2020-2021备战中考数学圆与相似(大题培优)附详细答案

战中考数学圆与相似(大题培优)详细答案一、相1．如图，在一块长为a(cm)，宽为的形黑板的四周，镶上宽为的木板，得到一个新的矩形．（）用含，，x的数式表新矩形的长和宽；（）判断原形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段，并说明理由．【答案】（）：由原矩形的长、宽分别为a(cm)木板宽为，可得新矩形的长(＋，为b＋2x)cm（）：假设个矩形的长与宽是成比例线段，则有由比例的基本性质，得ab＋＝＋2ax，－＝a>b，－，

，x＝，又，原形的长、宽新矩形的长、宽不是比例线段．【解析】【分析】（）据已知，观察图形，可得出新矩形的长和宽。（）设个形的长与宽是成比例线段，列出比例式，再利用比例的性质得出x=0即可判断。．如图（），在矩形DEFG中，，eq\o\ac(△,)ABC中，∠ABC=90°，，ABC的边BC和形的一边DG在一直线上，点C和点D重，eq\o\ac(△,)ABC将D以每秒1个单位的速度向DG方匀速平移，当点与点G重时停止动，设运动时间为秒，解答下列问题：（）图2）当AC过E时，求t的值；

（）图3）当与DE重时，与、分别交于点M、，CN的长；（）整个运过程中，设eq\o\ac(△,)ABC与EFG重叠部分面积为，求出与t的数关系式，并写出相应的值范围．【答案】（）：如图2）当AC过点时，在eq\o\ac(△,)ABC中，AC=6，BC所锐A=30°，，依题意可知ABC=EDC=90°ACB=ECD，t=CD=

，即，；

，（）：如图3）EDG=90°，，，在eq\o\ac(△,)EDG中

=3

，，EGD=30°，NCB=EGD，NCB﹣EGD=60°30°=30°，，NC=CG=DGBC=3

﹣；（）：由（）可知，当＞

时eq\o\ac(△,)与EFG有重叠部分．分两种情况①当＜≤3时如图），eq\o\ac(△,)EFG有叠部分eq\o\ac(△,)，AC与EF、分别交于点、，点N作直线NPEF于P，交DG于，则EPN=CQN=90°NC=CG，﹣

﹣，

EMN=eq\o\ac(△,)EPQeq\o\ac(△,)EMN=eq\o\ac(△,)EPQeq\o\ac(△,)EPQ在eq\o\ac(△,)中（

﹣）

，PN=PQ﹣﹣PMN=NCQ=60°，

=

，sinPMN=

，MN=

=t﹣，在矩形中，EF，MEN=，MNE=CNGCGN，EMN=MNE，﹣，

=×

；②当3t≤3

时，如图（）eq\o\ac(△,)重部分为四边形，AB与、分交于点P、，与、EG分别交于点M、，EPQ=90°eq\o\ac(△,)

﹣，

，﹣，PEQ=30°，在eq\o\ac(△,)中，PEQ×EP=tan30°×﹣=

，

=EP（﹣）﹣=（EMN

=）﹣（

，

）=+（﹣，综上所述，与的函数关系式y=

．

【解析】【析】（1）证ABC△EDC，相似三角形的性质可求出CD的，即可求；（2）股定理求出的值，则由三角函数可∠EGD=30°，进而可证得则NC=CG=DGBC，可求出答案；（）据重叠分可确定x的值范围，再由三角形的面积公式可求出函数解析.．在正方形

中，，

在边

上，，

是在射线

上的一个动点，过点

作

的平行线交射线

于点，

在射线

上，使

始终与直线垂直．（）图1，点与重合时，求

的长；（）图，探索：

的比值是否随点

的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（）图3，点在段出它的定义域．

上，设

，，关的数系式，并写【答案】（）：由题意，得

,在

中，

△（）：答：理由：如图，

的比值随点的动没有变化

,

△，的比值随点的动没有变化比为

（）：延长

交

的延长线于点

,

又

,,它的定义域是【解析】【分析】（）据正方形的性质得出ABBC=CAD=8,

C=A90°在eq\o\ac(△,)BCP中根据正切函数的定义得出tanPC=PCB，tanPBC=，而得出PC的，进而得出RP的，根据勾股定理得出的，然后断eq\o\ac(△,)PB

C△R，据相似三角形对应边比例得出PBRP=PC从得出的长；（）MQ的值随点的运动没有变化根二直线平行位角相等得1BQMR，据等量代换得QMRC=90°，根据根据等角的余角相等得出RC，从而判断eq\o\ac(△,)PB，根据相似三角形对应边成比例，得出PM从得出答案；（）延长

BP

交

AD

的延长线于点

，根据平行线分线段成比例定理出NA,又AD+A8D

，从而得出关于ND的方程，求解即可得出ND，根据勾股定理得出PN，根据平行线的判定定理得出PD再据平行线分线段成比例定理得出PD又4,RM=y，从而得出又PD2,NQPQ+PN=x+，根据比例式，即可得出y与x之的函数关系式。4．在平面直角坐标系中，点A

点B

已知

满足.（）A的标_，点B的坐标________；（）图，点为段OB上点，连接，过作AFAE，AF=AE，接交轴于点D，若点D(-1,0)求点E的标；（）在(2)的件下，如图2，过作交AB于H，点M是射线上一点点M不在线段EH上连接MO作，ON交线段的长线于点，接，究线段与OM的关系并明理由。【答案】（）-4,0）（，）（）：作于，

AE，AHF=，OAE=90°，AFH=90°，OAE,AF=OA，AFH，FH=OA，点（）点B，）FH=OA=OB=4，，BDO,FDHBDO，OD=DH=1，E0，-2（）：结论MN=OM,MNOM理由：连接，OM与BN交于G，AOB=45°，OAB=45°OE=EB=2，OA,

AHM=，GHM,△MGH，

=,=,NGM=OGH,NGM，NMG=OHG=90°，OMN是等腰直角三角形MN=OM,MNOM.【解析】【解答】（）

=0,，点的标为（-4,0），点B的标为0，）【分析】（）将式子变形为完全平方公式的形式，再根据平方的非负性求解;（如图1中，作FH于H，EAO，推出FH=OA,FDHBDO,推出（）接，与BN交，eq\o\ac(△,)△，出

=,再推出=,再得eq\o\ac(△,)，出NMG=OHG=90°，eq\o\ac(△,)是等腰直角三角形即可解决问.5．如图，抛物线y=ax5ax+c与标轴分别交于点A，，E三点，其中（﹣，），C（，），点B在x轴，，过点B作x轴交抛物线于点，MN分是线段，上的动点，且CM=BN，接MN，AM，．（）抛物线解析式及点D的坐标；（）eq\o\ac(△,)是直角三角形时，求点的坐标；（）求出AM+AN的最小值．【答案】（）解把（﹣3，0），C（，）代入2

﹣5ax+c得

，解得

，抛线解析式为﹣x

x+4；AC=BC，ABOB=OA=3，B（，），x轴抛物线于点D，D点横坐标为3，当时，﹣×9+，D点标为（，）。（）：在eq\o\ac(△,)中BC=

，设M（，m），则BN=CM=4﹣，CN=5﹣（4﹣），OCB，当

时eq\o\ac(△,)CMN△，∠，即

，解得

，此时M点坐标为（，）；当

时，CMNCBO，COB=90°，即

，解得

，此时M点坐标为（，）；综上所述，点坐标为0，）或（，）（）：连接，，图，AC=BC，AB平ACB，ACO=BCO，

，BCO=DBCDB=BC=AC=5，ACM，，而（当仅当点、N、共时取等号），的小=AD=

，AM+AN最小值为．【解析】【析】（）将（，）（，）代入函数解析式构造方程组解出a,c的值可得抛物线解析式；由AC=BC，，据等腰三角形的“三合一”定，可得OB=OA=3，而BDx轴交抛物线于点D，点横坐标为3，x=3时得y的，即可得点的标。（2）当CMN是直角三角形时有两种情况：

CMN=90°，CNM=90°则可得CMN△COB，或CMN△，对应边成比例，设（，），构造方程解答即可。（）AM+AN的小值，一般两种方法：解析法和几何法；解析法：用含字母的函数关系式表示出AM+AN的，根据字母的取值范围和函数的最值来求；几何法：将点，M，三移到一条直线上；此题适用于几何法：观察图象不难发现，

AC=BD=5，且BCO=DBC，接AD，证得ACM，则AM=DN，而≥AD（当且仅当点A、共线时取等号），求AD的即可。6．已知：如图，在平面直角坐标系中eq\o\ac(△,)是角角形＝，A坐标分别为（30）C（，），＝AC．

，C的（）x轴上找一点，连，使eq\o\ac(△,)与相（不包括全等），并点D的标；（）（）的条件下，如，分别是和AD上动点，连接PQ，设APDQ＝m，问是存在这样的m，使eq\o\ac(△,)APQeq\o\ac(△,)相？如存在，请求出的；如不存在，请说明理由．【答案】（）：如图1，过点作BD，交x轴于点D，

A＝A，∠ACB＝＝ABC△，ABC＝，且ACB＝BCD＝，ABC△BDC，（﹣，）C（，）AC＝4＝AC．＝，AB＝

＝＝，

，，CD＝，AD＝+＝＝，OD＝AD﹣＝，点D的坐标为：（，）（）：如图，当＝＝90°时，

APC＝，BAD，APQ△，

，m＝，如图，AQP＝ABD＝，AQP＝＝90°＝，APQ△，

，m＝；

综上所述：当m＝

或

时，与相．【解析】【分】（）如图，点B作BD

，交轴于点D

，可ABC△，可得ABC＝，可eq\o\ac(△,)ABC△BDC，可

，可求的长，即可求点坐；（2分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．7．在矩形ABCD中，6＝，点是AD上点EMEC交于点，点N在射线MB上且AE是AM和AN的比例中.（）图1，证＝DCE（）图2，点在线段MB之间，联结AC，且与NE互垂直，求MN的长；（）接AC如eq\o\ac(△,)AEC与点E、MN为点所组成的三角相似，求DE的长.【答案】（）：AE是AM和AN的比例中项

，A＝A，AMEAENAEM＝，＝，＋DEC＝，BC，AEM＋DEC＝90°，AEM＝，＝DCE（）：AC与NE互垂直，EAC＋＝，BAC90°，＋＝，＝EAC，由（）＝DCE＝EAC，＝，

，DCAB＝，8，DE＝，＝﹣＝，由（）AEM＝，，

，AM，

，AN，MN＝（）：NME＝＋AEM，＝D＋，又MAE＝D＝90°由）得，＝NMEeq\o\ac(△,当)与点EM、为点所组成的三角形相似时①＝EAC，图，＝EAC，由（）：＝；②＝ECA，如图，

过点作EHAC，足为点，由（）＝DCE＝，HE＝，又＝

，设DE＝，则HE，4x，AE＝，又AE＋＝，5x＋8，解得＝，DE＝＝，综上所述，的分别为或3【解析】【分】（）比例中项知，此可证AME得＝，证DCE可得答案；（）证＝，合ANE＝DCE得DCE＝EAC，而知

，据此求得＝﹣＝，由1）AEMDCE，此知

，求得＝，求得

MN；3分ENM＝EAC和ENM＝ECA两情况分别求解可.8操作：

和

都是等边三角形，

绕着点顺时针方向旋转，是、探究：

的中点，有以下三种图.（）上三图形中，

是否一个固定的值，若是，请选择任意一个图形求出这个

比值；（）（）

与

的值是否也等于这个定值，若是，请结合图）证明你的结论；有怎样的位置关系，请你结合图2）图）证明你的结.【答案】（）：

是等边三角形，由图1得，

，

；（）明：，，（）明：在3中，由（）得

，1+，即AEF=AOB=90°，

.【解析】【分析】（）等边三角形的性质可得BC，BC=，根据勾股定理计算即可求得可得AO，

，是一个固定的值，由同角的余角相等可得，可得

1（由等边三角形的性质，由（）可得，根据相似三角形的性质得；（）图（），由（）得

，根据相似三角形的性质可得1=，根据对顶相等得3=4则2+3=AOB=90°，.

oVABCoVABC二、圆综合9．已知O的径为5，AB的度为，点是AB所优弧上的一动点．

如图①，若

，的数为_____；

如图②，若

．①求正切值；②若

VABC

为等腰三角形，求

VABC

面积．【答案】

的正切值为

；②S或

.【解析】【分析】

连接，，断出

VAOB

是等边三角形，即可得出结论；

先求出

AD

，再用勾股定理求出

BD

，进而求出

tan

，即可得出结论；②分种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理可得出结论．【详解】

如图1，接，，OC

，QABm

，OBAB

，

是等边三角形，

o，

ACBAOB故答案为；

，

如图2，接并延长交

eO

于，连接，Q为eO的径，AD

，90

o，在RtVABD中，m

，根据勾股定理得，，tan

3BD4

，QC

，C

的正切值为；②、AC时，如图3，连接并长交AB于，QAC

，

AO

，

为AB的垂直平分线，AEBE

，在RtVAEO中OA，根据勾股定理得，，OE

，VABC

1AB272

；、

时，如图4，

连接OA交BC于FQACAB

，

OC

，

是BC的直平分线，过点作

OGAB

于，AOG，AGAB

，QAOBACB

，ACF在中

，AOG

AG3AC5

，

ACF

，在RtVACF中

，AF5

，

，VABC

1AFBC255

；Ⅲ、当

时，如图5，由对称性，SVABC

．【点睛】圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．

10．图，eq\o\ac(△,)ABP中C是边一点=PBA,O是ABC的接是O的直径且BP于点E.（）证：是O的切线；（）点C作CFAD垂足为点F，延长CF交于点，若AG，AC的长．【答案】（）明见解析223【解析】试题分析：1）据圆周角定理得以利用PBA得出PAC=90°进得出答案；（）先得eq\o\ac(△,)BAC，而得出AC2=AG·，求出AC即可试题解析：1）接如,是O的径ACDCADD=90°，=PBA，D=，CAD，即=90°，AD，PA是O的切线；（）CFAD，CAF=90°+=90°，，，而=BACACG△ABCAC：=：AC=AGAB=12，

=2

3．11．知中弦，P是BAC所对弧上一点，连接，．（）图，eq\o\ac(△,)ABP绕A逆针旋转eq\o\ac(△,)ACQ，接PC，证：ACP+ACQ=180°；（）图，若BAC=60°，试探究、、之的关系．（）若时（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写它们之间的数量关系，不需证明．【答案】（）明见解析；2）．理由见解析；3）若BAC=120°时（）中的结论不成立，．【解析】试题分析：1）图，连接PC．根据内四边形的对角互补的”可证得结论；（）图，通过作辅助线、、（连接BC，延长至，使，连接CE）构建等eq\o\ac(△,)PCE和全等三角eq\o\ac(△,)APC；后利用等三角形的对应边相等和线段间的和差关系可以求得PA=PB+PC；（）图，在线段PC截取PQ，使PQ=PB，过点作于点G．利用全等三角eq\o\ac(△,)（）对应边相等推知AB=AQ，，PB、的量关系转化eq\o\ac(△,)中求即可．试题解析：1）图，连接PC．ACQ是eq\o\ac(△,)ABP绕A逆针旋转得到的，ABP=ACQ．由图知点A、、、四点共圆，（圆内接四边形的对角互补），ACQ=180°（等量代换）；（）理由如下：如图，接BC，延长BP至E，使PE=PC，接CE弦弦，BAC=60°，ABC是边三角形（有一内角为60°的等腰三角是等边三角形）．A、B、、四共圆，BPC=180°（内接四边形的对角互补），BPC+EPC=180°，BAC=CPE=60°，，PCE是等边三角形，CE=PC，E=ECP=；又BCE=60°+BCP，∠，BCE=ACP（量代换）

CEeq\o\ac(△,)BECeq\o\ac(△,)APC中，ACP

，BEC（），，

ACBC；（）若时（2）中的结论不成立，3理由如下：如图，线段PC上截取PQ，PQ=PB，点A作PC于点G．，BAC+BPC=180°，．弦弦，APQ=30°．eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)AQP中，

，ABPAQP（）

APPB=PQ（等三角形的对应相等）AQ=AC（量代换）．在等eq\o\ac(△,)中，QG=CG．在eq\o\ac(△,)中，，，3PB+PC=PG﹣QG+PG+CG=PG﹣QG+PG+QG=2PG=2

3AG

3PA=2AG，即3．【点睛】本题考查了圆的综合题，解题的关键要能掌握和灵活运用圆心角、弧、弦间的关系，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质.12．决问题：

如图①，半为4的eO外一点P且

点A在O上则PA的大值和最小值分别_和．

如图②，扇AOB的径为，

AOB45o，为AB上点，分别在边点，OB边找一点，使得周的最小，请在图接写出VPEF长的最小值；拓展应用

②

中确定点E、的置并直

如图③，正形的长为；是CD上点(不D、重)，CF

于，在BE上，且PFCFMN分别是AB、上点，求PMN周的最小值．

【答案】（），；（）图见解析，周最小值为42；）102【解析】【分析】

根据圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该的直线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和；

作点P关于直线OA的对称点P，作点关直线OB的称点P，连接、，12、分别交点、，、即所求，此时周长最小，然后根据等腰直角三角形求解即可；

V周最小PP2

，然后由三角形相似和勾股定理求解．【详解】解：圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最大距是和最小距离都在过圆心的直线上此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离．的最大值

PAPOOA22

，的小值

PAPOOA311

，故答案为11和3；

如图②

，以为圆心，为径，画和BD，作点P关直线OA的对称点P1

，作点关于直线OB的称点P，接P，OB分别交于点E、，点E、F即为所．连接OP、OP、、、，1由对称知识可知，

AOP，BOP12

，

，

PF2∴AOPBOPAOB451POP4545o，2POP为等腰直角三角形，PPOP2，1

o

，PEF周PFEFPEF41212故答案为2；

，此时VPEF周最小．

PPPP

作点P关于直线的对称P，接AP，作关直线的称P，112连接

P、1

，与AB、分交于点、．图由对称知识可知，PMPM，PNN12

，PMN周PMPNNMNPP12

，此时，

PMN周长最小2

．由对称性可知，

BAPBAP，EAPEAP1

，

APAP12

，BAPEAPBAPEAP4512

oPAPoo12

，PAP

为等腰直角三角形，PMN周最小值PP2AP12连接DF．

，当AP最短时，周长最小．QCFBE

，且

PF

，PCF45

，

PCCF

ACD

，ACD，PCA

，又

ACCD

，在与VDFC中，

AC，PCACDCFC

DFC，APDF

，

AP

2BFC，取AB中点．

点F在BC为径的圆上运动，当、F、三在同一线上时DF最．DFOC

2

2

(2

2

2)

2

22，最小值为DF此，VPMN周长小值22DF1022

．

【点睛】本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键．13．图所示，是圆O的径，是，点P沿BA方，从点运动到点，速度为，若

ABcm

，点到AC的离为．（）弦AC的长；（）经过多时间后eq\o\ac(△,)APC是等腰三角形．【答案】（）（）或5或

s时eq\o\ac(△,)APC是腰三角形；【解析】【分析】（）作于D，据勾股定理求得AD的，利用垂径定理即可求得AC的长；（）AC=PC、AP=CP三情况求t值即可【详解】（）图1，作ODAC于D，易知AO=5，，从而AD=

，；（）经过秒APC是等腰三角形，则AP=10﹣t

①如2，AC=PC，点C作CHAB于H，A=A，AHC=ODA=90°，AHC：AH=OA，即AC

=5：，解得t=经

s，s后APC是腰三角形；②如3，AP=AC，由，AB=10得到AP=10﹣，又，则10t=6，得t=4s，经4s后是腰三角形；③如4，AP=CP，与重，则，经5s后是腰三角形．综上可知当t=4或5或

s时eq\o\ac(△,)APC是腰三角形．【点睛】本题是圆的综合题，解决问题利用了垂径定理，勾股定理等知识点，解题时要注意当是腰三角形时，点P的位置有三种情况．14．图O的直径AB26，是上不点、重)的一点，点、为O上

»»»»的两点，若APD＝BPC，称CPD为径“回旋角．(1)BPC＝DPC＝，则CPD是径的回旋角吗并说明理由；(2)若CD

的长为

π，“回角CPD的度数；(3)若径的回角为120°eq\o\ac(△,)PCD的长为24+133，接写出的长．【答案】∠CPD是直径AB的回角，由解析(2)回旋”CPD的度数为45°；(3)满条件的AP的长为或．【解析】【分析】（）由CPD、BPC得，得到BPC，以CPD是径的回旋角；2）用CD弧公式求COD＝，CE交于E连接PE，利用CPD为径的回角，到＝BPC＝，到OPE+CPD+BPC＝，点，，三点共线，＝COD＝，得到OPE90°22.5°＝，则＝BPC＝67.5°，以CPD＝；（）出况在OA上者OB上情况，在上，同理2）的方法得到点，，F在一条直线上，得eq\o\ac(△,)是边三角形，连接，过点作OGCD于G，利用sin，得CD，利用周长求得DF，作DF于H，利用勾股理求得OP，而得到AP在OB上，同理计算方法即可【详解】CPD是径的回角，理由：＝BPC＝，＝﹣CPDBPC＝180°﹣﹣＝，BPC＝APD是直径AB的回角；(2)如1，＝26，＝OD＝＝，设＝，

CD

的长为π

134n＝，COD＝，

作O于，接，BPC＝，为直径AB的回角，＝BPC＝，APD+CPD+BPC＝，OPE+BPC＝，点D，，E三点共线，＝COD＝，＝22.5°＝，＝BPC＝67.5°，＝，即：回角的数为45°，(3)①点P在径OA上时，如图，点C作CF交于，接，＝，同的方法得，点，，在一条直线上，直AB的回角为120°，＝BPC＝，＝，PCF是边三角形，CFD＝60°连接，，COD＝，过点作OGCD于G，CD2DG，＝

＝，DG＝13×sin60°＝

2CD＝

13，PCD的长为24+13PD+PC＝，PCPF，PD+PF＝＝，过作OHDF于H，

，＝＝，在eq\o\ac(△,Rt)中＝OD2

DH

2

在eq\o\ac(△,)OHP中，OPH＝，OP10＝﹣OP＝；②当在径OB上，同的法得，＝，＝AB﹣＝，即：满足条件的的长为或23【点睛】本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P点分类讨论15．图，已知为O的直径，，和D是上关于直线对的两个点，连接、，且90°，直线BC和直线AD相于点，过点C作线CG与段AB的延长线相交于点，与直线AD相交于点且GAF＝GCE（）证：直CG为O的线；（）点为段OB上一点，连接，满足＝，①CBH△②求OHHC的大值【答案】（）明见解析；2）证见解析【解析】分析：1）题意可知：CAB=GAF，圆的性质可知CAB=OCA，以GCE，从而可证明直线CG是O的线；（）由于CB=CH所以CBH=，易，而可证明CBH；

②eq\o\ac(△,)CBHOBC可知：

BC＝OCBC

BC，所以HB=，于，以4OH+HC=4−

BC4

2

+BC，用二次函数的性质即可求出的大值．详解：1）题意可知：CAB=GAF，AB是的径，ACB=90°，CAB=，OCA+，GAF=，GCE+OCB=OCA+OCB=90°，是的径，直CG是O的线；（），CBH=CHB，OB=OCCBH=，CBH②eq\o\ac(△,)CBHOBC可知：