2019北京朝阳外国语学校初三（上）期中数学（教师版）

35/352019北京朝阳外国语学校初三（上）期中数学一、选择题（共8小题，共16分）1．（2分）下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是A． B． C． D．2．（2分）已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则直线与的位置关系是A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定3．（2分）对二次函数，下列说法正确的是A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而增大4．（2分）如图，是的直径，直线与相切于点，交于点，连接．若，则的度数为A． B． C． D．5．（2分）已知一次函数与二次函数的部分自变量和对应函数值如表所示，请你说出当时，自变量的取值范围是024502610120512A． B． C． D．或6．（2分）一个圆锥的侧面展开图形是半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的底面半径为A． B． C． D．

7．（2分）如图，是一张周长为的三角形纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为A． B． C． D．随直线的变化而变化8．（2分）小明乘坐摩天轮转一圈，他距离地面的高度（米与旋转时间（分之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得部分数据如下表：分2.663.233.46米69.1669.6268.46下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是A．7分 B．6.5分 C．6分 D．5.5分二、填空题（共8小题，共16分）9．（2分）在平面直角坐标系中，将函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数表达式是．10．（2分）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小为．11．（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线在第一象限的公共点是．小明说：“从图象上可以看出，满足的的取值范围是．”你同意他的观点吗？答：．理由是．

12．（2分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图尺等于10寸）．阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图，其中于点，求间径就是要求的直径，再次阅读后，发现寸，寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题，请帮助小智求出的直径为寸．13．（2分）如图，，是的两条切线，与相切于，两点，点，在圆上．若，，则的度数是．14．（2分）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为．小强骑自行车从拱梁一端沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面共需秒．15．（2分）如图，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于，两点，若函数的图象与的边有2个公共点，则的取值范围是．

16．（2分）如图1，一个电子蜘蛛从点出发匀速爬行，它先沿线段爬到点，再沿半圆过点爬到点，如果准备在、、、四点中选定一点安装一台记录仪，记录电子蜘蛛爬行的全过程，设电子蜘蛛爬行的时间为，电子蜘蛛与记录仪之间的距离为，表示与函数关系的图象如图2所示，那么记录仪可能位于图1中的点．三、解答题（共12小题，共68分）17．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线和直线外一点，求作：直线的垂线，使它经过，作法：如图．①在直线上取一点，连接；②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧．两弧相交于，两点，连接交于点；③以点为圆心，为半径作圆，交直线于点，作直线．所以直线就是所求作的垂线．（1）请使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：，是线段的中点．是圆的直径，（依据：．直线就是所求作的垂线．

18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．（1）将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的△；（2）求出点旋转到点所经过的路径长．（3）求线段扫过的图形的面积．19．二次函数的图象经过点．（1）求二次函数的对称轴；（2）当时，①求此时二次函数的表达式；②画出函数的图象；③若关于的一元二次方程在的范围内有解，则实数的取值范围是．

20．如图，在的斜边上取一点，使得，连结；分别过点作的平行线，过点作的平行线，交于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求四边形的面积．21．2016年里约奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练，某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距水面的高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求运动员落水点与点的距离．

22．如图，在平面直角坐标系中反比例函数的图象与直线交于点．（1）求、的值．（2）轴上有一点，过点作轴的平行线，交反比例函数图象于点，交直线于点．①当时，请你判断并直接写出线段与的数量关系（用等式表示）．②若线段，结合函数图象，直接写出的取值范围．23．如图，在平面内，给定不在同一直线上的点，，且，点到点，，的距离均等于为常数），到点的距离等于的所有点组成图形，的平分线交图形于点，连结．（1）若线段，直接写出的度数．（2）延长至点，使得，连结，在（1）问的前提下，①请你判断直线与图形的交点个数，并说明理由．②若，求、的长．

24．在平面直角坐标系中，双曲线与直线，直线分别交于点，；两条直线的交点为．横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记曲线与线段、围成的区域（不含边界）为．（1）当时，结合函数图象，求区域内的整点个数；（2）若区域内没有整点，直接写出的取值范围．

25．如图，半圆的直径，点在上且，点是半圆上的动点，过点作交（或的延长线）于点，（当点与点或点重合时，的值为小石根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）对于点在半圆上的不同位置，画图，测量，得到线段、、的长度的几组值，如下表：11.522.533.5403.74.03.73.32.5054.84.54.13.42.50在、、的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当与直径所夹的锐角为时，的长度约为．

26．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．（1）求的长；（2）若点坐标为，点坐标为，当抛物线与线段有一个公共点时，求的取值范围．27．已知，如图，在正方形中，点在射线上，连结，，、分别为、中点，连结交于点．（1）如图1，当点与点重合时，直接写出的度数；（2）当点在线段的延长线上时，①依题意补全图2；②在点运动过程中，请你对线段与的数量关系进行猜想，并说明理由．（3）若过点作直线的垂线交其于点，连结，若，请直接写出线段长度的最大值．

28．对于平面直角坐标系中点和，给出如下定义：若上存在一个点，使得点到点和点的距离一样，则称点为的“镜密点”．已知点．（1）当的半径为1时，①在点，，中，的“镜密点”是；②作直线，若直线上的点是的“镜密点”，求的取值范围．（2）①的圆心在轴上，半径为，若线段上存在的“镜密点”，请直接写出圆心的横坐标的取值范围；②若线段长为2，且线段上所有点都是的“镜密点”，请你直接写出半径的取值范围．

2019北京朝阳外国语学校初三（上）期中数学参考答案一、选择题（共8小题，共16分）1．【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：、图形不是中心对称图形；、图形是中心对称图形；、图形不是中心对称图形；、图形不是中心对称图形，故选：．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能与自身重合．2．【分析】根据圆的半径和，圆心到直线的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案．【解答】解：的半径为3，圆心到直线的距离为2，，即：，直线与的位置关系是相交．故选：．【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．3．【分析】直接根据二次函数的顶点式写出二次函数的性质后即可找到正确的答案．【解答】解：二次函数的开口向上，对称轴为，有最小值为，当时随的增大而增大，故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据二次函数的顶点式写出二次函数的性质，难度不大．4．【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角的度数，然后利用圆周角定理来求的度数．【解答】解：如图，是的直径，直线与相切于点，．又，，．故选：．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理．圆的切线垂直于经过切点的半径．5．【分析】根据表格所给的值作出一次函数与抛物线的图象，再由两函数交点判断求解．【解答】解：由表格可得直线经过直线与抛物线交点为，，且一次函数随增大而减小，由抛物线经过点和可得抛物线对称轴为直线，且二次函数在时随增大而增大，抛物线开口向上，如图，可得或时．故选：．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数与方程及函数与不等式的关系．6．【分析】利用弧长公式和圆的周长公式求解．【解答】解：设此圆锥的底面半径为，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：，．故选：．【点评】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．7．【分析】根据切线长定理得到，，，，根据三角形的周长公式计算．【解答】解：由切线长定理得，，，，，，，的周长，故选：．【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心，掌握切线长定理是解题的关键．8．【分析】利用二次函数的性质，由题意，最值在自变量大于2.66小于3.23之间，由此不难找到答案．【解答】解：最值在自变量大于2.66小于3.23之间，接近3.23，所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．故选：．【点评】此题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题．二、填空题（共8小题，共16分）9．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：；由“上加下减”的原则可知，抛物线的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：．故答案为．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．10．【分析】根据旋转的性质可得出、，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解．【解答】解：根据旋转的性质，可得：，，．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出的度数是解题的关键．11．【分析】由题意，根据反比例函数对称性得到直线与双曲线在第三象限的公共点的横坐标为，根据函数的图象即可求得满足的的取值范围．【解答】解：直线与双曲线在第一象限的公共点是．直线与双曲线在第三象限的公共点是．由图象可知：满足的的取值范围是或，故答案为：不正确，的取值范围是或．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象与性质，一次函数图象和性质，求得另一个交点的坐标是解本题的关键．12．【分析】连接，在中，解直角三角形即可解决问题．【解答】解：连接，垂足为，，设，则，在中，，，，解得，的直径为26寸．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．13．【分析】先根据切线长定理得到，则，于是可根据三角形内角和定理可计算出，接着利用平角的定义可计算出，然后根据圆内接四边形的性质计算的度数．【解答】解：，是的两条切线，，，，，四边形为的内接四边形，，．故答案为99．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；从圆外一点引圆的切线，切线长相等．也考查了圆内接四边形的性质．14．【分析】10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则，一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则到对称轴的时间可以求得，进而即可求得之间的时间．【解答】解：法一：设在10秒时到达点，在26秒时到达，秒时和26秒时拱梁的高度相同，，关于对称轴对称．则从到需要16秒，则从到需要8秒．从到需要秒．从到需要秒．法二：如图，设从到花10秒，从到花26秒，则由对称性可知，故从到也花10秒，故从到一共花（秒，故答案是：36．【点评】本题考查了二次函数的应用，注意到、关于对称轴对称是解题的关键．15．【分析】根据题意可以分别求得点、点的坐标，从而可以得到的取值范围，本题得以解决．【解答】解：过点分别作轴、轴的平行线，交直线于、两点，点的纵坐标为5，点的横坐标为4，将代入，得；将代入得，，点的坐标为，点的坐标为，令，整理得，，△，解得，函数的图象与的边有两个公共点，点，点，或，即或，故答案为：或．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．16．【分析】根据函数的增减性：不同的观察点获得的函数图象的增减性不同，可得答案．【解答】解：当记录点在点处，从点到点随而减小一直减小到0；当记录点在点处，从到点随的增大而减小，从到点的值不变；当记录点在点处，从到点随的增大而增大，从点到点随的增大而减小；当记录点在点处时，从到的中点随的增大而减小，从的中点到点随的增大而增大，从点到点随的增大而减小；记录点位于图1中的点处．故答案为：．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，利用观察点与动点之间距离的变化关系得出函数的增减性是解题关键．三、解答题（共12小题，共68分）17．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用圆周角定理证明即可．【解答】解：（1）图形如图1所示：（2），是线段的中点．是圆的直径，（直径所对的圆周角是直角）．直线就是所求作的垂线．故答案为：，直径所对的圆周角是直角．【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，灵活运用所学知识解决问题．18．【分析】（1）根据旋转的性质作出对应点的位置即可；（2）根据弧长公式进行计算即可；（3）根据图形的割补法将阴影部分面积为扇形减去扇形的面积即可．【解答】解：（1）如图所示，即为所求；（2）根据勾股定理得：，旋转到点所经过的路径长为：；（3）如图，扫过的图形为图中阴影部分，根据面积的和差关系可知，阴影部分面积为扇形减去扇形的面积，即：．【点评】本题主要考查了作图旋转变换，弧长公式，扇形的面积公式等知识，运用图形的割补法将阴影部分面积转化为扇形减去扇形的面积是解题的关键．19．【分析】（1）根据二次函数的对称轴是直线即可求解；（2）①将代入，即可求出此时二次函数的表达式；②利用配方法即可把化为的形式，再根据顶点式的特点写出顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，利用描点法画出函数的图象即可；③根据函数解析式，从而得到、1、3时的函数值，再根据一元二次方程为实数）在的范围内有解相当于与在内有交点，依此求解即可得出结论．【解答】解：（1）二次函数的对称轴是直线，即；（2）①二次函数的图象经过点，，解得：，此时二次函数的表达式为；②，顶点坐标为，，时，，解得，，函数与轴的交点为，．函数的图象如图所示：③二次函数，对称轴为，当时，，当时，，当时，，相当于与直线的交点的横坐标，当时，在的范围内有解．故答案为：．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征以及利用配方法将一般式化为顶点式，正确求出函数的解析式是解题的关键．20．【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；（2）由勾股定理求出，再由菱形的性质和三角形面积公式求解即可．【解答】（1）证明：，，四边形是平行四边形，，，，，，，平行四边形是菱形；（2）解：由（1）得：四边形是菱形，，，，，，又，四边形的面积．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明四边形为菱形是解题的关键．21．【分析】（1）根据抛物线顶点坐标为，可设抛物线解析为：，将点代入可得；（2）在（1）中函数解析式中令，求出即可．【解答】解：（1）根据题意，可得抛物线顶点坐标为，，设抛物线解析为：，则，解得：，故抛物线解析式为：；（2）由题意可得：当时，，解得：，，故抛物线与轴交点为：，答：运动员落水点与点的距离为5米．【点评】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，再配成抛物线的顶点式，然后利用当，时，有最大值；当，时，有最小值等性质解决实际问题．22．【分析】（1）将点代入直线解析式可求，再代入，可求．（2）①根据题意先求，两点的坐标，可得，，即可求出线段与的数量关系；②根据图象可以直接得到线段时，的取值范围．【解答】解：（1）点在上，．．点在反比例函数的图象上，．（2）①当时，、两点的坐标为，、，．，，，；故答案为：；②由图象可得，线段时，，故答案为：．【点评】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法，以及函数图象的性质．关键是能利用函数图象有关解决问题．23．【分析】（1）连接，证明是等边三角形，可得结论．（2）①证明是的切线，可得结论．②证明是等腰直角三角形，求出，，过点作于点，再求出，，可得结论．【解答】解：（1）如图，连接．，是等边三角形，，是直径，，，．（2）①直线与图形的交点个数只有一个．理由：，，是等边三角形，，，，是的切线，直线与图形的交点个数只有一个．②连接，平分，，，是直径，，，，，过点作于点，，，，．【点评】本题考查圆的认识，圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．24．【分析】（1）当时，，，，在区域内有1个整数点：；（2）根据图象，当时，内点的横坐标在到0之间，故时内无整点．【解答】解：由题意，，，，（1）当时，，，，在区域内有1个整数点：；（2）若区域内没有整点，的取值范围是．【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据变化分析区域内整数点的情况是解题的关键．25．【分析】（1）根据变量定义直接得出结论；（2）描点，连线即可作出函数图象；（3）在中，，，即可得，观察图象可知关时，对应的的值为1.1或3.7，即得或3.7．【解答】解：（1）根据题意得：的长度是自变量，的长度和的长度是长度的函数，故答案为：，，；（2）描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下：（3）如图：在中，，，，而，，，，观察图象可知关于的函数值时，对应的的值为1.1或3.7，即或3.7，故答案为1.1或3.7．【点评】本题考查圆综合题，垂径定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质、坐标与函数图象问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．26．【分析】（1）将代入解析式，求出点．横坐标，即可求出的长；（2）分别求出抛物线与线段只有一个公共点或有两个公共点特殊位置关系时的值，综合各种情况即可写出的值．【解答】解：（1）将代入抛物线，得，解得，，，点在点左侧，，，，的长为4；（2）①将，代入，得，解得：，，，联立与，得，，整理，得，令△，即，解得，，当时，抛物线与线段只有一个公共点；②如图，当点与重合时，抛物线与线段有两个公共点，且，点与重合，抛物线对称轴为，，当时，抛物线与线段有两个公共点；如图，当