点亮师生智慧的心灯

欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助!欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助!感谢阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助!感谢阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助!欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助!感谢阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助!点亮师生智慧的心灯高中数学 愉快高效教与学孙舜宝著中国优生优育协会会长、中共早期著名领导人中国优生优育协会会长、中共早期著名领导人秦邦宪（博古）之女题词：在李政道博士题词前留影作者简介：孙舜宝男一九五六年十一月出生于南京市江宁县，中共党员，现为江苏省重点高中南京市秦淮中学党总支书记、教学副校长，江苏省考研会会员，南京市高中数学教学带头人，南京市数学会会员，一九九四年被评为中学高级教师。该同志幼年丧父，从小随外婆多处漂泊。十五岁时开始独立生活，在生产队边参加集体劳动，挣工分养活自己，边读初、高中。中学毕业后，在农村务农四年。恢复高考制度第一年，考入南京晓庄师范数学专业班，毕业后经书面考试进入省重点中学任教，后又考入江苏教育学院数学本科班，参加南京大学硕士课程班、海南大学文学写作班（函授）学习。该同志先后在农村中学、市重点中学、省重点中学、国家级重点中学四所学校任教。在市、省、国家级三所重点高中工作期间，均分别担任过校长、教学副校长，对各种基础的高中学生情况有一定研究。从事学校行政管理工作二十年来，一直没有离开高中数学第一线教学的课堂教学，其中一半以上时间，担任高三毕业班的数学教学。该同志多年担任高中班主任。即使在担任学校行政管理工作的前十年，仍然坚持任两个高中班级的数学教学，同时兼任班主任。与学生感情深厚，擅长对学情调查和分析，调查报告曾获中国科学院管理科学学术成果二等奖。平时注意研究教与学的实际，业余写作、发表学术论文４０余篇。另外，在报刊、杂志发表新闻、特写、思想教育专稿约３０篇，任教以来，教育教学效益，受到师生、家长和社会的广泛好评。目录第一章对中学数学教与学的认识和思考第二章课堂教学方法实践与探索新课讲授篇1、循序渐进法2、讲练提高法3、数形结合法4、温故知新法5、实验探索法6、动定分析法7、猜想验证法8、讨论归纳法9、巧用迁移法10、自学辅导法二、复习总结篇1、概念梳理法2、图表总结法3、题型凝练法4、学生自主法5、类比对应法6、提纲扩充法7、查漏补缺法8、错误矫正法9、系统构建法10、信息反馈法三、评估命题篇1、单元评估法2、夯实基础法3、重点突出法4、能力提高法5、前后呼应法6、错误会诊法四、练习讲评篇1、重点突出法2、难点突破法3、优生展示法4、错解选讲法5、板演点评法6、一题多解法7、举一反三法8、易错多练法9、优生减负法10、弱生帮扶法第三章愉快高效的学习方法案例与点拨１、故事一：他为什么经常与同宿舍同学发生矛盾２、故事二：建立《纠错、典型收集本》，学会经常反思和提高３、故事三：“做学生，每写一个字符都要负责任！”４、故事四：高考少做一张试卷，反而取得了好成绩５、故事五：笔记，不是在漂亮的本子上写了一点潦草的字符６、故事六：只有减轻学生负担，才能让优秀学生飞翔得更高７、故事七：培养兴趣，比其它教学活动更重要８、故事八：学习的时间，一天不一定是２４小时第四章教与学反思与创新一、已公开发表的数学教与学论文选摘１、由勾股数引出的数学猜想２、三角函数解题中的几种易发错误３、巧用“三分法”，解数学难题也轻松４、一国际数学竞赛侯选题的多种解法及推广５、一道值得商榷的高考题６、从一道几何题求（tgx+ctgx）的极植７、一个常见恒等式的应用８、线段的巧妙平移和调整９、用补图法巧解平面几何难题二、已公开发表的教育论文选摘１、数学教学中主动性、合作性学习与减负增效的实验和思考２、“R、V、T方案”——改革教学参考和课堂教学的一点设想３、胡杨根雕４、激发和培养学生的优良学习动机，贵在让学生学习中真正“动”起来５、初中优生高中落伍原因调查与分析６、“教是为了不教”——构建学生自主学习，创新课堂教学模式的方案７、“激励”是使教育成功的重要手段８、善问，良师之长也９、创设多元发展环境，点亮学生智慧心灯１０、“困减”一个极易忽视的教育良机１１、公约化管理新探１２、有感于同学间的礼品第五章新课程管理与探索１、教师应该是社会上“大写的人”２、以课堂教学为中心向课堂教学要效益３、立师德铸师魂讲规范提效益４、教学质量，学校立校之本提升质量，教师责无旁贷５、优化课堂教学结构提高课堂教学效益６、南京市秦淮中学新课程实施意见（试行）７、秦淮中学2005—2007学年新课程实施计划及细则８、南京市秦淮中学新课程实施、发展规划９、学生素质评估（学分管理）组织机构与职责１０、秦淮中学关于试行课堂教学视导制的决定１１、南京市秦淮中学校本研训制度与实施方案１２、南京市秦淮中学校本教材开发、施用有关规定１３、南京市秦淮中学师生研究性学习的有关规定１４、南京市秦淮中学教师继续教育的有关规定１５、充分发挥党组织的战斗堡垒作用，为学校四星级创建保驾护航第六章附录：课程改革几个主要文件附件一：国务院关于基础教育改革与发展的决定附件二：教育部：基础教育课程改革纲要(试行)附件三：江苏省普通高中课程改革实施方案(试行)附件四：江苏省普通高中课程设置与管理指导意见（试行）第一章对中学数学教与学的认识和思考优先发展教育，将我国真正建设成为人力资源强国，是历史赋于我们的神圣使命，是高举中国特色社会主义伟大旗帜，全面建设小康社会、关注民生的重点建设内容。教育是民族振兴的基石。更新教育观念，深化教育教学内容的改革，深化教育教学手段和方法的改革，减轻中小学生课业负担，提高学生综合素质，建设全民学习、终身学习的学习型社会，是中国特色社会主义赋于当代每一个教育工作者的神圣职责。进入二十一世纪以来，科学技术迅猛发展，知识经济成倍翻番，国际竞争日益激烈，可持续的科学发展观，已为全世界有识之士所认同。新世纪科学发展的一个重要特征是：“在几乎所有的科技领域，各门科学都有一种更为数学化的趋势（摘自《世纪科技论坛报告》）”。著名科学家A.N.Rao曾一针见血地指出：“一个国家科学进步的程度，可以用它消耗的数学来度量。”美国前总统里根，首次当选总统时宣布的治国策略中,也将加强中小学数学教育教学，作为治国的大政方针之一，郑重地提了出来……。当今世界上各国政要和绝大多数科学家对数学学科发展和运用的关注，从各个方面证明了数学素养在提高人的素质方面的必要性，进而与加快科技发展、实现国富民强的重要性。著名数学家柯尔莫戈罗夫更是非常自豪地说：“数学可以应用的领域，原则上是无限的。”中国是一个历史悠久的文明古国，中华民族同时又是在数学探究和运用方面，为人类文明发展史做出过重要贡献、勤劳智慧的伟大民族。在世界上许多地区和民族还没有文字的两千多年前，我们的祖先所提倡的“礼、乐、射、御、书、数”中，“数、算术”就与“唯此为大”的“礼”并列通称之为“六艺”；《九章算术》、《骨髀算经》、祖冲之父子所提出的关于圆周长与直径之比的“祖率”等（现称π值），虽经千年仍熠熠生辉。不可否认，在中华民族的文明发展史中，数学的发展也有过一些曲折的历程。在近千年“学而优则仕”的乡试、县试、殿试中，“论语”、“中庸”、“大学”、“三纲五常”等文言软书（个人将毛笔书写的文字，姑且称之为一种软书）的“语言学科”是主要考试和评判的内容，其它一些实用理论和技术，均被归之为不登大雅之堂的“技”、“艺”、“术”，被排斥在进取仕途的考试内容和过程之外！久而久之，有智、有才，试图通过考试达到“学而优则仕”的年轻一代，在家庭和长辈们的干涉下，绝大多数放弃了自己在“技”、“艺”、“术”等方面的爱好、探讨和研究，一个本来具有四大发明的泱泱大国，逐渐落伍成了西方列强和某些小国欺辱的对象！那些运用中华民族四大发明之一、火药发明的侵略者，用洋枪洋炮打开了中华古国的大门，到处烧杀抢掠，以血的教训告诉我们：放弃“技、艺、术的研究，就会落后，落后就要挨打”。面对装备、技艺领先的外侮，禁烟都督林则徐深有感触，他冒着被圣上杀头的危险，提出了“师夷长技以制夷”的主张，这也许是我们的民族，在血的教训下，第一次喊出“学习外族技艺，以强吾族”的声音，可惜被可怕的自尊和狂妄淹没了。他的重臣闽浙总督和船政大臣更是直接联名向皇帝启奏：“水师之强弱，以炮船为宗；炮船之巧拙，以算学为本。”骁勇的古代战将，在那血与火的拼杀中，竟然领悟到了“以算学为本”，想到了运用今天称之为“数学”学科的理论，是解决海战之要素“炮船”之“本”，实在令我等后人肃然起敬！实际上，在很长的历史阶段，中华民族在数学的研究上，有着其它任何民族无法攀比的优势，许多近一两百年才被世界上普遍研究的数学问题，我们的祖先早在一两千年以前，就以形象化的实际问题分析，构建了目前还属于中学数学中最主要的数学概念模型。我们伟大的祖先们，以“鸡兔同笼”、“大小和尚吃馒头”等形象化比如，讲述了一元一次方程组、一元二次方程的形式和求解；以“宝塔上的灯盏”构建了数列的基本模型；以“杨辉三角”形象地给出了“二项式展开式的系数”；以“一尺之槌，日取其半，万世不竭”和中国特有的“割圆术”化方为圆，讲述了极限的思想，而极限思想实际上是近代微积分学的基础和近代高等数学的起源支柱。只可惜因为我们的象形化汉字，在没有引入阿拉伯数字和其它字母符号以前，表达这样的数字关系，特别是复杂的数式关系时，是那样的复杂和困难，以致于目前我们可以读到的，我们的祖先所写作的有关数学理论研究的许多著作，看起来是那样的生涩难懂，即使有大学本科以上学历的数学专业师生，也未必能够很顺畅地进行阅读和理解。毋庸置疑，这样书写和描述的数学理论，在其推广和使用上，特别是在古代绝大多数人还是文盲和半文盲的时候，必然落得个“阳春白雪，和者必寡”的窘态。由此看来，即使是世界上最伟大的文字，如果不借鉴全人类的文化精华，在某些方面也会出现一些瑕疵和不足。教育部最新颁布的《普通高中课程标准》指出：“数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。数学的运用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，它与计算机技术的结合，在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中，发挥着独特的、不可替代的作用，数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。”《普通高中课程标准》的这段文字，明确地指出了数学的定义和价值。现实确实是这样，让我们仔细看看当今五彩缤纷、日新月异的世界：物理学、化工学、生物学、天文学、经济学和统计学等传统学科中，数学的运用越来越深入，越来越广泛，是人们认为随着时代的发展理所当然的事。而过去一度认为几乎与数学联系不多的人口学、考古学、气象学、规划学、建筑学、医药学，甚至是人们日常生活中的社会学，数学的运用也到了几乎无所不在的地步。考古研究中碳14的测定，是古生物年代确定的主要依据，用的是典型的指数对数计算；气象学中天气变化及未来气象的描述，运用了概率统计和模糊数学；规划学中的数理统计、建筑学中的数学曲线运用（如北京０８年奥运会的主建筑之一“鸟巢”的设计）和模型建构、生物学中的数学优选，传染病学研究中指数计算和偏微分方程的科学精确描述等等，可以说数学为各门科学的数据计算、模型建构、趋势探索、逻辑推理、外延拓展、综合运用、快速发展，提供了其它学科难以替代的强有力支撑，为各门学科的迅猛发展提供了工具，增添了腾飞的翅膀。二十世纪医学检查、诊断学中，出现过一例非常有趣的发明，国外研究放射学科的医生，在辅导自己孩子的小学数学时突发灵感：运用数学中最最简单的加减法原理，辅以计算机的程序控制和操作，在摄片中将短时间内不变的人体皮肉、骨格、毛发等影像“做减法”减去，将不断流动的血液影像“做加法”增加强化，拍摄出了世界上第一张清晰的血流图像，发明了一系列医学检测机械。让以前根本看不见摸不着的病人各种血管中的血流情况，血管破裂后机体组织中瘀血情况等，如空中网络般地、直观形象地展示在医生和病人面前（比过去手术探查更简捷明快），找到了医学诊断中自古以来医生们只能凭经验和想象、估计和猜测，但是无法确定、无法看得见、无法准确描述的、梦寐以求的清晰诊断参考图片。医学中这一运用数学最基本原理的发明，为快速地进行医学诊断，及时地抢救心脑血管病变患者等，提供了直观、清晰、有力的参考，为挽救许多心脑血管患者的生命，甚至可以说为全人类的健康做出了巨大的贡献。目前在很多规模较大医院普遍使用的脑血流图成像，就是数学加减法这一最基本原理的一项典型的运用；近年来，解析几何中椭圆曲线的两个焦点所具有的光学和力学性质，在军事目标测定，医学的体外碎石、体外手术中也发挥了奇妙的作用；数学原理、数学知识在各个领域的应用实在是举不胜举……。这再一次证明了伟大的导师马克思很久以前的预言：“一门学科只有当达到了能够灵活运用数学时，才算是真正地发展了。”“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。”（摘自拉法格在《马克思回忆录》）的正确与先见之明。数学理论、数学逻辑、数学模型、数学建构、数学计算等，在当今世界各个领域的广泛运用，已是不争的事实。数学几乎无处不在，数学的应用还将向更广泛、更深入的方向发展，这是人类早已形成的共识。随着世界的科学进步和发展，令人目不暇接的数字化时代必将迅速地到来，数学教育与数学研究的发展和要求，必将随着社会的需求，不断地提高，越来越普及。快速发展的现代社会，需要人们有更多的数学素养和数学知识，需要更多的具有一定数学思维，能够运用数学知识、数学方法和数学技能的人才，这就给数学教育，特别是数学的基础教育提出了更高的要求。《普通高中课程标准》前言中指出：“数学教育作为教育的组成部分，在发展和完善人的教育活动中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面，在推动社会进步和发展的进程中起着重要的作用。”“在现代社会中，数学教育又是终身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是终身发展的需要。数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思路有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思想方式解决问题、认识世界。”《普通高中课程标准》的这两段前言，实际上指出了中学数学教育的地位、作用和重要性。中小学的数学教育，在普及义务教育的当代，乃至在今后很长的时间，必然是中小学课程中最最主要的学科之一（对照江苏省０８年新高考方案，数学在高考中的地位和作用，其重要性更是不言而喻），也是培养和提高人们素养的最重要的基础学科工程。我们可以预言，随着时代的进步，科技的发展、社会的需求，对从事中小学数学教育的老师们，必将提出越来越高的要求。随着国家经济实力的增长，高中教育必将越来越普及，高中的数学教育更是渴望、并且必然得到进一步的发展。与此同时，我们相信，人类的进步和发展也必将为从事数学教育，特别是从事中小学数学普及教育的工作者们，提供更多的施展才华的广阔天地。我国中小学数学教育的研究，中小学数学教育的教材教法研究，教学模式、教学方法、教学过程的研究，一直是中小学数学教师特别关注的内容，也是各种教育教学杂志和期刊的热门研究话题。许多中小学教师和从事教育教学研究的学者和专家，通过调查、实践、研究、分析、总结等，在教学方法方面，提出过许许多多有影响、有价值的方法，如近年在教学实践中运用比较广泛的目标教学法、几段式教学法、结构定向教学法、精讲多练教学法、自学辅导教学法、四步、五步教学法、情景感染式教学法、单元阶段式教学法、讨论研究式教学法等等，对传统的数学教学模式进行了不断地改革和创新，同时也取得了一大批丰硕的成果。在新一轮的课程改革中，教学模式和教学过程的改革更是一项十分重要的内容，中小学数学教育的教材教法研究，教学模式、教学方法、教学过程的研究，必将出现更加喜人的局面。一般地说，教学过程是对教与学活动的严格组织、协调和控制的过程。不管是信息技术广泛运用于教与学的现在，还是在有新的科学技术手段运用于教学的将来，课堂教学在很长一段时间内，仍然是学校教育教学过程的中心环节；是全面贯彻党和国家的教育方针，全面推进素质教育，全面提升教育教学质量，全方位培养高素质人才的主渠道；是教师传授知识，让学生学会学习，掌握知识体系，灵活运用所学知识解决各种问题的主阵地；是每一位从事教育教学的教育工作者，必须经历和思考研究的课题；是提高教育教学效益、提高师生素质的重要实践途径。教育科学研究认为：课堂教学是一个由多种因素组成的复杂系统。教学系统要素的构成可分为两个方面：构成要素：教师、学生、教材和教学条件；过程要素：教学目标、内容、方法、组织形式和教学结果等。前者是教学活动的主体、媒介和教学过程可以运用的前提条件，是决定教学质量最基本的实体因素；后者是教学系统运行过程中的逻辑程序，是教师个人在教学实践中选择的教学方案（一般是教师个人认为最佳的教学方案），是有效地组织教学过程，提高教育教学质量，理应遵循的逻辑程序。课堂教学同时又是一项极其复杂的科学劳动。教师要在有限的时间内，尽可能多地教给学生应该掌握的知识和技能，要求学生理解、掌握和灵活运用所学知识解决所遇到的各种问题（近阶段有形的评价是各种形式的考试，是学生解决考试中各种问题的能力评估）。教师要在课堂教学过程中大力开发学生的智力、激发学生的兴趣、提高他们的能力、磨练他们的意志、影响他们的人格和品德、陶冶他们的情操等。这一系列的任务要想较好地实现和完成，决不是一件轻而易举的事。课堂教学的复杂性、针对性、灵活性、实效性，决定了教师课堂教学的独创性、实践性、科学性、实用性。由于中小学教师每天面对的是感情丰富、灵活多变、千差万别、朝气蓬勃的青少年学生，任何教师很难完全应用现有的，哪怕是正式出版的名人名师教案、集体备课教案，去直接地、刻板地在课堂上进行教学。即使是自己准备好的教案，完全用它去解决课堂教学中随时可能出现的问题，实践中也是件很困难的事（有经验的老师可能准备的适用些、充分些）。所以说，教学方案的设计、教学内容的编排和处理、教学方法和途径的选择、教学手段和辅助器材的选用，上课过程中教学策略的随时调整，教学情感随着学生的变化而变化地进行交流，教学过程的灵活组织和实施等等，都需要教师在教学过程中、在课堂教学的具体实践中，发挥自己的主观能动性，进而体现教师课堂教学的实践性和独创性。在课堂教学的具体运作中，由于各种要素排列的不同，教师实际操作的顺序、过程的不同，教师与学生情感交流沟通的情况不同等等，同样的教学内容，同样的备课预案，可能产生不同的组合效应，形成不同的教学效果。只有各种教学因素，以学生为教学主体，以最佳的形式排列组合，互相协调运行、相得益彰，教师以饱满的精神状态全身心地投入，才能达到课堂教学整体功能的优化，实现课堂教学的优质高效。本人在中学工作三十余年，先后担任过近二十届高三毕业班的数学教学和初中奥赛班的数学教学，在国家级重点、省重点、市重点、乡村“五、七”中学等四所中学，均担任过校长、分管教学副校长等教学管理工作，一直坚持在教学第一线讲授中学数学课程。校内、校外听课近千节，在省内外多次上过公开课、研讨课、观摩课、电视实况直播课。在各级各类报刊、杂志上发表过数十篇教育教学文章，参编过几册教学参考书。当面聆听过徐利治、常庚哲、周伯熏、苏淳、单土尊等大师的教诲，并得到过他们的多次个别指点和书信指导，深深感到学无定法，教学更无定法，教学研究和探索永无止境。一个老师自己有一定的水平是必备的，但仅仅是教师有水平并不能代表他就能教好学生，教学工作是一个复杂的系统工程。科学的教学理论，必须贯彻落实到每一节实实在在的课堂教学细节之中去，现有的各种教学理论、教学模式、教学方法，必须由一节节课堂教学去组织、去实施、去实践、去探索。基于上述认识，本人力图在高中数学课堂教学的具体方法、高中学生的学习方法，特别是数学学习的方法等方面，借鉴专家、学者的理论，结合自己的所见所闻和教与学实践，包括一些学生学习的个案分析，作一些粗浅的探索，供从事中小学数学教学的同仁们参考，为初任中小学数学教师的年轻同志们铺路，为正在进行中小学学习的同学们，开设一个学习数学方法的一个窗口，同时希望得到专家、学者和同仁们的指点。第二篇课堂教学方法实践与探索新课讲授篇万事开头难，良好的开端，等于成功了一半。数学教学无论是知识体系，还是学生的认知结构，新课讲授都是数学教学中十分重要的一环。高中数学教与学，与初中、小学的数学教与学一个明显不同的特点就是，特别注重数学概念的教与学。绝大部分高中数学的解题过程，就是依据高中数学的基本概念，加上基本的数学思想和多种方法的综合运用。在数学新课讲授时，如果您一走上讲台，就能牢牢地吸引住学生的注意力，教学中能激发学生的兴趣，启迪学生的思维，充分调动学生的积极性，教学过程中又能很好地实现师生间的互动，那么，这节数学课就有了很大的成功希望。根据数学教材不同的章节和内容特点，采取不同的教学方法和措施，经常让学生有新鲜感，对教师是高要求，对学生是喜闻乐见。在个人的三十年高中数学教学中，除大家所熟知的常见基本方法外，我尝试了一些下列方法：1、循序渐进法数学课堂教学不但要帮助学生获得新知识，更要提高学生数学学习的兴趣和包括自主学习在内的各种能力。在一次到另外的农村学校借班上公开课的比赛时，我抽签上课的内容是初中的“一元一次方程的解法”，经过半小时准备，我走进了一个完全不熟悉的教室。课堂上我简单地讲清了一元一次方程解法的基本概念以后，作了如下的课堂教学设计（每次先写出一个方程，简单讨论后感到学生已经理解了，再紧接着写出下面一个稍微改动的方程，题后括号内容不向学生展示，仅是个人备课时的基本设想）：解下列方程：1.X-7=5(小学基础)2.2X-7=5（X的系数改为2）3.2X-7=5X（右边添字母X）4.2/3X-7=5X（左边系数改为分数）5.2/3（X-7）=5X（左边加括号）6.2/3（X-7）=5X-3（右边增加常数项）7.2/3（X-7）=5X-3/2（右边系数改为分数）8.0.2/3（X-7）=0.5X-3/2（部分系数改为小数）9.0.2/3（X-7）=0.5X-3/2+1（右边增“+1”项）10.－X-0.2/3（X-7）=0.5X-3/2+1（左边增X项并添负号）一个小题板书后简单地讨论一下，紧接着写出了下一个小题，一连串简单的小题，每次仅作一点点变化，学生感到既熟悉又生疏，还有一点点神奇！结果，那些可爱的农村孩子，一改过去的沉默和羞涩，一个个跃跃欲试，甚至站起来拼命伸长着自己的小手要求发言，没等我去布置、要求，举起的一只只小手犹如一艘艘前进着舢舨的小帆，迫不及待地要求回答和上黑板板演。上黑板的同学之中，绝大多数同学都给出了正确的答案，让在后面听课的原任课老师，既高兴又感到不可思议？“没有想到平时见到生人就害怕的农村孩子，在数学课堂上也能如此活跃！没有想到高中教师到乡下教一节初中数学课，也能得到农村孩子的如此欢迎！”下乡开设示范课取得了非常满意的结果。在平常的高中教学中，我也常以此法试探着设计一些可用此法讲授的课堂教学，经过一段时间的培养，学生积极主动地去解决新问题的能力，明显有了提高。课堂如此设计，虽常有与课本例题形似而不相同的“不足”，但设计巧妙同样能覆盖课本中知识。经过实践证明，数学教材中的例题，教师没有在课堂上照搬照抄，学生在课堂上常常有新鲜感，反而能激发学生阅读教材的积极性，解决学生那种“数学书没有看头，老师都讲了”，其实老师讲了学生不一定都会的矛盾。由易而难、循序渐进的课堂设计，向学生展示了复杂问题的产生过程，揭示了数学复杂问题的来由和本质，同时也给学生以战胜困难的决心和信心，（这是数学教学中常常容易忽视但却是十分重要的东西，许多高中学生，初中数学成绩还比较好，进入高中以后，数学学习遇到了一定的困难，他们中绝大多数人会自觉地进行一段时间的努力。但努力一段时间后，考试成绩不一定有明显地提高。此时，许多孩子可能会在数学学习的信心上有些动摇。此时，老师必须给予及时的帮助，特别是学习信心上、心理上的帮助。否则，这些学生的数学很快就会与班级的整体水平落下一定的距离，形成数学成绩明显的两极分化）同时又培养了学生在解决问题时，化繁为简、化难为易的能力，无形中提高了学生的素质。2、讲练提高法数学教与学与文言学科教与学的一个最明显的区别是；有些文科知识，学生听懂就能掌握，看懂就能参加考试。但数学的教与学，仅仅教会学生记忆、读懂公式，不做相应的练习和训练，一般情况下，学生感到好象是掌握了，模仿课本的例题，依照教师的讲解，似乎也能做一些作业，但实际上学生的掌握和理解还仅仅是很浮浅的。题目的条件和结论略做改变，公式的应用略作变形，这些学生往往就会感到不能适应。在讲授函数的奇偶性这一节课时，我在两个平行班做了两种不同的教学方法比较（同样用两节课堂教学的时间），一个班在很简短地讲解了函数奇偶性的定义和图象的性质以后；为了让学生准确掌握函数奇偶性的定义和图象的性质，能判断一些简单函数的奇偶性；我安排了如下讨论和训练题：1．给出4个函数：（1）；（2）；（3）；（4）。其中是奇函数；是偶函数；既不是奇函数，也不是偶函数。2．函数的奇偶性是________．3．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则=.4．是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是（）（A）（B）（C）（D）5．已知是奇函数，且当时，=，那么当时，等于（）（A）（B）（C）（D）紧接着我又安排了如下师生一起讨论和探索：例1判断下列函数的奇偶性（1）；（2）（3）；（4）；(5)例2设为实数，函数，。（Ⅰ）讨论的奇偶性；（Ⅱ）求的最小值。例3已知是奇函数，，且，求。例4定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数。若的最小正周期是，且当时，，则的值为（A）（B）（C）（D）例5已知函数，对任意的非零实数，恒有，试判断函数的奇偶性。两节课堂教学结束前，我安排了如下反馈练习来检测教学效果：1．函数的图象（）（A）与的图象关于y轴对称.（B）与的图象关于坐标原点对称.（）（C）与的图象关于Ｘ轴对称.（D）与的图象关于坐标原点对称2．函数是（）(A)周期为的偶函数 (B)周期为的奇函数(C)周期为的偶函数 (D)周期为的奇函数3．设函数是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段，则在区间[1，2]上=。4．若是偶函数，试讨论函数的图象的对称性。5．已知是奇函数，且，求函数的解析式。在另一个对比班，我以传统的方法，以教师讲授为主，因为按我过去的认识，新授概念课好象教师讲授更好些。结果，后一个班的教学比第一个班级在同样时间内，反而少讲了两道题，容量较前一个班少不说，用同样的课堂教学后反馈练习检测，效果也比第一个班级掌握的差一些。看来，有些数学新授课，讲练结合的效果，可能明显好于以教师讲授为主的课堂教学模式。后来，我在多次教师会上，都要求教师在教学中，特别是理科教学中，应注意讲练结合，原因就来自这次的对比试验对我的启发。3、数形结合法“数学是研究空间形式和数量关系的科学”。数学的教与学过程中，必须注意提高学生的空间想象能力，运算能力，数学模型建构等能力。数学语言十分丰富，不但有文字叙述语言，而且有数式语言、几何语言和图象直观显示语言等等。实际上，数学知识进入高中阶段以后，集合有维恩图，函数有图象曲线；三角函数有三角函数曲线，数列有点列（直线或曲线上的离散点），复数有复平面上的表示与变换，至于立体几何、解析几何、空间向量等，本身就是几何图形的研究，更是离不开对图象的分析。所以说，高中数学的内容本身就决定了数学的教与学有条件，甚至离不开对图象的分析。这就为数学的教与学采用“数形结合法”创造了独辟蹊径的条件。例如，在讲授了指数、对数函数的定义和图象性质以后，我安排了以下师生共同研究性学习的问题：１、设函数y=f(x)的定义域为实数集，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f(x)＝－1，请按从小到大的顺序排列f(1/3),f(2/3),f(3/2)。分析：方法一，本例可以根据题目的条件信息，先求出时的具体函数y=f(x)，然后分别代入三个自变量，分别求出三个函数值，进而比较大小，但求出函数容易出错，而且不如方法二形象直观。┣┣┣┣┣┣21111(2,8)(1,2)2468O┻f(1/3)＞f(3/2)＞f(2/3)。2、设a、b、c均为正数，且2a=，()b=，()c=请按从小到大的顺序排列a、b、c分析，本例中三个方程，左边是指数，右边是对数，属于超越方程，根据中学现有数学知识，学生很难求出具体的字母数值，但分别画出每一组指数、对数函数图象，我们可以直观地看到，三组函数图象的交点分别在不同的范围内（以横坐标分析，依次为左、中、右三点）所以我们可以直观地得出a、b、c三个数的大小：┻┻┻┻┻┣┣┣┣┻┣4321cab-1-1O1234()()..(2,1)(2,-1)与此同时，也要提醒同学，由于作图的不规范，特别是立体几何的图形由于观察的角度不同，可能会给我们一些错觉，明明是两条异面直线，可能会给人一种似乎平行或相交的感觉。解析几何或两个函数图象中，明明不相交，看起来却可能是两条相交直线等等，这就要我们通过以数式分析，或逻辑推理来认定。平时利用数形结合分析时，特别是运用函数图象分析时，要尽可能将图象画得准确一些，关键点更是不能出错。4、温故知新法高中数学的教与学，根据学科特点和知识结构，前后内容具有很强的联系性，教授新的数学内容时，注意恰当地联系、复习前面所学的内容和知识，有利于认识新旧知识的结构、联系和发展，巩固已学知识，加深对已有知识的进一步理解和掌握。现有高中数学内容，除极个别专题性的章节内容外，均可采用温故知新的方法进行教学。运用此法进行教学，可能一开始教学进度慢一点，但及时巩固已学内容，让知识承上启下，有利于学生系统地掌握数学知识。例如，教学“不等式的解法”时，可以联系、对比相应“方程的求解”这一章节内容，既讲清了方程根是确定值，又可讲清不等式的解通常是一个范围，而不等式解的范围边界，又与类似方程的根有着紧密的对应关系和联系。讲解“双曲线”时，可以联系、对比“椭圆”的定义、性质、方程及其讨论，对比分析，温故而知新。特别是椭圆和双曲线的方程、焦点坐标、准线方程，在字母信息a、b、c中似乎有许多相同点，但实际计算，因为a、b、c的内在关系不同，又有本质的不同。为什么双曲线有渐近线，而椭圆没有渐近线？三个字母的运算关系相同点和不同点是什么原因造成的等等。复数这一章节的内容，可以说对前面所学高中数学知识，除立体几何知识以外，几乎都可以进行重新整理和覆盖。复数的代数形式a+bi中，如将字母i可以看作一个特别的、具有周期性性质的符号进行计算，可以覆盖几乎所有的代数问题；复数的三角函数表达式z=cos+isin，结合棣莫佛公式，分别进行二项式代数形式展开和利用棣莫佛公式展开，加上角的赋值方法运用，几乎可以推导所有的三角函数公式，不但有效地复习了三角函数公式和概念，而且给出了一种三角函数公式、特别是课本内容中没有提及的二倍角以上倍角公式的推导方法，实践证明，还有助于长时间的记忆并帮助学生探讨、研究三倍角、四倍角等多倍角三角函数公式的推导；利用复数模的几何意义就是两点间的距离概念，可以根据平面解析几何中的轨迹定义，对平面解析几何的所有问题，进行重新讨论，对圆锥曲线的概念、公式、基本计算等，从另一个观察角度给出了一种别开生面的解释，有很好的促进、加深、巩固作用。对于新接触复数这块内容的学生，同时又让其感受到了学习复数知识的作用和意义，激发兴趣、调动积极性。高中数学的许多新授课程和内容，采用此法进行教学，能够让数学知识串成线、铺成面，前后呼应、相辅相成，及时加强巩固已学知识，引领新学知识，实践证明效果较好。5、实验探索法高中的物理、化学、生物学科，有实验的要求，有些内容，必须通过实验教学，才能帮助学生正确理解有关内容和知识点，这是大家所共知的。数学有没有可以实验的内容呢？巧妙设计的数学实验，不但能激发学生学习数学的兴趣，而且能优化数学的课堂教学。因为数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础。新兴的科学手段如计算机、多媒体等进入课堂教学，为数学的部分内容实验，提供了可行性条件。例如，进入高二年级以后，学生的计算机基础知识已经具备，函数的各种图象、直线与曲线的交点、方程根的存在性、个数的讨论，圆锥曲线的方程与图象画法、立体几何图形的翻转等等，教师或学生自主设计有关程序以后，在计算机上进行实验，能够起到简明扼要、直观清晰的效果。如我在讲完椭圆一节计算机作图内容以后，提出，将椭圆方程中“加号”作图程序改写成“减号”作图程序以后，看看图象会不会还是椭圆？会是什么图象？双曲线是不是两支抛物线对称构成的几何曲线等等。抛物线与双曲线的一支，有没有区别，为什么双曲线有渐近线，而抛物线没有渐近线？通过实验和逻辑证明的同时映证，可以帮学生加深理解数学的具体内容。附：在南京市某国家级重点中学公开课讲学案一份：幂函数（1）讲学案班级_______姓名____________（2006、11、5）一、教学目标：1、知识与技能：掌握幂函数的概念，会正确画出常见幂函数图象，了解常见幂函数性质，能正确利用幂函数的图象和性质，解答相关问题。2、过程与方法：通过观察、实验、归纳、探究幂函数性质。利用解题比赛，培养自主、合作学习的能力，及时反馈教与学效果。3、情感态度与价值观：利用幂函数的指数变化，探究幂函数的性质，调动学生学习积极性。利用数形结合及多媒体技术，形象直观地探究幂函数的指数与图象性质的内在联系。二、教学重点：幂函数的概念及常见幂函数图象和性质教学难点：常见幂函数图象、性质的归纳及应用三、教学过程：（一）、回顾引入：前面我们学过了指数函数、对数函数。请填写下表：函数类别函数函数式定义域值域指数指数函数对数函数（二）、请看下列问题：问题一：1、若正方形的边长为，面积为，那么=__________2、若正方体的边长为，体积为，那么=__________3、若正方形的面积为，边长为，那么=__________幂函数的定义为：问题二：判断下列函数中哪些是幂函数_____________问题三：写出下列幂函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性问题四：（合作探究）试写出两到三个符合下列条件的幂函数________________________定义域为一切实数；2、定义域为正实数；3、定义域为不等于零的一切实数问题五：（自主实验、探究）请画出几种熟悉的幂函数图象_问题六：列表归纳常见幂函数的图象与性质性质函数图象定义域值域奇偶性x>0时函数的单调性问题七：利用相关幂函数的性质和图象比较下列各组数中两个值的大小。（在横线上填“<”或“>”）（三）回归课本：（指导学生看书，摘记重要内容或补充说明）（四）效果检测反馈1.下列函数中是幂函数的是（）2、下列结论正确的是（）A．幂函数的图象一定过原点B．当a<0时，幂函数是减函数C．当a>1时，幂函数是增函数D．既是二次函数，又是幂函数3、下列函数中，在（，0）上是增函数的是（）4、若幂函数的定义域分别为M、N、P，则M=______________________,N=____________________,P=____________________(五)本课小结:(另附)(六)作业:P73第2、3、4、5、题四、教与学反思(请同学课后填写):附：研究性学习：（实验、探究、分析幂函数共有多少种类型图象，以下十一种是否均为幂函数图象，如是列出一个代表性幂函数式，如不是说出理由）（1）（2）（3）（4）。。（5）（6）（7）（8） （9）（10）（11）6、动定分析法在高中数学内容中，有大量的数式字母讨论题，同时又是高考数学试卷的命题热点。分类讨论实际上是高中数学最重要的数学思想，也是高中数学与初中以下数学知识和方法的最明显不同点，是高中学生在学习和作业当中的难点和易错点，更是考生在高考数学中得分拉开距离的区分点。如何突破这一教学疑难，实践中我们的做法是：引导学生根据问题提供的各种信息，在既有等式条件，又有不等式条件时，关注等式条件，从等式条件入手；在字母信息中，从“动”的条件中，特别注意发掘“定”的隐含条件，由“定”出发，讨论“动”的变化。举例说明如下：例（根据宿迁市０８年高三模拟试题改编）已知函数y=f(x)是以２为周期的偶函数，且当x[0,1]时，函数f(x)=x。若在区间x[-1,3]内,存在函数g(x)=kx+k+1。试根据k的取值情况，讨论方程f(x)=g(x)取零点的个数。分析：本例中函数y=f(x)实际上是一个确定的信息（等式条件）函数g(x)=kx+k+1随着k的变动而变动，是一个动态的信息。解题分析时，首先可根据确定信息入手，在坐标系上画出函数y=f(x)的图象。因为当x[0,1]时，函数f(x)=x，且y=f(x)是以２为周期的偶函数，我们很容易得到函数y=f(x)在x[-1,3]内的图象：再看函数g(x)=kx+k+1，虽然随着k的变动，y=kx+k+1是一条变动的直线，但是，将已知式略作变形,可得是一条方程为：y-1=k(x+1)“动”中有“定”的直线，此直线恒过定点(-1,1)。这就为我们讨论本题，提供了简捷明快的“数形结合”、“动定相应”分析法。如图，在上图中寻找出“动直线”中当k=0，k=-和k=-1时的三条“定直线”，这是本例分析的三条关键直线，显然可见：当k=0和k=-时，方程f(x)=g(x)有三个零点；当k=-1时，方程f(x)=g(x)有无穷多个零点；当-1<k<-时，方程f(x)=g(x)有两个零点；当-<k<0时，方程f(x)=g(x)有四个零点；当k<-１或k＞０时，方程f(x)=g(x)仅有一个零点。（说明：本例可抽取其中任何一种零点个数情况，编写成一道很好的字母k的取值范围填空题）本例中根据图２分析，不但可以判断零点的个数，而且还可以进一步判断出零点的大致范围。利用“数形结合”和“动定相应”的分析法，是求解、分析类似问题不可多得的好办法。7、猜想验证法数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。有些空间的形式和数量关系、自然规律和社会规律，很难建构具体的数学模型，这就要求教师在平时教与学的过程中，注意培养学生的想象能力，甚至一定的猜想能力。如果师生的想象、猜想，能够通过逻辑推理、数式运算进行验证，那么，想象和猜想就是理性的、符合逻辑的、正确的。对想象和猜想的验证过程，又是实实在的思维训练和数式推导、计算能力培养的实践过程。特别是想象和猜想的验证成功，能激发学生的兴趣，培养学生的思维想象能力和大胆的想象创造能力，对学生的思维习惯和终身发展都有一定的影响，是一件十分有意义的事。ABABC在一个正方体中，寻找正方体的棱、面对角线、体对角线所组成的异面直线对，并求出两异面直线所成角的度数。时间不长，有的同学说有０度，同学们大笑，“两直线所成角是０度时，是两平行直线，怎么还是异面直线？”（巩固了两异面直线的基本概念）有的同学说有４５度，有的说有６０度，有的说９０度，并分别指出了是哪两条直线构成的异面直线对。还有一个同学说有１２０度，同学们又笑了起来，“成１２０度角的两条异面直线，实际上就是成６０度角的两条异面直线，１２０度角不在两条异面直线所成角的范围内。”这又一次巩固了两异面直线所成角的范围是０度到９０度，不包括０度，但包括９０度的概念。正当我非常高兴同学们的研究学习成果是那样地配合我的公开课教学时，一个姓宣的同学在下面低低地说到：“０度、４５度、６０度、９０度，好象常见的特殊角都在这个正方体中出现了，３０度也是特殊角，为什么大家都没有找到呢？会不会出现呢？”教室里顿时叽叽喳喳起来。您说，刚才多么好的局面，我正暗暗地为学生在公开课上的完美配合高兴呢！却不知宣同学横插了一杠子。您说，几乎所有的教材和参考书上都没有讲到过这一个问题，我课前的准备上也没有准备到这一个问题，这让我怎么说？听课的老师们估计也感到了我的措手不及。真想装着没有听见，继续按我的备课案讲下去，这样可以保证本节课的基本圆满。但教室内的气氛肯定受影响，因为我平时上课就喜欢并提倡学生随时提问，经常在学生的提问下改变自己的安排，学生已经习以为常了。我总是认为，老师上课要实实在在地以学生是否听懂、是否掌握为主，没有想到自己给自己带来了麻烦。后来，我还是硬着头皮与学生一道研究了宣同学的这一插嘴提问，经过师生共同探索，在正方体内的确没有成３０度角的异面直线对，但有成正弦值是三分之一的异面直线对。虽然，原定的讲学内容和任务没有完成。但师生们的共同讨论，实现了皆大欢喜，听课的老师们也很体谅，认为这节课不是花架子，很实在，在听课反馈意见表中，给出了非常好的评价。教师与学生一道，对师生中提出的猜想，不管是正确的还是错误的，进行严格地论证和推导，让学生在课堂教学中不留疑问和困惑，理应是教师课堂教学的一种自然追求。８、讨论归纳法学生中蕴藏着无穷的智慧闪光点和创造性，数学教与学的过程中，注意捕捉学生智慧的闪光点，激发学生的创造性，常常能实现教师教得轻松，学生学得愉快。数学的概念和方法，有时仅仅通过教师讲解、示范，不一定能让学生真正地理解，对于一些比较难理解的数学内容，一些学生理解起来容易出错的内容和章节，教师预先设计一些循序渐进的问题，逐步引导学生一步步深入讨论，这也符合新课改中自主性学习和合作性学习的理念。设计一些模棱两可、甚至一些诱发学生思维暂时产生错误的问题，在师生讨论中得到甄别和认识，然后获得正确结果，显然较之教师在教学中直接地给出正确的结论，让学生记忆要牢固的多。如果说，我们的平常教学，是在风和日丽的环境下师生一道行走，那么，学生难理解的内容、容易出错内容的学习，就好比是雨地里师生一道行走，教师比较巧妙地在易错问题的地方组织学生讨论，即使“在雨天的路上跌倒了，爬起来还有一身泥。”学生对出错的地方和知识的印象深，记忆牢，有助于避免易错处出错，准确记忆知识的关键概念。有可能将数学教与学的薄弱部分，反而强化成学生的优势部分，当其它人容易出错的地方，我们的学生不出错、少出错，我们数学的教与学自然而然会取得成功。例如，在讨论有关曲线的对称性问题时，一开始师生共同讨论了曲线y=f(x)关于原点对称的曲线是y=－f(－x)，关于Ｘ轴对称的曲线是y=－f(x)，关于Ｙ轴对称的曲线是y=f(—x)，关于直线y=x对称的曲线是x=f(y)（可联系复习反函数的曲线对称性质）。如果对称中心是点Ｐ(m,n)、对称轴是直线ax+by+c=0，那么曲线y=f(x)的对称曲线是什么呢？利用所学的中点坐标公式和互相垂直的两条直线的斜率关系，经过一定的数式推导，学生就能顺利地归纳得出一系列相关结论，教与学的过程中，不妨一试。９、巧用迁移法已学知识对新知识的学习，随时随地、不知不觉地会起着多方面的作用，其中积极的、促进性的作用，在心理学中称之为知识的“正迁移”，在概念教学和解题教学中，教师如果能将学生需要解决的新问题与学生过去已经熟练的问题组成对比题组，可以促进学生对新知识的正迁移。例如，在讲授了正弦函数的有关知识以后，教学余弦函数时，就可以根据正弦函数和余弦函数的余角关系，以定义域、值域、函数式、图象、奇偶性、单调性、增减区域、极值最值的取值与自变量的对应等进行列表分析、探索。（理科讲授反三角函数时，同样可以类比）。例如在师生共同探究了题目：在△ABC中，求证：tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC以后，让学生试着探究：１、在△ABC中，求证：tan２A+tan２B+tan２C＝tan２A·tan２B·tan２C，２、已知x+y+z=xyz，求证：＋＋＝等等。同理，已学知识对新知识的学习，有时也会不知不觉地起着一些消极的作用，这在心理学中称之为知识的“负迁移”，要特别注意对知识的“负迁移”的甄别，“负迁移”在概念教学和解题教学中，可能造成学生的概念不清、解题错误，教师如果能将学生容易混淆的概念、似同非同，似是而非的问题编成题组，与学生共同讨论甄别，既可以加深对已有知识的巩固，又可帮助对新知识的理解。例如，立体几何中有不少知识在平面几何中有相应内容，有一部分学生，特别是女生，一开始总会机械地用已有的平面几何定理、性质，套用在立体几何中，以平面几何的观点和方法来思考立体几何问题，形成平面几何知识在立体几何知识中的“负迁移”。如何将学生可能出现的“负迁移”，转变为“正迁移”，我曾经设计过这样一些问题与学生一道探索：判断下列命题是否正确，如不正确，试举出反例：１、垂直于同一条直线的两条直线不可能是异面直线。２、平行于同一条直线的两个平面必然平行。３、垂直于同一条直线的两条直线必然平行。４、两条互相垂直的直线必然有一个交点。５、一条直线上有两不同点到另一条直线的距离相等，那么，这两条直线平行。６、一条直线上有两不同点到同一个平面的距离相等，那么，这条直线必平行于这个平面。７、一个三角形的三个顶点到一个平面的距离相等，那么，这个三角形所在的平面必平行于这个平面。８、不相交的两条直线，就是平行线。经过一番讨论，甚至是争论，学生对平面几何与立体几何知识的联系和区别有了比较好的理解，相关立体几何的知识和概念也顺利得到了巩固。1０、自学辅导法“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。”是新课程理念对当今中小学教师的教育教学工作提出的新的要求。如何根据以上新课程的理念，积极探索改变学生学习方法的现状，培养学生的自学能力？如何指导高中学生对数学进行自学？如何指导学生有效地利用手边的各种学习资料和学校已有的图书资源，进行有效地数学自学？很多老师可能都有这样的体验，老师简单地要求学生进行一些预习，实际效果是很不理想的。如果您在布置以后，第二天检查一下，很可能就会发现，老师前面的要求，许多同学根本没有落实。此时，如果您简单地认为学生不够自觉、不够听话，还不如从老师的自身来寻找原因去调整自己的教学要求更好些。因为高中学生的学习任务是比较重的，他们的手中几乎有做不完的事，哪一项任务的要求，他们认为松一些，他们就会自觉不自觉地选择放弃。近二十年来，因本人一直担任学校的行政工作，有十多年既做行政工作（校长办主任、副校长时），又担任两个班级数学教学，当校长办主任时，还担任一个班级的班主任，绝大多数年份还是高三年级的教学。有时因突击性的行政工作或参加会议，难免会有缺课现象。万般无奈的情况下，我摸索出了一套指导学生数学自学的方法。（一）、教师指导学生进行数学自学（其它学科理应相似），任务、要求要明确一些，便于学生执行和考核。（二）、教师指导学生进行数学自学前，一般可提出以下要求：１、阅读某页至某页，找出重点和难点。２、找出暂时不能理解的内容，准备课堂上提交老师讲解。３、根据阅读和理解，利用课本练习和习题作业，对自己自学的效果进行自我评估。（具体完成哪几题练习和作业）４、摘录或完成参考书中的好题，在班级板书作介绍。有一年任高三课时，我因为上班期间身体受外伤，有近二十天不能正常到两个高三班级上课，学生又坚持不要别的教师代课，在没有办法的情况下，我只好让课代表每天来拿我事先准备的“学生课堂自学提纲”，在班级抄在黑板上。当时也是一种“死马当作活马医”，不是办法的办法。真没有想到，学生认为老师是因为他们而受伤，感恩的情结特别浓，每天的作业完成得比我上课时所布置的作业还要认真、还要好。四个月后的高考，两个班级的数学成绩，非但没有受到影响，反而比原来还有些提高。真是“无心插柳柳成荫”，指导学生自学，让我尝到了甜头，对我后来的数学教学影响很大，深刻地感受到了著名教师魏书生同志的教学经验有其可行性。指导学生自学，可以实现师生双方互赢！二、复习总结篇数学教与学的过程中，适时地进行复习和总结（这里不包括目前高中数学新课程结束后，高三年级的系统复习和总结），是将每节课堂教学中零零散散的所学知识点和方法，进行归纳整理，使知识串成线、铺成面、装入脑、提能力的教学工作重要环节。如果说，每节课的课堂教学好象是在一个点一个点地采矿，那么，复习就是将所采得的矿物装入仓库，总结就是装入向外运输的列车车箱，做练习和训练就是将矿物进行冶炼，总结后运用所学知识解决问题、参加考试等，就是将冶炼后的材料科学地运用。数学教与学就是要达到将所学知识“能科学地运用材料”的境界。曾经读过一本让我印象很深的教学方法研究书，介绍了一位有经验的语文老师，如何指导课文阅读和进行课文阅读后提炼、总结的方法。他举例所讲的是鲁迅作品的学习、分析和总结。其总结的方法，让我一个数学教师读过以后，感到在很长的时间里不能忘怀。后来再有意识地找来鲁迅的这几篇文章，自己再读一读，竟然有了一种与以前完全不同的全新印象，对鲁迅这几篇作品的理解和记忆，明显有了提高。他是这样给学生讲复习、总结提纲的：《为了忘却的纪念》一文为：一首诗、两本书、三个典故、四种时间、五位烈士。《祝福》一文为：一个回忆、两到鲁镇、三次描写、四场祝福、五类人物。《药》一文为：一只馒头、两条线索、三个场所、四个标题、五类人物。在此序列下，让学生再读几遍这几篇文章看看，找一找这些内容，看鲁迅是如何将这些内容，巧妙地串成一篇篇优美文字的。许多学生听他一点拨，突然间就有了一种脉络清晰、一目了然的感觉。数学的复习和总结，为什么不能借鉴这位老师的创意呢？受其启发，我在数学实践中也做了一些尝试。1、概念梳理法现有高中数学教材中的概念，较其它任何学科的教材，表达得更明显和直观（有时教材中所选用的字体也有不同），如果教师在每章节、每单元的课堂教学结束以后，仅仅是简单地罗列一下，或者是让学生自己去收集整理一下，是很容易做到的一件事。但是，实践中我们可以发现，教师在课堂上罗列、复述，许多学生听得好象有点东耳进、西耳出，根本不入脑；学生自己简单的抄录、总结，效果也很不乐观。我遇到过好几个这样的学生，教师上课时感到她们的数学概念老是混淆不清，甚至分不清什么是定义、什么是定理、什么是判定、什么是性质？于是，我要求她们自己利用课外时间，好好复习一下书中的概念。这些孩子很听话，她们有的将书中的概念很认真地抄录在一个很好看的笔记本上，还拿给我看过。原以为情况会有很大的改观，结果在考试中，她们对概念的理解，好象还是没有多大的改进和提高。开始时我也感到纳闷，说不清是什么原因。后来经过仔细地调查和分析，我发现，原来许多中学生，在抄录教材和参考书中的概念内容时，仅仅是“查字典式”的一种文字抄录，我戏称她们仅仅是“写了几个字”，“照葫芦画瓢”一点没有往心里去记，更谈不上有多少理解和思考，怎么可能有多大的效益？（当班主任时，我发现许多作业和笔记都很认真的同学，成绩却提不上来，考试的许多内容，她们的笔记中就有，但她们几乎一点都记不起来，后来我对她们的笔记内容进行询问，发现有记载无理解和记忆，笔记仅仅是“在本子上写了几个汉字”。当然学习效率不是太高。详见本书中学习方法点拨案例介绍）再后来，我引导学生在总结概念时，要注意做到：１、学会用自己的语言来叙述，即使说得不准，冗长一些也没有关系，达到理解的目的就可。如果喜欢抄录整理，最好是先看一遍，然后带有默写性质地抄录，默写后再校对，非常有利于记忆。２、对课本中的概念，尽量换一种语言描述，比如用“数形结合”语言，或者干脆用简单的几何图形语言等，能达到自己能对照图形理解或能用文字语言口头复述的水平就是成功。３、提纲挈领地写出概念的“关键词”，通过记住概念的“关键词”，由“关键词”引领，促进对概念和方法的理解和掌握。４、用学生自己喜欢的方式、符合自己高效记忆和理解的语言，对所学概念和方法，进行整理叙述等。总体上讲，在概念总结时不能依赖于简单的机械抄录和记忆，数学中仅仅是机械的记忆一些概念和公式，没有深刻地理解，在解决问题时，特别是在解答概念的是非判别题时，常常会产生错误。因此，数学概念和方法的复习、总结，必须遵循一个原则，那就是必须在思考、理解的基础上，寻找符合自己个性，同时又是高效、容易牢记的方法。2、图表总结法数学概念、知识和方法的特点之一就是逻辑关系特别严谨，前后相关的联系特别清晰，如果在教与学的过程中，学生能在教师的指导下，将所学概念、公式等，制成相关的图表，形成知识的网络体系、网络关联图，就能让知识形成一种“知识链”，让知识在学生的记忆和运用中，由此及彼、由表及里，承上启下、相辅相成，形成多种关系和角度的相互关联、形成多角度的交叉记忆，提高记忆的准确性和效率。如果学生对概念和方法真是深刻理解了，即使在教与学的很长时间以后，也能够用很少的关键知识、公式信息，进行其余知识和公式的推导。比如，在三角函数的公式体系推导中，我个人认为两角和的余弦公式：“cos(A+B)=cosA·cosB－sinA·sinB”就是三角函数中最重要的基础“母”公式，其它公式，只要赋给Ａ、Ｂ角的一定量的值，如令Ｂ＝Ａ可得二倍角公式，反之又可得到半角公式等等，如再加上考虑符号的变换，进行恰当的数式变形，几乎是所有的三角函数公式，都可以由这一公式“cos(A+B)=cosA·cosB－sinA·sinB”“派生”出来。提出这一设想以后，让学生自主地进行赋值推导，就能形成一个不是很复杂的三角函数公式形成网络图，或者可称之为知识体系图。实践中，老师不需要直接地给予，让学生在教师的指导下，自己进行摸索，老师在学生完成复习总结后，再在班级进行一下结果的评比，学生会感到乐此不疲。无形中还教给了学生在很长的时间以后，甚至是对三角函数的许多公式的记忆开始模糊以后，利用自己的推导，可以迅速地重新找回自己解决问题时所需要的三角函数公式的一种方法。如果再加上三角函数中最易出现错误的三角函数名称和“符号问题”的研究方法：针对(k·+α)中ｋ而言，函数名称（互余）和符号是“奇变偶不变，符号看象限”的判断，三角函数这一节教与学的基本问题，就达到了脉络清晰、条理清楚、记忆牢固、准确掌握的地步。在平面解析几何中，圆锥曲线的部分，有统一的定义，也有分项的轨迹定义，还有一些几何作图的表述。但是许多几何点、线、范围等名称，几个关键字母之间的关系，主要推导计算等，具有共同或类似的叙述，教师整章教学后，制定一个图表，或者在教师的指导下，直接让学生制定一张图表，进行总结归纳，既能了解知识的整体全貌，又能促进对知识个性特征的掌握，找到知识之间的相互联系和区别，形成知识的交叉记忆网络，对巩固和提高知识的综合运用能力，有意想不到的结果。3、题型凝练法高中数学的教与学，离不开对问题的研究。有的数学家干脆就说：“离开了问题的研究、计算、推导和论证，数学学科就不能称之为数学。”数学的概念、定理、性质的理解和应用，常常以问题的形式来体现，数学教与学的效果检测和评估，通常也是利用学生解题的正确率来分析。这就提醒教师和学生，在数学学习中，对典型例题和重要的解题方法，要给予充分地关注，广泛地进行搜集和归纳。而对数学题型的广泛搜集和归纳，必须建立在学生的广泛阅读和主动性学习上。数学题型的收集和归纳，许多教学方法研究的书籍和杂志文章中都有介绍，一看这样的内容，大家也能理解，这里就不再赘述。个人在指导学生进行学习过程中或过程后的题型总结时，有一个原则：看到典型的范例，必须引起学生自己足够地反思以后再进行总结。具体要求是：１、根据范例，让学生写出或勾勒出题目的已知条件、求解结论和主要求解方法，方法可以不唯一，几种方法比较以后，哪种方法你个人最感兴趣，觉得最容易顺理成章地想到，最便于长时期地记忆，最容易实现等等。２、根据范例分析，如果条件或结论改变了怎么办？条件和结论可能会有哪些改变？由条件到结论的推导和计算的过程，你认为是否合理、是否自然、是否必然？如你能感到：由条件到结论自然而然地就应该这样想，那说明你已经基本正确掌握了这样的题型。３、联想类比过去已学的知识，哪些已学的内容、做过的习题，曾经使用过类似的方法和技巧？立体交叉记忆，能使记忆有长效。４、对特别题型的解法和特别解法的技巧，不能仅仅是惊叹和佩服，要学会在特殊性的当中，尽可能地挖掘其普遍性、共性的东西。否则，只能是当时对这样的特别技巧，感到一种赞叹，时间不久就会遗忘。特别的技巧如果是非常重要的内容和方法，那就要有意识地创造机会，与学生在一起经常地“把玩”，才能达到熟能生巧的地步。4、学生自主法个人认为，对一个学校、对一个教师的教与学的评价，不能只看教师的水平有多高，也不能只看教师在课堂教学中讲了多少内容，而是要看通过教师的教学，让学生真正地学到了些什么知识，真正掌握了多少知识，具备了怎样一些运用已学知识解决实际问题的能力，是否提高了学生的素质。在新课程改革理念下，不但教学工作要以学生为主体，课程的评价、教学效益的评价更是要以学生为主体。高水平的教师，不一定能教出多少高水平的学生，高水平的学生当然需要得到一批高水平教师的指导，才能达到更高的水平；教师讲得很多、很深，学生完全没有听懂，没有学会，这不但没有学习效率，而且有害。因为它浪费了学生的宝贵时间，说不定还会影响学生对数学学习的信心和听课习惯。教师根据学生的实际状况，扎扎实实地按课程目标、考试标准进行教学，循序渐进地提高学生的能力和素质，才是切实可行的高效教学策略和办法。鉴于以上认识，我认为数学课堂教学中，教师要让学生充分地“动”起来（本书后面有专门分析的文章）。数学内容学习一段时间以后的复习总结，由于学生在学习的过程中，已经出现了水平不一、差次不齐的局面，教师如果包办代替，很难让每一个学生都感兴趣，很难让每一个学生都有很好的收获，很可能是低效的。有经验的教师，在平时的教育教学工作中，总是十分注意充分调动学生的积极性。在数学复习总结的教学工作中，教师更应该主动考虑做到、做好这一点，指导学生学会自主复习和总结。根据每单元、每章节的不同内容，教师可以采取灵活机动的各种方法加以指导。学生的自主复习和总结，既是学生自主学习的成果，也带有一定的研究性学习成果性质，同时能激发学生的兴趣，培养学生的自学能力、信息搜集、整理、归纳和分析等能力，提高学生的综合素质。其整理出来的结果虽然各不相同，但教师可以在学生复习和总结的基础上，巧妙地进行结果的检查和评奖。注意，对学生的自主学习成果，进行及时的评讲和激励，是激发学生的兴趣、逐渐培养学生自主学习能力的重要措施和有效手段。用学生中的优秀成果展示，让学生看得见、摸得着、学得象，能让一些优生积极地影响其它同学、带动其它同学，长期坚持，可以有效地提高全体同学的学习品质和素质。5、类比对应法根据所学数学知识的内容，联想已学过的知识，进行适当地联想、类比，找出新、老知识的共同点、不同点，进行复习和总结，能使新、老知识和方法形成一个立体的体系，达到复习、激活老知识，巩固新学知识的目的。如果教师自己有相关类比内容复习、总结的多媒体课件，只要再次进行一次快速地播放，对照有关内容进行一些指点、引领，就能很快地指导学生对刚学内容的复习和总结。这样的复习、总结，耗时少、见效快、内容丰富、教学绩效实实在在。比如，高中的函数部分学习，对于每一种函数，我们大致研究了这样十个方面的内容：定义域、值域、函数式、图象、单调性、奇偶性、周期性、最值、极值、实际问题的应用等。而根据函数的分类，我们教与学的内容大致又有：初中数学部分在高中再研究的内容：多项式函数、分式函数；高中数学新研究的内容：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、一元多项式高次函数、多种函数关系复合的函数、隐函数、特殊定义的函数等十余类有代表性的函数，只要我们的老师，在复习、总结某一类函数时，在学生的心目中搭起这十个方面研究的框架，每学习到一类新的函数内容时，让学生系统地整理出这十个方面的内容（有些性质不一定全部出现，但总结、思考一下，耗时不多，有利无害）。函数这一节内容的学习，就整体达到了一个相当高的水准。高一这一块的内容，刚进入高中学习的学生就能基本顺利地掌握。有过高中教学经历的教师都知道，进入高一以后，学生一开始感到学习最困难的学科、学习压力最大的学科，常常就是数学和物理，而数学的函数这一章，正是学生感到很难学好的内容，请老师和正在学习的同学按此框架试试看，我自己的教学实践证明，对不同层次的学生实验，都是很实用、很有效益的。6、提纲扩充法语文教与学中，许多有经验的老师，在分析课文和指导学生作文时，有一种根据课文提练提纲（缩写也是一种）和写作大块文章之前先列出提纲的做法，一篇很长的文章，也许可缩写成一小段文字，或者就是几个简明扼要的提纲（本篇开头中语文老师的一、二、三、四、五，就是一个最好的例子），一个章节、一个单元、甚至是一本数学教材，也可以学习这位语文老师的经验，进行巧妙的数字编号，让学生带着这些编号去整理，去充实。如，本章节、本单元的数学教与学的主要内容共有：一个内容，两种关系、三条定理、四种判定、五种应用，六种题型、七个补充等等。让学生去看书、去整理笔记、去查阅资料。实践起来，学生有时会提出许多有意义的建议，比如不止六种题型，有十种题型等等，有时，同学们为了证明自己的论点是正确的，常常会举出许多课本以外的好例题，这时候老师让他在班级展示出来，学生们会特别地关注，也能扩大全班同学的知识面和阅读视野。出现这样一种教与学的情况以后，班级的学习和研究的氛围会特别地好，能有效地促进学生的研究性学习（在新课程改革前，我在实践中称之为教辅资料和参考书的研究和补充性学习），同学们也会觉得数学学得活，的确很有意思。对学生提出来的有价值的内容，我会让学生署名抄写给我，并注明来自何处，收入我的教学资料，我戏称此法为“全班同学来为老师备课、增添了老师的知识财富。”学生将手中所有参考书的精华，送给了老师，经过老师的选择、整理，不要多长时间，老师就有了许许多多有意义、有价值的好题，让老师实现了教、学相长。前面的毕业生，为后面的学弟、学妹们留下了丰富的知识宝库。再比如立体几何教科书，因为受欧几里德体系影响，全书的体系和条理十分清晰。学生学完课本的基本内容以后，可以运用知识的主线，将整本立体几何教材的知识点：定义、定理、判定、性质、主要运用等，编写成一组提纲，可以形成一种清晰的网络：主线：点、线、面、体及其相互关系。知识点支撑：定理（定义、公理等）判定、性质等：一点不讨论，两点定一线，三点（不共线）定一面，四点（无三点共线）或四点以上定一体。一线和一点（线外）定一面，两线（平行或相交）定一面，两面相交有一线，三面以上围成体（我在立体几何的教学中有一个观点，认为立体几何实际上是多个平面或平面的一部分围起来的几何问题。许多立体几何问题的研究，最终实际上可以化归到一个平面或几个平面来研究，这也无形中给出了学生分析、解决立体几何问题的一种分析思路和解题方法）。“几何作图、位置关系判断证明有计巧，作线不离面，离面不好找”；“线面关系常用线，线线关系常找面，面面关系线与线”；几何计算有步骤，“图示条件，作所求量，构三角形