=1+「以|求得结果，综合两种情况可得

【详解】（1）由a“+2=4a“+|-3a“得：an+2-an+l=3（a„+1-a„）,又见-《=6,

，数列是以6为首项，3为公比的等比数列.

n|n

⑵由⑴得:a„tl-a„=6-3-=2-3,

3

则q-a,1=23-'，a“T-a”-2=2-3"2，«„-2-a„-3=2-3"-,«2-«,=2-3',

各式作和得：a„-ax=2x（3+3?+…+3">2*3（；―；）-3"—3'

又q=2,

=(T)“W+66+5)=(-1)"3+6"+5)=([[

""=log；3"Fog；3"+2=(“+1)2(〃+2)2=(一)[6+1)2+(〃+2)2

当"为偶数时，

。＞("孙(4-丹…+-—舟)

，1+1]_11

1____]______1________11____2

当〃为奇数时，T”=1，+]-b“+]

(“+3)24(〃+2/("+3)25+2)「Z；

（-1）"

综上所述：（=

（〃+2）一4

20.冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目

之一.冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动

员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的

营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心。的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷

冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆。中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分,

冰壶的重心落在圆环8中，得1分，其余情况均得。分.已知甲、乙投掷冰壶的结果互

不影响，甲、乙得3分的概率分别为：，J；甲、乙得2分的概率分别为!■,；；甲、

34512

乙得1分的概率分别为9，7

56

M

⑴求甲、乙两人所得分数相同的概率;

(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X,求X的分布列和期望.

【答案】呜

(2)分布列见解析；期望为]47

【分析】(1)求出甲乙二人都得0分的概率，然后由两人同时得0分、1分、2分、3

分计算概率并相加即可;

(2)由题意X可能取值为0,1,2,3,4,5,6,分别计算出概率得分布列，由期望

公式计算期望.

1211

【详解】⑴由题意知甲得。分的概率为3一二一^二话,

乙得o分的概率为1一:一!一：=」，

42612

1Io]it11OQ

所以甲、乙两人所得分数相同的概率为含.

(2)X可能取值为0,1,2,3,4,5,6,

则P(X=0)=—X—=」-,

'71512180

p(X=l)=-x-+-x—=—

'715651236f

n/AZ…1111211

'71525651210

D/v1111211119

'7154525631290

11211111

PD(/Xv=4)=-X-4--X-+-X-=—,

'754523636

n/v-21114

P(X=5)=-x-+-x-=—,

'7543215

P(X=6)=—x—=—,

'73412

所以，随机变量X的分布列为:

X0123456

111191141

P

?80361090361512

c111cle19)11,4=147

以E(X)=0x---F1xF2xF3xF4xF5xF6x—=—.

'718036109036151212

21.直线/：y=履+，交抛物线V=4)，于A,B两点，过A,5作抛物线的两条切线，相

交于点C,点C在直线y=-3上.

(1)求证：直线/恒过定点7,并求出点T坐标；

(2)以T为圆心的圆交抛物线于PQMN四点，求四边形PQMN面积的取值范围.

【答案】(1)证明见解析，丁(0,3)；

C32行

⑵1°F•

【分析】(1)设4(玉,乂)，8(%,%),C(八一3),利用点斜式写出直线AC,BC的方

程，由C在两直线上，即可知直线4B的方程，进而确定定点.

222

(2)联立抛物线/=”和圆T：x+(y-3)=r,由题设及一元二次方程根的个数求

参数r的范围，由邑W加_卬结合韦达定理得到品刎关于r的表达式,

构造函数并利用导数研究区间单调性，进而求范围.

【详解】⑴设A&,y),8(孙％)，C(m,-3),贝蛛”c=5，小吟,

直线AC为：y-y=5(x-xJ=y=掾-y,同理直线BC为：>=掾_%,

‘-3="|

2

把C(m,-3)代入直线AC,BC得:,

「3=罟-M

.•.A(x“J,砍孙％)都满足直线方程一3=岸7,贝打=a+3为直线A3的方程,

故直线/恒过定点7(0,3).

如图，设圆T的半径为厂，加(芯,乂)，N(x2,y2),Q(f,yJ,尸(一々,必)，

222

把V=4y代入圆T：x+(y-3)=r,整理得V-2y+9-/=。，

A=4-4(9-r2)>0

由题意知：关于y的一元二次方程有两个不等实根，则*%+必=2>0,可得

=9-r>0

2&<r<3.

SRQMN」加；冲［加一必|=2(豉+加)|%-必|=21乂+%+27^・|%一必|

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